Dix-neuvieme programme de colle - PCSI-2

Programme de colle numéro 19 ;
Semaine du lundi 27 mars 2017 au vendredi 31 mars 2017.
I.Développements limités.
Voir le précédent programme de colle.
II. Matrices(compléments).
Révision du premier chapitre.
1. Dimension de ℳ n, p (K) , de ℳ n (K) et de tous les sous-espaces vectoriels « rencontrés ».
2. 1) Isomorphisme d’espaces vectoriels entre ℒ (E,F) et ℳ n, p (K) et dimension de ℒ (E,F).
2) Isomorphisme d’espaces vectoriels entre ℒ (E) et ℳ n (K) et dimension de ℒ (E).
3) Matrice de la composée.(Cours)
4) a) Matrice d’un isomorphisme.
b) Caractérisation d’une base.
3. Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
1) Définition et cas particulier d’un endomorphisme.
2) Calcul pratique de l’inverse d’une matrice et cas particulier d’une matrice 2  2.(Cours)
3) Inversibilité d’une matrice triangulaire et cas particulier d’une matrice diagonale.
4. Noyau et image d’une matrice : définitions,propriétés et formule du rang.
5. Changement de bases : 1) matrice de passage(définition et propiétés) ;
2) matrice de changement de bases ;(Cours)
3) effet d’un changement de bases pour une application linéaire ou
un endomorphisme.(Cours)
6. Rang d’une matrice :1) Définition : rang de la famille de ses vecteurs colonnes et rang de
l’application linéaire canoniquement associée.
2) Rang d’une famille de vecteurs.
3) Caractérisation d’une matrice inversible par le rang.
4) Invariance du rang par multiplication par une matrice inversible.
5) Rang de la transposée(admis).
N.B. : a) Chers colleurs,vous pouvez noter le changement fondamental de l’esprit de ce
chapitre quant à l’ordre dans lequel les notions sont abordées :il faut donc le
respecter.De plus la caractérisation du rang d’une matrice est hors programme !Il est
important que chaque élève puisse faire le lien entre toutes les notions des différents
chapitres d’algèbre abordés.
b) Le chapitre « systèmes linéaires » a été traité en cours MAIS « aucun
raisonnement de ce second paragraphe » ne doit être traité à l’aide des résultats du
chapitre HORS PROGRAMME de cette colle.Les élèves doivent se forcer à
acquérir les « raisonnements de base » essentiels à la compréhension.Ce chapitre
ne doit pas se résumer à une suite de calculs.