1 Intégration des fonctions en escalier

Intégrales de Riemann
1 Intégration des fonctions en escalier
1.1 Définitions
1.1.1 Définition 1
Soit [a, b] un intervalle de R, une subdivision  de l’intervalle [a, b] est une suite de points :  (x0, x1, …xn) avec
x0=a et xn=b et x0<x1<…<xn. Les intervalles [ xi-1, xi ] sont dit les intervalles de la subdivision .
H=Max 1≤i≤n (xi-xi-1) est appelé le pas de la subdivision .
Si  et ’ sont deux subdivisions de [a, b], on dit que ’ est plus fine que  si et seulement si tous les points de 
sont des points de ’. Si 1 et 2 sont deux subdivisions de [a, b], on note 1*2 la subdivision de [a, b] obtenue
en prenant tous les points de 1 et de 2.
1.1.2 Définition 2
Soit f :[a, b] R, on dit que f est une fonction en escalier sur [a, b] si et seulement si il existe une subdivision
=(x0, x1, …,xn) de [a, b] telle que  i, 1≤i≤n, f soit constante sur ]xi-1, xi[. C’est à dire f(x)=ci,  x Є ]xi-1, xi[.
Une telle subdivision  est dite subdivision associée à f.
Remarque : Si ’ est plus fine que  et  associée à f alors ’ est aussi associée à f.
1.1.3 Définition 3
Soit f :[a, b]  R une fonction en escalier et  (x0, x1, …xn) une subdivision associée à f (c’est à dire f(x)=c i
pour tout x Є ]xi-1, xi[ par définition de fonction associée) :
n
I ( f )   f ( x)   ( xi  xi 1 )ci
b
a
1
Remarque : on vérifie facilement que la définition ne dépend pas de la subdivision associée a f choisie.
1.2 Proposition 1


b
a
b
a

a
b
a
a
Soit a<c<b et f en escalier sur [a, b], alors f est en escalier sur [a, c] et [c, b] et
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

b
b
(f  g )( x)dx    f ( x)dx    g ( x)dx


Soient f et g [a, b]  R en escaliers et ,  Є R. Alors la fonction f+g est en escalier sur [a, b] et
Soient f, g en escalier sur [a, b] et  x Є [a, b] f(x)<g(x) alors
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
2 Intégrales de Riemann
2.1 Les notations
Soit f :[a, b]  R bornée. Soit M(f)=sup xЄ[a, b] f(x) et m(f)=inf xЄ[a, b] f(x). E+a, b(f)={ensemble des fonctions en
escaliers u sur [a, b] telles que  x Є [ b], f(x)≤u(x)}. E-a, b (f)= {ensemble des fonctions en escaliers v sur [a, b]
telles que  x Є [a, b], v(x)≤f(x)}
La fonction constante égale à M(f) Є E+a, b(f). La fonction constante égale à m(f) Є E-a, b (f).
1
2.2 Définition 1
Soit f :[a, b]  R une fonction bornée. On appelle intégrale supérieure de f et on note I +(f) la borne inférieure de
l’ensemble +a,b (f)={y Є R / y =∫ab u(x)dx, avec u Є E+a, b(f) }.
De même, on appelle intégrale inférieure de f et on note I-(f) la borne supérieure de l’ensemble -a,b (f)={y Є R /
y =∫ab v(x)dx, avec u Є E-a, b(f) }.
On a I-(f)≤I+(f).
2.3 Definition 2
Soit f:[a, b]  R borne. On dit que f est intégrable au sens de Riemann sur f si et seulement si I +(f)=I-(f) et dans
ce cas on pose ∫ab f(x)dx= I+(f)=I-(f).
Sommes de Darboux de f(x) relatives à une subdivision  : Soit f : [a, b]  R bornée et  (x0, x1, …xn) une
subdivision de [a, b]. Alors on considère les deux fonctions suivantes :

Ug :  0≤i≤n ug(xi)=f(xi) et  1≤i≤n,  x Є ]xi-1, xi[ on a ug(x)=Mi ou Mi=Sup f(x).

Vg :  0≤i≤n vg(xi)=f(xi) et  1≤i≤n,  x Є ]xi-1, xi[ on a vg(x)=mi ou mi=Inf f(x).
2.4 Définition 3
Soit f : [a, b]  R, bornée et  (x0, x1, …xn) une subdivision de [a, b]. On appelle somme de Darboux supérieure
relativement à  le nombre :
b
n
a
i 1
S G   u G ( x)dx   ( xi  xi 1 ) M i avec uG Є E+a, b.
De même, on appelle somme de Darboux inférieure de f relativement à  le nombre :
b
n
a
i 1
sG   vG ( x)dx   ( xi  xi 1 )mi avec vG Є E-a, b.
On a donc, pour tout  subdivision de [a, b], sG ≤ I-a,b ≤ I+a,b ≤ SG.
2.5 Propriétés
Soit f : [a, b]  R, bornée,  Є R

Si >0 alors I+ (f)=I+(f) et I- (f)=I-(f). Si <0 alors I+ (f)=I-(f) et I- (f)=I+(f).

