LES SUITES

T EN
15 octobre 2002
I- Approche : Voiles et suites
Deux usines de production de voiliers présentent les résultats suivants.
- Une usine A présente une augmentation annuelle de sa production de 10 unités.
En 1997, la production fut de 25 unités.
+ 10
+ 10
25
25
25
1997
1998
1999
- Une usine B suit une progression régulière de la production de 8 % par an.
En 1997, la production fut de 25 unités.
+8%
+8%
25
25
25
1997
1998
1999
Les productions successives constituent, pour chaque usine, une suite de nombres :
- une suite ARITHMÉTIQUE pour l'usine A.
- une suite GÉOMÉTRIQUE pour l'usine B.
La question à laquelle ce chapitre nous permettra de répondre est : quelle sera la production
annuelle des usines dans quelques années ? (avec les mêmes progressions)
II- Suite arithmétique
On appelle suite arithmétique une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du
deuxième, est égal au précédent augmenté d'un nombre constant appelé la raison r.
Dans une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r, le nième terme est obtenu par la
relation :
un = u1 + (n – 1) r
Exemple : Calculer le 33e terme de la suite de premier terme 1,6 et de raison 1,8.
On a : u1 = 1,6 et r = 1,8
u33 = 1,6 + 32 × 1,8
d'où
u33 = 1,6 + (33 – 1) × 1,8
Le 33e terme est :
PhG-Maths
u33 = 59,2
III- Suite géométrique
On appelle suite géométrique une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du
deuxième, est égal au précédent multiplié par un nombre constant appelé raison q.
Dans une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q, le terme de rang n est obtenu par la
relation :
un = u1 qn – 1
Exemple : Calculer le 4e terme d'une suite géométrique de premier terme 9 et de raison 5.
On a : u1 = 9 et q = 5
Le 4e terme est :
d'où
u4 = 9 × 54-1
soit
u4 = 9 × 53
u4 = 1125
IV- Reconnaître une suite
On calcule toutes les différences de deux termes consécutifs.
Si toutes les différences sont égales, la suite est une suite arithmétique.
On calcule tous les quotients de deux termes consécutifs.
Si tous les quotients sont égaux, la suite est une suite géométrique.
V- D'autres suites de nombres
1- La suite de Fibonacci
Une des suites les plus célèbres est la suite de Fibonacci
Elle débute par deux 1 et les nombres suivants sont la somme des deux nombres précédents.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
La suite de Fibonacci (Pise 1180-1250) permet d'accéder au nombre d'or.
On écrit les fractions correspondant aux quotients de chaque terme de la suite de Fibonacci sur
le précédent. Ce qui donne : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
En valeur décimale, on obtient :
1 ; 2 ; 1,5 ; 1,66… ; 1,6 ; 1,625 ; 1,615… ; 1,619… ; 1,617… ; 1,618… etc.
On obtient des valeurs approchées du nombre d'or.
Un terme sur deux s'approche par excès, les autres par défaut.
Le nombre 1 + 5 est le nombre d'or depuis le XVe siècle.
2
Une valeur approchée du nombre d'or  (tau) vaut 1,618.  1,618
Depuis très longtemps les artistes et les architectes dans le but de créer des proportions "jolies"
utilisent le nombre d'or.
Un rectangle sera "rectangle d'or" si : le rapport de sa longueur par sa largeur vaut 
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15 octobre 2002
2- Suite de nombres triangulaires
Elle débute par le nombre 1 et les nombres suivants s'obtiennent en ajoutant le nombre du rang du
terme cherché, soit :
1 ; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ; …
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On représente ces nombres par des points.
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D'où l'appellation de nombres triangulaires
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Pour un nombre quelconque, indiquons son rang par n et sa valeur par N.
Par exemple si n = 4, le nombre a pour valeur N = 10.
On remarque qu'un nombre de rang n a pour valeur la somme des n premiers nombres.
De même la différence entre la valeur du nombre de rang n et celle du nombre de rang n + 1 est
égale à n + 1.
Un nombre de rang n a pour valeur N =
n (n + 1)
.
2
On représente un nombre triangulaire deux fois tête-bêche
comme ci-contre, pour n = 6.
On obtient un rectangle de n lignes et n + 1 colonnes.
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Théorème : Si deux nombres triangulaires sont consécutifs, c'est-à-dire de rag n et N + 1, leur
somme N + N1 est égale au carré de leur différence N1 – N.
Démonstration : la différence entre la valeur des deux nombres consécutifs est n + 1.
Le carré de la différence est (N1 – N)2 = (n + 1)2 = n 2 + 2n + 1.
La somme est : N + N1 =
n (n + 1) (n + 1) (n + 2)
+
= n 2 + 2n + 1 = (n + 1)2
2
2
On a bien : N + N1 = (N1 – N)2
Théorème : Si deux nombres triangulaires sont consécutifs, la différence entre leur carré est égale
au cube de leur différence.
Démonstration : nous avons N12 – N 2 = (N1 – N) (N1 + N).
Or d'après le théorème précédent N1 + N = (N1 – N)2
d'où N1 + N = (N1 – N) (N1 – N)2. On a bien : N12 – N 2 = (N1 – N) 3.
Exercice : Quels sont les valeurs de deux nombres triangulaires consécutifs tels que le carré de leur
différence est égal à 1 000 ?
Réponse : La différence entre les nombres est
3
1000 10
Donc l'un a pour rang 9 et l'autre le rang 10.
Ils ont pour valeur N = Error! = 45 et N1 = Error! = 55.
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