Chapitre 6. Déterminant d`une matrice carrée

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture
=
Définition. det
c d
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture
=
Définition. det
c d
a b
c d
définition
=
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
A quoi ça sert ?
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle
existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester
lié ou libre, base ou pas ...
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle
existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester
lié ou libre, base ou pas ...
4
2 1
x
a
Exemple (méthode de Cramer).
=
−1
1 3
y
comme solution :
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle
existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester
lié ou libre, base ou pas ...
4
2 1
x
a
Exemple (méthode de Cramer).
=
−1
1 3
y
2 4 4 1
1 −1 −1 3 =?? , y = =??
comme solution : x = 2 1
2 1
1 3
1 3
Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée
§1. Cas d’une matrice 2 × 2.
a b 2ème écriture a b définition
=
Définition. det
c d = ad − bc.
c d
2 1
4
1
=??, det
Exemples. =??
−1 3
1 3
A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle
existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester
lié ou libre, base ou pas ...
4
2 1
x
a
Exemple (méthode de Cramer).
=
−1
1 3
y
2 4 4 1
1 −1 −1 3 =?? , y = =??
comme solution : x = 2 1
2 1
1 3
1 3
13
6
(x =
,y = − )
5
5
x
4
2 1
=
Exemple (méthode de Cramer).
a
y
−1
1 3
2 4 4 1
1 −1 −1 3 13
6
=
=− .
, y= comme solution : x = 2 1
5
5
2 1
1 3
1 3
2 1
x
a b
x
s
4
Exo. Résoudre
=
, puis
=
1 1
y
c d
y
t
−1
x
4
2 1
=
Exemple (méthode de Cramer).
a
y
−1
1 3
2 4 4 1
1 −1 −1 3 13
6
=
=− .
, y= comme solution : x = 2 1
5
5
2 1
1 3
1 3
2 1
x
a b
x
s
4
Exo. Résoudre
=
, puis
=
1 1
y
c d
y
t
−1
Théorème de matrice inverse.
−1
1
d −b
a b
.
=
a b −c a
c d
c d x
4
2 1
=
Exemple (méthode de Cramer).
a
y
−1
1 3
2 4 4 1
1 −1 −1 3 13
6
=
=− .
, y= comme solution : x = 2 1
5
5
2 1
1 3
1 3
2 1
x
a b
x
s
4
Exo. Résoudre
=
, puis
=
1 1
y
c d
y
t
−1
Théorème de matrice inverse.
−1
1
d −b
a b
.
=
a b −c a
c d
c d Preuve. Il suffit de multiplier... .
x
4
2 1
=
Exemple (méthode de Cramer).
a
y
−1
1 3
2 4 4 1
1 −1 −1 3 13
6
=
=− .
, y= comme solution : x = 2 1
5
5
2 1
1 3
1 3
2 1
x
a b
x
s
4
Exo. Résoudre
=
, puis
=
1 1
y
c d
y
t
−1
Théorème de matrice inverse.
−1
1
d −b
a b
.
=
a b −c a
c d
c d Preuve. Il suffit de multiplier... .
−1 −1 −1
2 0
2 −1
2 1
Exo. Calculer
,
,
.
1 3
1 1
4 2
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
Définition.
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
suivant
b
e
h
c f =
i
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
f
i
+
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
f
i
+ (−d) · b
h
c +
i
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
f
i
+ (−d) · b
h
b
c + g · i
e
c f
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
ou bien (on
a
suivant d
=
la 1e ligne g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
obtient le même résultat)
b c e f =
h i
f
i
+ (−d) · b
h
b
c + g · i
e
c f
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
ou bien (on
a
suivant d
=
la 1e ligne g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
obtient le même résultat)
b c e f +
e f =a·
h
i
h i
f
i
+ (−d) · b
h
b
c + g · i
e
c f
§2. Déterminant 3 × 3 et n × n
a b
= ad − bc. Définition.
Rappel. c
d
a
d
g
b
e
h
c f i
a
d
=
e
la 1 col. g
ou bien (on
a
suivant d
=
la 1e ligne g
suivant
b
e
h
c e
f = a · h
i
f
i
+ (−d) · b
h
b
c + g · i
e
obtient le même résultat)
b c e f d f d
e f =a·
+ (−b) · + c · h i
g i
g
h i
2 −1 1 Exemple. Calculer 0 2 −1 par les deux méthodes.
0 1
0 1 0 0
0 100 2 −1 1 .
Calculer a
0
2
−1
π 0 1
0 e .
h
c f
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
det A = 0
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
det A 6= 0
det A = 0
Oui
Non
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Est-ce que la matrice A est inversible ?
det A 6= 0
det A = 0
Oui
Non
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
Les colonnes de A forment-elles une base ?
Les colonnes de A sont-elles génératrices ?
libres
liées
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
Les colonnes de A forment-elles une base ?
Les colonnes de A sont-elles génératrices ?
libres
liées
Oui
Non
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
Les colonnes de A forment-elles une base ?
Les colonnes de A sont-elles génératrices ?
libres
liées
Oui
Non
Soit f : Rn → Rn de matrice A
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
Les colonnes de A forment-elles une base ?
Les colonnes de A sont-elles génératrices ?
libres
liées
Oui
Non
Soit f : Rn → Rn de matrice A
Est-ce que f est bijective ?
Est-ce que f est injective ?
Est-ce que f est surjective ?
§3. Lié ou libre ?
Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier si
det A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :
det A 6= 0
det A = 0
Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?
Oui
Non
Est-ce que la matrice A est inversible ?
Oui
Non
Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?
Les colonnes de A forment-elles une base ?
Les colonnes de A sont-elles génératrices ?
libres
liées
Oui
Non
Oui
Non
Soit f : Rn → Rn de matrice A
Est-ce que f est bijective ?
Est-ce que f est injective ?
Est-ce que f est surjective ?

