1 Intégration des fonctions en escalier

Intégrales de Riemann

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1 Intégration des fonctions en escalier
1.1 Définitions
1.1.1 Définition 1
Soit [a, b] un intervalle de R, une subdivision  de l’intervalle [a, b] est une suite de points :  (x0, x1, …xn) avec
x0=a et xn=b et x0<x1<…<xn. Les intervalles [ xi-1, xi ] sont dit les intervalles de la subdivision .
H=Max 1≤i≤n (xi-xi-1) est appelé le pas de la subdivision .
Si  et ’ sont deux subdivisions de [a, b], on dit que ’ est plus fine que  si et seulement si tous les points de 
sont des points de ’. Si 1 et 2 sont deux subdivisions de [a, b], on note 1*2 la subdivision de [a, b] obtenue
en prenant tous les points de 1 et de 2.
1.1.2 Définition 2
Soit f :[a, b] R, on dit que f est une fonction en escalier sur [a, b] si et seulement si il existe une subdivision
=(x0, x1, …,xn) de [a, b] telle que  i, 1≤i≤n, f soit constante sur ]xi-1, xi[. C’est à dire f(x)=ci,  x Є ]xi-1, xi[.
Une telle subdivision  est dite subdivision associée à f.
Remarque : Si ’ est plus fine que  et  associée à f alors ’ est aussi associée à f.
1.1.3 Définition 3
Soit f :[a, b]  R une fonction en escalier et  (x0, x1, …xn) une subdivision associée à f (c’est à dire f(x)=ci
pour tout x Є ]xi-1, xi[ par définition de fonction associée) :
 n
iii
b
acxxxffI 11)()()(
Remarque : on vérifie facilement que la définition ne dépend pas de la subdivision associée a f choisie.
1.2 Proposition 1
 Soient f et g [a, b]  R en escaliers et ,  Є R. Alors la fonction f+g est en escalier sur [a, b] et
   b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgf )()())((
 Soit a<c<b et f en escalier sur [a, b], alors f est en escalier sur [a, c] et [c, b] et
   c
a
b
c
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
 Soient f, g en escalier sur [a, b] et  x Є [a, b] f(x)<g(x) alors
b
a
b
adxxgdxxf )()(
2 Intégrales de Riemann
2.1 Les notations
Soit f :[a, b]  R bornée. Soit M(f)=sup xЄ[a, b] f(x) et m(f)=inf xЄ[a, b] f(x). E+a, b(f)={ensemble des fonctions en
escaliers u sur [a, b] telles que  x Є [ b], f(x)≤u(x)}. E-a, b (f)= {ensemble des fonctions en escaliers v sur [a, b]
telles que  x Є [a, b], v(x)≤f(x)}
La fonction constante égale à M(f) Є E+a, b(f). La fonction constante égale à m(f) Є E-a, b (f).

2
2.2 Définition 1
Soit f :[a, b]  R une fonction bornée. On appelle intégrale supérieure de f et on note I+(f) la borne inférieure de
l’ensemble +a,b (f)={y Є R / y =∫ab u(x)dx, avec u Є E+a, b(f) }.
De même, on appelle intégrale inférieure de f et on note I-(f) la borne supérieure de l’ensemble -a,b (f)={y Є R /
y =∫ab v(x)dx, avec u Є E-a, b(f) }.
On a I-(f)≤I+(f).
2.3 Definition 2
Soit f:[a, b]  R borne. On dit que f est intégrable au sens de Riemann sur f si et seulement si I+(f)=I-(f) et dans
ce cas on pose ∫ab f(x)dx= I+(f)=I-(f).
Sommes de Darboux de f(x) relatives à une subdivision  : Soit f : [a, b]  R bornée et  (x0, x1, …xn) une
subdivision de [a, b]. Alors on considère les deux fonctions suivantes :
 Ug :  0≤i≤n ug(xi)=f(xi) et  1≤i≤n,  x Є ]xi-1, xi[ on a ug(x)=Mi ou Mi=Sup f(x).
 Vg :  0≤i≤n vg(xi)=f(xi) et  1≤i≤n,  x Є ]xi-1, xi[ on a vg(x)=mi ou mi=Inf f(x).
2.4 Définition 3
Soit f : [a, b]  R, bornée et  (x0, x1, …xn) une subdivision de [a, b]. On appelle somme de Darboux supérieure
relativement à  le nombre :
 b
a
n
iiiiGG MxxdxxuS 11)()(
avec uG Є E+a, b.
De même, on appelle somme de Darboux inférieure de f relativement à  le nombre :
 b
a
n
iiiiGG mxxdxxvs 11)()(
avec vG Є E-a, b.
On a donc, pour tout  subdivision de [a, b], sG ≤ I-a,b ≤ I+a,b ≤ SG.
2.5 Propriétés
Soit f : [a, b]  R, bornée,  Є R
 Si >0 alors I+ (f)=I+(f) et I- (f)=I-(f). Si <0 alors I+ (f)=I-(f) et I- (f)=I+(f).
 Soient f, g bornées sur [a, b] : I+ (f+g)≤I+(f)+I+(g) et I-(f+g)≥I-(f)+I-(g).
 Si f, g sont bornées et  x Є [ b] f(x)≤g(x) alors I+(f)≤I+(g) et I-(f)≤I-(g).
2.6 Proposition 2
Soit f : [a, b]  R, bornée. Alors f est intégrable si et seulement si  >0,  u Є E+a, b(f),  v Є E-a, b(f) tel que
∫ab(u(x) - v(x)) dx < .
2.7 Proposition 3
Soit f : [a, b]  R bornée. Alors f est intégrable si et seulement si  >0,   subdivision de [a, b], |SG–sG|< ou
SG et sG sont les sommes de Darboux de f relativement à G.
2.8 Définition 4
Soit f : [a, b]  R bornée et  (x0, x1, …xn) une subdivision de [a, b]. Un nombre réel S est dit somme de
Riemann de f relativement à  si et seulement si il existe  1≤i≤n zi Є ]xi-1, xi[ tel que :
 n
iiii zfxxS 11)()(