Soient f, g bornées sur [a, b] : I+ (f+g)≤I+(f)+I+(g) et I-(f+g)≥I-(f)+I-(g).

Si f, g sont bornées et  x Є [ b] f(x)≤g(x) alors I+(f)≤I+(g) et I-(f)≤I-(g).
2.6 Proposition 2
Soit f : [a, b]  R, bornée. Alors f est intégrable si et seulement si  >0,  u Є E+a, b(f),  v Є E-a, b(f) tel que
∫ab(u(x) - v(x)) dx < .
2.7 Proposition 3
Soit f : [a, b]  R bornée. Alors f est intégrable si et seulement si  >0,   subdivision de [a, b], |SG–sG|< ou
SG et sG sont les sommes de Darboux de f relativement à G.
2.8 Définition 4
Soit f : [a, b]  R bornée et  (x0, x1, …xn) une subdivision de [a, b]. Un nombre réel S est dit somme de
Riemann de f relativement à  si et seulement si il existe  1≤i≤n zi Є ]xi-1, xi[ tel que :
n
S   ( xi  xi 1 ) f ( z i )
i 1
2
2.9 proposition 4
Soit f : [a, b]  R bornée et I Є R. Alors f est intégrable et ∫abf(x)dx=I si et seulement si  >0  =(x0, x1, …xn)
subdivision de [a, b] telle que  z Є ]xi-1, xi[, I-< S <I+ (ou S est la somme de Riemann définie à la définition
4).
2.10 Théorème et corollaire
Soit f : [a, b]  R bornée. Si f est monotone alors f est intégrable. Si f est continue sur [a, b] alors f est
intégrable (sur ]a, b[ ).
Corollaire :
Soit f : [a, b]  R continue.  >0  >0 tel que pour toute subdivision =(x0, x1, …xn) de [a, b] de pas < et
pour tout zi Є ]xi-1 xi[ alors :
n
 (x
i 1
b
i
 xi 1 ) f ( z i )   f ( x)dx  
a
3 Propriétés de l’intégrale
3.1 Théorèmes


b
a
b
a

b
a
b
b
a
a
(f  g )( x)dx    f ( x)dx    g ( x)dx


Soient f, g : [a, b]  R intégrables et ,  Є R. Alors la fonction f+g est intégrable et :
Soit f : [a, b]  R intégrable et soit c Є ]a, b[ alors f est intégrable sur [a, c] et f est intégrable sur [c, b]
et
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

Soit f : [a, b]  R intégrable alors |f| est intégrable et |∫abf(x)dx |< ∫ab|f(x)|dx.

Soient f et g [a, b]  R et  x Є [a, b] f(x)≤g(x) alors ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.

Soient f, g [a, b]  R f, g intégrables alors f*g est intégrable et on a l’inégalité dite de CauchySchwarz :
b
b
a
a
f ( x) g ( x)dx  (  f ²( x)dx)1 / 2 * (  g ²( x)dx)1 / 2

Soit f : [a, b] R dérivable sur [a, b] et tel que f’ est intégrable sur [a, b] alors ∫ abf’(x)dx=f(b) – f(a).
4 Intégrales et primitives
4.1 Définition
Soit f : IR, où I est un intervalle de R. Une fonction F : IR est dite une primitive de f si et seulement si F est
dérivable en tout point de I et  x Є I F’(x)=f(x).
4.2 Théorème et corollaire
Soit f : [a, b]  R continue, alors la fonction F(x)=∫axf(t)dt est définie sur [a, b] et est une primitive de f.
Corollaire :
f : [a, b]R continue, f admet une infinité de primitives et deux primitives différentes entre elles d’une
constante.
3
4.3 Théorème : formule du changement de variables
Soit f : [a, b] R continue, soit g : [ , ] R telle que g([, ])  [a, b]. Si g est dérivable sur [, ], g’
intégrable sur [, ] alors :

 f ( g (u)) g ' (u)du  
g ( )
g ( )
f (t )dt
4.4 Théorème de l’intégration par parties
Soient f, g : [a, b]  R, dérivables sur [a, b] et telles que f’ et g’ sont intégrables sur [a, b] alors :

b
a
b
f ' ( x) g ( x)dx  [ f (b) g (b)  f (a) g (a)]   f ( x) g ' ( x)dx
a
Preuve : il suffit d’écrire (fg)’=f’g+g’f.
4