 
 
1 a b
0 −1 1
2 −1 1
Exemples. A = 0 2 −1 , 1 2 −1 et 0 2 c .
0 0 3
1 1
0
0 1
0

Cas non carrée
Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs
~v1 ,~v2 , · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si

 
 
1 a b
0 −1 1
2 −1 1
Exemples. A = 0 2 −1 , 1 2 −1 et 0 2 c .
0 0 3
1 1
0
0 1
0

Cas non carrée
Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs
~v1 ,~v2 , · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si l’une des sous
matrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1 ,~v2 , · · · ,~vk )
est de déterminant non-nulle.

 
 
1 a b
0 −1 1
2 −1 1
Exemples. A = 0 2 −1 , 1 2 −1 et 0 2 c .
0 0 3
1 1
0
0 1
0

Cas non carrée
Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs
~v1 ,~v2 , · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si l’une des sous
matrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1 ,~v2 , · · · ,~vk )
est de déterminant non-nulle.


   
1 0 0
1
0
0 1 0

Exo 1 : 1 et 1. Exo 2 : les colonnes de 
0 0 1.
2
2
2 2 2
Donner un énoncé similaire dans le cas k ≥ n. Donner des
exemples.
§4. Formule pour la matrice inverse
Les théorèmes précédents se démontrent à l’aide de la formule
suivante :
Pour les matrices 2 × 2.
−1
1
1
a b
d −b
d −c
t
=
=
.
c d
ad − bc −c a
ad − bc −b a


a11 a12 a13
Pour A = a21 a22 a23 . On lui associe sa comatrice
a31 a32 a33


+M11 −M12 +M13
Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où Mij est le déterminant de
+M31 −M32 +M33
la sous matrice de A en supprimant dans A la i-ème ligne et la
j-ème colonne. La formule est alors
1 t
A−1 =
Com(A), si det A 6= 0 .
det A

a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32



a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
a13 , etc. ,
a33 
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32



a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A




a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A


1 0 0
Exemple. A = 1 3 1, Com(A) =
2 2 1
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32




a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A




1 0 0
1 1 −4
Exemple. A = 1 3 1, Com(A) = 0 1 −2,
2 2 1
0 −1 3
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32




a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A




1 0 0
1 1 −4
Exemple. A = 1 3 1, Com(A) = 0 1 −2, det A = 1,
2 2 1
0 −1 3
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32




a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A




1 0 0
1 1 −4
Exemple. A = 1 3 1, Com(A) = 0 1 −2, det A = 1,
2 2 1
0 −1 3
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32
et A−1 =
1 t
Com(A) =
det A




a12 a13
+M11 −M12 +M13
a22 a23 , Com(A) = −M21 +M22 −M23 , où
a32 a33
+M31 −M32 +M33
1 t
a13 , etc. , et A−1 =
Com(A), si det A 6= 0.
a33 det A