3
2.9 proposition 4
Soit f : [a, b]  R bornée et I Є R. Alors f est intégrable et ∫abf(x)dx=I si et seulement si  >0  =(x0, x1, …xn)
subdivision de [a, b] telle que  z Є ]xi-1, xi[, I-< S <I+ (ou S est la somme de Riemann définie à la définition
4).
2.10 Théorème et corollaire
Soit f : [a, b]  R bornée. Si f est monotone alors f est intégrable. Si f est continue sur [a, b] alors f est
intégrable (sur ]a, b[ ).
Corollaire :
Soit f : [a, b]  R continue.  >0  >0 tel que pour toute subdivision =(x0, x1, …xn) de [a, b] de pas < et
pour tout zi Є ]xi-1 xi[ alors :
n
i
b
a
iii dxxfzfxx
11)()()(
3 Propriétés de l’intégrale
3.1 Théorèmes
 Soient f, g : [a, b]  R intégrables et ,  Є R. Alors la fonction f+g est intégrable et :
  b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgf )()()()(
 Soit f : [a, b]  R intégrable et soit c Є ]a, b[ alors f est intégrable sur [a, c] et f est intégrable sur [c, b]
et
  b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
 Soit f : [a, b]  R intégrable alors |f| est intégrable et |∫abf(x)dx |< ∫ab|f(x)|dx.
 Soient f et g [a, b]  R et  x Є [a, b] f(x)≤g(x) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.
 Soient f, g [a, b]  R f, g intégrables alors f*g est intégrable et on a l’inégalité dite de Cauchy-
Schwarz :
 b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf 2/12/1 ))²((*))²(()()(
 Soit f : [a, b] R dérivable sur [a, b] et tel que f’ est intégrable sur [a, b] alors ∫abf’(x)dx=f(b) – f(a).
4 Intégrales et primitives
4.1 Définition
Soit f : IR, où I est un intervalle de R. Une fonction F : IR est dite une primitive de f si et seulement si F est
dérivable en tout point de I et  x Є I F’(x)=f(x).
4.2 Théorème et corollaire
Soit f : [a, b]  R continue, alors la fonction F(x)=∫axf(t)dt est définie sur [a, b] et est une primitive de f.
Corollaire :
f : [a, b]R continue, f admet une infinité de primitives et deux primitives différentes entre elles d’une
constante.

4
4.3 Théorème : formule du changement de variables
Soit f : [a, b] R continue, soit g : [ , ] R telle que g([, ])  [a, b]. Si g est dérivable sur [, ], g’
intégrable sur [, ] alors :
)(
)( )()('))(( g gdttfduugugf
4.4 Théorème de l’intégration par parties
Soient f, g : [a, b]  R, dérivables sur [a, b] et telles que f’ et g’ sont intégrables sur [a, b] alors :
  b
a
b
adxxgxfagafbgbfdxxgxf )(')()]()()()([)()('
Preuve : il suffit d’écrire (fg)’=f’g+g’f.