Les tulipes de K

Les tulipes de K. Roth
K. Roth, jardinier de Mme la Comtesse, doit planter ce matin en ligne les 15 oignons de
tulipes (5 blanches, 3 rouges et 7 jaunes) que chaque printemps, la Comtesse veut voir fleurir
dans le parterre sous sa fenêtre. Les oignons de tulipe sont bien rangés, regroupés par couleur,
dans le panier du jardinier.
Se dirigeant vers le parterre, K. Roth trébuche inopinément sur une taupinière nouvellement
apparue, et le panier se renverse, …
Seuls deux oignons de tulipes jaunes sont restés en place et restent identifiables, les autres
sont totalement mélangés et indistinguables les uns des autres.
Heureusement pour lui la Comtesse lui a donné pour seule consigne de planter une tulipe
jaune en tête de ligne et une autre tulipe jaune à l’extrémité.
Combien de configurations différentes distinguables de la ligne de tulipes, une fois qu’elles
auront fleuri sont-elles possibles ?
Quelle est la probabilité que toutes les tulipes blanches soient plantées côte à côte ?
Fiabilité des bouilloires électriques QHW
E. Soreuse, gérant d’un magasin d’électroménagers, doit faire face au problème suivant : les
bouilloires électriques QHW sont de ses produits à succès. Mais pour des raisons inconnues,
certaines séries sont sujettes aux deux pannes électriques possibles : la rupture de la résistance
électrique et le non fonctionnement du thermostat.
On a établi que la résistance électrique avait une probabilité de 1% de cesser de fonctionner
endéans la période de garantie et le thermostat une probabilité de panne de 0,5% pour la
même période. Il n’est pas possible que les deux pannes se produisent simultanément.
En cas de panne électrique endéans la période de garantie, E. Soreuse remplace le produit
complet qui lui sera remboursé ultérieurement par QHW.
Combien de bouilloires la firme QHW devra-t-elle rembourser à E. Soreuse si elle a produit
et commercialisé par son entremise 10.000 bouilloires de la même série ?
Si xb est une variable aléatoire qui représente le nombre de bouilloires de cette série qui
subiront une panne électrique, on demande :
P(xb 2) ; P(xb 5) ; P(xb < 5) ; P(2 < xb 6).
Les assurances SECOURT-SERTAIN
La Cie d’assurances SECOURT-SERTAIN assure en « omnium » la « flotte » des cinq
voitures de service de l’administration communale de la localité de Las Médusas. Les cinq
véhicules sont tous des RONO Lev Sitas qui ne diffèrent extérieurement que par leur
immatriculation et un numéro (de 1 à 5) peint sur la carrosserie.Chaque véhicule est assuré
séparément.
Soit l’événement Ei = « Au cours du mois de juillet, la Cie doit payer, au titre de couverture
d’un sinistre au véhicule i, une somme d’argent à l’Administration Communale. », i = 1, 2,
…, 5. On sait que P(Ei) = 15%. D’expérience, on sait qu’au cours d’un mois donné, il ne peut
se produire plus d’un sinistre pour un véhicule donné et que les sinistres sont idépendants les
uns des autres.

Nous sommes le 1er juillet tôt le matin, soit l’épreuve stochastique qui consiste à poser la
question de savoir quel va être le prochain véhicule pour lequel une somme va être déboursée
par la Cie au titre de la couverture d’un sinistre au cours du mois de juillet.
a) Décrire l’espace d’échantillonnage de cette épreuve.
Soit X, une variable aléatoire discrète représentant le nombre d’indemnisations en
compensation de sinistres – au cours du mois de juillet – survenus aux cinq véhicules de
l’Administration Communale.
b) Peut-on associer une loi de probabilité à X ? Si oui, la spécifier et justifier. Si non,
pourquoi ?
c) Etablir la distribution de probabilité de X.
d) Calculer la probabilité que pour les 5 véhicules, durant le mois de juillet, X vaille 0, au
plus 2, au moins 3.
e) Quelle est l’espérance mathématique de X ?
Les navettes de la baie de Las Médusas
La baie de Las Médusas, célèbre pour ses eaux limpides et chaudes, bénéficie d’un service de
navettes entre le port (PT), l’île Iliade (II) et le cap Hitaine (CH). Le prix du circuit complet a
été fixé à 2,5 €.
Pour fidéliser la clientèle d’estivants, la Cie Jason Argonauth exploitant les navettes a décidé
d’accorder a posteriori une remise aux voyageurs ayant réalisé ce circuit complet en cas de
retard sur l’horaire officiel et pour autant que ce retard soit de plus de 15% du temps de
parcours total (haltes non comprises), soit 40 minutes (Voir Tableau I). La remise doit être
proportionnelle à l’importance du retard exprimé en minutes.
Le service est cadencé d’heure en heure entre 10h du matin et 3h du matin le lendemain. Le
Tableau I suivant présente l’horaire officiel d’un circuit complet.
Tableau 1 : Horaire officiel d’un circuit complet.
Départ toutes les heures de 10h à 3h du matin.
Départ
Arrivée
PT h 00
I I h 15
CH h 40
I I h 10
CH h 35
PT h 50
D’expérience, les pilotes des navettes savent que les temps de trajet peuvent varier en fonction
de la vitesse du vent qui influence les courants de surface. Le Tableau 2 suivant indique les
écarts négatifs ou positifs (en minutes) par rapport aux temps de trajet officiels et par tronçon
du circuit complet selon que le vent est nul (N), faible (Fl) ou fort (Ft) ainsi que la probabilité
(en caractères italiques) de subir de tels vents sur le tronçon en question.
Tableau 2 : Ecarts de temps de parcours selon le vent
et probabilités associées
Vent nul
Vent faible
Vent fort
PT-I I
I I-CH
CH-PT
0
0
-1 / 0,3
0 / 0,4
-3 / 0,5
0 / 0,3
+3 / 0,6
+5 / 0,5
+1 / 0,4

a) Soit X, une variable aléatoire discrète, représentant l’écart (en minutes) entre le temps
de parcours réel et le temps de parcours officiel, déterminez la distribution de
probabilité de X ainsi que sa fonction de répartition.
b) Quelle sera la fréquence à laquelle des remises seront accordées ?
c) Supposons qu’un circuit complet coûte 200 € à la Cie et qu’en moyenne, 125
passagers se trouvent en permanence sur chaque navette, quelle est la remise
maximale par minute de retard que la Cie peut accorder si elle espère un bénéfice
d’au moins 20% de son chiffre d’affaires