1 0 0
1 1 −4
Exemple. A = 1 3 1, Com(A) = 0 1 −2, det A = 1,
2 2 1
0 −1 3


1
0
0
1 t
1 −1.
Com(A) =  1
et A−1 =
det A
−4 −2 3
a11
A = a21
a31
a
M21 = 12
a32
Voici les 4 étapes pour calculer A−1 :
– Calculer les ’mineurs’ Mij
– rajouter les signes (en alternant) pour former Com(A)
– transposer la comatrice
– diviser par det A.
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
det( tA)
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d §5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
a b a c .
•
= det A. Exemple. =
c d b d • det(AB) = det A · det B = det(BA)
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
a b a c .
•
= det A. Exemple. =
c d b d • det(AB) = det A · det B = det(BA)
• det(A−1 ) = (det A)−1 si A inversible.
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
produit des élém.
=
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 c sur la diagonale
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
produit des élém.
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 c sur la diagonale
det( tA)
1
0
0
1 −2 1 −1 =??
0 1 §5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1
produit des élém.
0
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ sur
la
diagonale
0
0 0 c Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du
det( tA)
1 −2 1 −1 =??
0 1 déterminant.
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1
produit des élém.
0
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ sur
la
diagonale
0
0 0 c fait changer le signe du
Echanger 2 lignes/colonnes
1 1 −2 permuter
Exemple. 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
det( tA)
1 −2 1 −1 =??
0 1 déterminant.
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1 1 −2 produit des élém.
0 1 −1 =??
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 1 0 0 c sur la diagonale
fait changer
Echanger 2 lignes/colonnes
le signe du déterminant.
1 1 −2 1 0 0 permuter
permuter
Exemple. 1 1 −1 =
??
− 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
1 1 −2 C2 !C3
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1 1 −2 produit des élém.
0 1 −1 =??
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 1 0 0 c sur la diagonale
fait changer
Echanger 2 lignes/colonnes
le signe du déterminant.
1 1 −2 1 0 0 permuter
permuter
Exemple. 1 1 −1 =
??
− 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
1 1 −2 C2 !C3
λa b c sortir un facteur
=
Facteur commun : λd e f λg h i d’une colonne
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1 1 −2 produit des élém.
0 1 −1 =??
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 1 0 0 c sur la diagonale
fait changer
Echanger 2 lignes/colonnes
le signe du déterminant.
1 1 −2 1 0 0 permuter
permuter
Exemple. 1 1 −1 =
??
− 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
1 1 −2 C2 !C3
a b c
λa b c sortir un facteur
=
λ d e f .
Facteur commun : λd e f g h i λg h i d’une colonne
det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1 1 −2 produit des élém.
0 1 −1 =??
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 1 0 0 c sur la diagonale
fait changer
Echanger 2 lignes/colonnes
le signe du déterminant.
1 1 −2 1 0 0 permuter
permuter
Exemple. 1 1 −1 =
??
− 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
1 1 −2 C2 !C3
a b c
λa b c sortir un facteur
=
λ d e f .
Facteur commun : λd e f g h i λg h i d’une colonne
101 0 0 Exemple. 101 0 −1 =
101 1 −2 det( tA)
§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants
•
•
•
•
•
•
a b a c .
= det A. Exemple. =
c d b d det(AB) = det A · det B = det(BA)
−1
det(A−1 ) = (det
A) si A inversible.
a ∗ ∗
1 1 −2 produit des élém.
0 1 −1 =??
=
abc.
Triangulaire : 0 b ∗ 0 0 1 0 0 c sur la diagonale
fait changer
Echanger 2 lignes/colonnes
le signe du déterminant.
1 1 −2 1 0 0 permuter
permuter
Exemple. 1 1 −1 =
??
− 1 1 −1 =
1 0 0 ℓ1 !ℓ3
1 1 −2 C2 !C3
a b c
λa b c sortir un facteur
=
λ d e f .
Facteur commun : λd e f g h i λg h i d’une colonne
101 0 0 1 0 0 Exemple. 101 0 −1 = 101 1 0 −1 = 101 .
101 1 −2 1 1 −2 det( tA)
C C +λC2
• ~a, ~b,~c 3 =3
C C +λC2
• ~a, ~b,~c 3 =3
sur deux autres lignes
~
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
ou deux autres colonnes.
C C +λC2
• ~a, ~b,~c 3 =3
sur deux autres lignes
2a b a Ex. 2c d c 2e f e ~
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
ou deux autres colonnes.
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
2a b a Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une colonne
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une
colonne
~
+ ~v2 ,~a, ~b additionner
~
v
,~
a
,
b
Réciproquement 1
=
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une
colonne
~
+ ~v2 ,~a, ~b additionner
~b .
~
v
,~
a
,
b
Réciproquement 1
=
~
~
,~
a
,
v
+
v
1
2
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une
colonne
~
+ ~v2 ,~a, ~b additionner
~b .
~
v
,~
a
,
b
Réciproquement 1
=
~
~
,~
a
,
v
+
v
1
2
La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autre
colonne ou une ligne.
C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une
colonne
~
+ ~v2 ,~a, ~b additionner
~b .
~
v
,~
a
,
b
Réciproquement 1
=
~
~
,~
a
,
v
+
v
1
2
La décomposition, ou l’addition,
colonne ou une ligne.
1 + 0 1 0 1 1
Ex. 0 + 0 3 2 = 0 3
0 − 1 −1 1 0 −1
peut s’effectuer sur une autre
0 0
1 0 2 + 0
3 2 .
1
−1 −1 1 C C +λC2 ~
• ~a, ~b,~c 3 =3
~a, b,~c + λ~b . L’opération peut s’effectuer
sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.
0 b a
2a b a 0 d c = 0.
Ex. 2c d c =
2e f e C1 C1 −2C3 0 f e • Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,
le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).
décomposer =
• ~v1 + ~v2 ,~a, ~b ~v1 ,~a, ~b + ~v2 ,~a, ~b .
une
colonne
~
+ ~v2 ,~a, ~b additionner
~b .
~
v
,~
a
,
b
Réciproquement 1
=
~
~
,~
a
,
v
+
v
1
2
La décomposition, ou l’addition,
colonne ou une ligne.
1 + 0 1 0 1 1
Ex. 0 + 0 3 2 = 0 3
0 − 1 −1 1 0 −1
peut s’effectuer sur une autre
0 0
1 0 2 + 0
3 2 .
1
−1 −1 1 Preuve de la méthode de Cramer
Preuve dans le cas d’une matrice A de taille 3 × 3. On suppose
det(A) 6= 0. On 
veutrésoudre le système A~x = ~b, qui admet une
x
unique solution y . On exprime A en vecteurs colonnes :
 
