géométrie séniors

S TAGE F ÉVRIER 2015 : GÉOMÉTRIE AVANCÉS
Quelques exercices de base
E
xercice 1. Soit ABC un triangle. On note a, b, c les longueurs des côtés, α, β, γ les angles et R le rayon du cercle
circonscrit. Exprimer b + c − a en fonction de R, α, β, γ sous forme factorisée.
Exercice 2. (Van Aubel) Soit ABC un triangle, et M un point situé à l’intérieur de ABC. Les droites (AM ), (BM )
et (CM ) coupent (BC), (CA) et (AB) en D, E, F . Montrer que
MA
EA
FA
=
+
.
MD
EC
FB
E
xercice 3. Soit ABC un triangle. Soient D ∈ [AB] et E ∈ [AC] tels que BD = CE. Les cercles ABC et ADE se
recoupent en A0 . Montrer que A0 est équidistant des milieux de [BD] et [CE].
E
xercice 4. Soit ABC un triangle, et M un point situé à l’intérieur de ABC. Les droites (AM ), (BM ) et (CM )
coupent (BC), (CA) et (AB) en D, E, F . Les droites (EF ) et (BC) se coupent en P . Montrer que (P, D, B, C) = −1.
E
xercice 5. Soit ABC un triangle, I le centre du cercle inscrit. On note D, E, F les points de contact du cercle
inscrit avec les côtés (BC), (CA) et (AB). Soit P le point d’intersection entre (DI) et (EF ), et M le milieu de [BC].
Montrer que A, P, M sont alignés.
E
xercice 6. (Brocard) Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre O. On note E = (AB) ∩ (CD),
F = (AD) ∩ (BC) et G = (AC) ∩ (BD). Montrer que O est l’orthocentre de EF G.
Exercices de niveaux variés
Exercice 7. Soit ABC un triangle tel que AB
\ = 60◦ . Montrer que 2AHI
[ = 3CBA,
\ où H est
> AC et BAC
l’orthocentre et I le centre du cercle inscrit.
E
xercice 8. Les cordes [AC] et [BD] d’un cercle de centre O se coupent en K. Soient M et N les centres des cercles
circonscrits à AKB et CKD. Montrer que OM = KN .
\ = 60◦ . Soient D et E les pieds des bissectrices issues de B et C. Le
Exercice 9. Soit ABC un triangle tel que BAC
cercle de centre B et de rayon BD rencontre (AB) en F . Le cercle de centre C et de rayon CE rencontre (AC) en
G. Montrer que (F G) k (BC).
E
xercice 10. Soit ABCD un quadrilatère cyclique, K = (AB) ∩ (CD). On suppose que M = (AC) ∩ (BD) est le
milieu de [AC]. La droite (KM ) coupe le cercle en I et H, où I est sur l’arc AC contenant D. Montrer que K, I, D, L
sont cocycliques, où L = (AI) ∩ (CH).
E
xercice 11. Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (O). Soit D le pied de la hauteur issue de B, P un point
de (O) et Q, R, S les symétriques de P par rapport aux milieux des côtés [AB], [AC], [BC]. Soit F = (AQ) ∩ (HR).
Montrer que (DF ) ⊥ (HS).
E
xercice 12. Soit ABC un triangle acutangle non isocèle, P un point de la hauteur [AD]. Les droites (BP ) et (CP )
recoupent (CA) et (AB) en E et F .
PA
a) On suppose que AEDF est cyclique. Montrer que
= (tan β + tan γ) cot α2 .
PD
b) Soit M le point d’intersection de la perpendiculaire en B à (AB) avec (P C). Soit N le point d’intersection de
\ +M
\
la perpendiculaire en C à (AC) avec (P B). Soit K le projeté de A sur [M N ]. Montrer que BKC
AN reste
constant lorsque P parcourt [AD].
E
xercice 13. Soit ABC un triangle, (O) son cercle circonscrit. Soit D un point de [AB) extérieur au cercle. Un
cercle (K) est tangent extérieurement à (O) en F , et tangent en M et N à (DC) et (DB). Montrer que (M N ) passe
b
par le centre du cercle exinscrit J dans l’angle A.
E
xercice 14. Soit ABC un triangle scalène. Le cercle inscrit (I) rencontre les côtés (BC), (CA) et (AB) en D, E, F .
Soit K le symétrique de E par rapport à (BI). Soit L le symétrique de F par rapport à (CI). On note J le milieu
de [KL].
a) Montrer que D, I, J sont alignés.
AB
b) Fixons B et C. Le point A varie de sorte que le rapport
reste égal à une constante k. Soient M et N les points
AC
diamétralement opposés à E et F . La droite (M N ) coupe (IB) et (IC) en P et Q. Monter que la médiatrice de
[P Q] passe par un point fixe.
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