géométrie séniors

STAGE FÉVRIER 2015 : GÉOMÉTRIE AVANCÉS
Quelques exercices de base
Exercice 1. Soit ABC un triangle. On note a, b, c les longueurs des côtés, α, β, γ les angles et Rle rayon du cercle
circonscrit. Exprimer b+c−aen fonction de R, α, β, γ sous forme factorisée.
Exercice 2. (Van Aubel) Soit ABC un triangle, et Mun point situé à l’intérieur de ABC. Les droites (AM),(BM)
et (CM )coupent (BC),(CA)et (AB)en D, E, F . Montrer que MA
MD =EA EC +F A F B .
Exercice 3. Soit ABC un triangle. Soient D∈[AB]et E∈[AC]tels que BD =CE. Les cercles ABC et ADE se
recoupent en A0. Montrer que A0est équidistant des milieux de [BD]et [CE].
Exercice 4. Soit ABC un triangle, et Mun point situé à l’intérieur de ABC. Les droites (AM),(BM)et (CM )
coupent (BC),(CA)et (AB)en D, E, F . Les droites (EF )et (BC)se coupent en P. Montrer que (P, D, B, C) = −1.
Exercice 5. Soit ABC un triangle, Ile centre du cercle inscrit. On note D, E, F les points de contact du cercle
inscrit avec les côtés (BC),(CA)et (AB). Soit Ple point d’intersection entre (DI)et (EF ), et Mle milieu de [BC].
Montrer que A, P, M sont alignés.
Exercice 6. (Brocard) Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre O. On note E= (AB)∩(CD),
F= (AD)∩(BC)et G= (AC)∩(BD). Montrer que Oest l’orthocentre de EF G.
Exercices de niveaux variés
Exercice 7. Soit ABC un triangle tel que AB > AC et \ BAC = 60◦. Montrer que 2
[
AHI = 3
\
CBA, où Hest
l’orthocentre et Ile centre du cercle inscrit.
Exercice 8. Les cordes [AC]et [BD]d’un cercle de centre Ose coupent en K. Soient Met Nles centres des cercles
circonscrits à AKB et CKD. Montrer que OM =KN .
Exercice 9. Soit ABC un triangle tel que \ BAC = 60◦. Soient Det Eles pieds des bissectrices issues de Bet C. Le
cercle de centre Bet de rayon BD rencontre (AB)en F. Le cercle de centre Cet de rayon CE rencontre (AC)en
G. Montrer que (F G)k(BC).
Exercice 10. Soit ABCD un quadrilatère cyclique, K= (AB)∩(CD). On suppose que M= (AC)∩(BD)est le
milieu de [AC]. La droite (KM )coupe le cercle en Iet H, où Iest sur l’arc AC contenant D. Montrer que K, I, D, L
sont cocycliques, où L= (AI)∩(CH).
Exercice 11. Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (O). Soit Dle pied de la hauteur issue de B,Pun point
de (O)et Q, R, S les symétriques de Ppar rapport aux milieux des côtés [AB],[AC],[BC]. Soit F= (AQ)∩(HR).
Montrer que (DF )⊥(HS).
Exercice 12. Soit ABC un triangle acutangle non isocèle, Pun point de la hauteur [AD]. Les droites (BP )et (CP )
recoupent (CA)et (AB)en Eet F.
a) On suppose que AEDF est cyclique. Montrer que P A
P D = (tan β+ tan γ) cot α
2.
b) Soit Mle point d’intersection de la perpendiculaire en Bà(AB)avec (P C). Soit Nle point d’intersection de
la perpendiculaire en Cà(AC)avec (P B). Soit Kle projeté de Asur [MN]. Montrer que \ BKC +
\
MAN reste
constant lorsque Pparcourt [AD].
Exercice 13. Soit ABC un triangle, (O)son cercle circonscrit. Soit Dun point de [AB)extérieur au cercle. Un
cercle (K)est tangent extérieurement à (O)en F, et tangent en Met Nà(DC)et (DB). Montrer que (MN)passe
par le centre du cercle exinscrit Jdans l’angle b A.
Exercice 14. Soit ABC un triangle scalène. Le cercle inscrit (I)rencontre les côtés (BC),(CA)et (AB)en D, E, F .
Soit Kle symétrique de Epar rapport à (BI). Soit Lle symétrique de Fpar rapport à (CI). On note Jle milieu
de [KL].
a) Montrer que D, I, J sont alignés.
b) Fixons Bet C. Le point Avarie de sorte que le rapport AB
AC reste égal à une constante k. Soient Met Nles points
diamétralement opposés à Eet F. La droite (MN )coupe (IB)et (IC)en Pet Q. Monter que la médiatrice de
[P Q]passe par un point fixe.
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