z
x
A = ~v1 ,~v2 ,~v3 . Donc ~v1 ,~v2 ,~v3 y  = ~b,
z
ou bien, sous forme de combinaison linéaire : x~v1 + y~v2 + z~v3 = ~b.
Maintenant
det(~b,~v2 ,~v3 ) = det(x~v1 + y~v2 + z~v3 ,~v2 ,~v3 )
décomposer
=
la colonne C1
det(x~v1 ,~v2 ,~v3 ) + det(y~v2 ,~v2 ,~v3 ) + det(z~v3 ,~v2 ,~v3 ) =
det(~b,~v2 ,~v3 )
x det(~v1 ,~v2 ,~v3 ) + 0 + 0 = x det A. Donc x =
.
det(A)
Exo. Retrouver y et z de manière similaire. Faire la preuve pour une
matrice de taille n × n.
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volume
signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs
sont
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volume
signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs
sont co-planaires, ou encore
§6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé du
parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en
somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volume
signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs
sont co-planaires, ou encore liés.
libres ⇐⇒ volume 6= 0 ⇐⇒ det 6= 0.
liés ⇐⇒ volume = 0 ⇐⇒ det = 0.
Une base {~a1 , · · · ,~an } est dite base directe si det(~a1 , · · · ,~an ) > 0,
et base indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1 ,~e2 ,~e3 } et
{~e1 ,~e3 ,~e2 }.
Produit scalaire de deux vecteurs
   
u1
v1
 ..   .. 
 .  .  .  = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn , et ~u · ~v = 0 ssi orthogonal.
un
vn
[
x
−y
2
Opérateur chapeau dans R :
=
. Il est conçu pour
y
x
transformer le déterminant en produit scalaire :
u1 v1 b · ~v .
= u1 v2 − u2 v1 = −u2 · v1 = ~u
det(~u,~v) = u2 v2 v2
u1
Produit vectoriel dans R3 : ~u ∧ ~v joue le même rôle :
~ ) = (~u ∧ ~v) · w
~ .
det(~u,~v, w
Preuve. Développer suivant la dernière colonne...
Produit scalaire de deux vecteurs
   
u1
v1
 ..   .. 
 .  .  .  = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn , et ~u · ~v = 0 ssi orthogonal.
un
vn
[
x
−y
2
Opérateur chapeau dans R :
=
. Il est conçu pour
y
x
transformer le déterminant en produit scalaire :
u1 v1 b · ~v .
= u1 v2 − u2 v1 = −u2 · v1 = ~u
det(~u,~v) = u2 v2 v2
u1
Produit vectoriel dans R3 : ~u ∧ ~v joue le même rôle :
~ ) = (~u ∧ ~v) · w
~ .
det(~u,~v, w
Preuve. Développer suivant la dernière colonne...
u est orthogonal à ~u dans R2 ?
Questions : Est-ce que ~b
Que peut-on dire sur ~u ∧ ~v dans R3 ?
{~u,~v, ~u ∧ ~v} forme-t-il une base directe ou indirecte ?