Fonction Filtrage

Fonction Filtrage
Dans le cas du traitement des signaux analogiques, la fonction filtrage permet de privilégier
ou d’éliminer certaines fréquences indésirables d’un signal d’entrée au moyen de montages
appelés filtres.
Exemple d’application : La fréquence de 50Hz présente sur le secteur constitue très souvent
un signal parasite vis à vis du fonctionnement de l’électronique d’un système technique ; il
convient alors, par l’intermédiaire de filtres, de supprimer ou d’atténuer ce signal.
Ces filtres se présentent sous différentes formes. Lorsqu’il n’y a pas d’amplification du signal
d’entrée par un élément actif (transistor, AIL), il est dit « passif » ; dans le cas contraire, il est
« actif ».
Signal d’entrée
+ fréquences
indésirables
Signal d’entrée
filtré (« nettoyé » des
fréquences parasites)
FILTRER
A. NOTION DE SPECTRE D’UN SIGNAL
Un signal périodique quelconque a(t) peut être décomposé en une somme :
-
d’une grandeur constante A égale à la valeur moyenne du signal d’origine.
de signaux sinusoïdaux d’amplitude et de fréquence liées au signal a(t). On distingue :
 le signal fondamental (de fréquence identique au signal initial).
 les harmoniques (de fréquences supérieures au signal initial).
Un signal sinusoïdal u(t) d’amplitude U et de fréquence f a pour expression :
u(t) = U2 sin (2f t + )
déphasage
amplitude max.
fréquence (pulsation :  = 2F)
On peut alors représenter le spectre de ce signal dans un repère. On représente les amplitudes
des sinusoïdes sur l’axe des ordonnées et les fréquences sur l’axe des abscisses.
Amplitudes
Â1
Amoy
Fréquences
0
f1
f2
f3
f4
f5
Le signal dont le spectre est décrit ci-dessus aurait alors pour expression :
a(t) = Amoy + Â1 sin (2f1 t + 1) + Â2 sin (2f2 t + 2) + …. + Ân sin (2fn t + n)
Voir exemple : Electrotechnique et électronique industrielle, Tome2, page 66.
Fonction Filtrage
Page 1
B. UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN ELECTRONIQUE
1. Représentation des nombres complexes
A toute tension sinusoïdale u(t)=U2 cos (t + ) on peut associer un nombre complexe noté U :
- de module égal à U, valeur efficace de la tension u(t).
- d’argument égal à , phase initiale de u(t).
Dans le plan complexe, M représente l’image de ce nombre complexe U qui peut s’écrire :
U = [ U,  ]
Différentes expressions d’un nombre complexe

Z de module  et d’argument 
M
j
Z=[,]=e
Z = a + j b ; avec a =  cos  et b =  sin 
 =  a²+b² et tan  = b / a
U

0

R
A
P
P
E
L
S
Rem : j² = -1 ; 1 / j = -j
O : axe des parties réelles ; O : axe des parties imaginaires.
2. Impédances complexes
L’impédance d’un circuit est la grandeur qui est pour les signaux alternatifs, l’équivalent
de la résistance pour les signaux continus. Elle se désigne par Z et s’exprime en Ohm
comme une résistance mais elle diffère de celle-ci car sa valeur dépend de la fréquence du
signal alternatif. L’impédance complexe définit la valeur de l’impédance et le déphasage
produit.
En notation complexe, la loi d’Ohm appliquée à un dipôle passif s’écrit :
U=ZI
; Z représente l’impédance complexe du dipôle
I=YU
; Y représente son admittance : Y = 1 / Z
a) Elément résistif
Pour un élément résistif, il n’y a pas de
déphasage du courant par rapport à la tension.
Ansi : ZR = R et ZR= [ZR , 0]
U
O
I
b) Bobine parfaite
Un bobine (ou self), de résistance négligeable
produit un déphasage de 90° entre le courant
et la tension, le courant étant en retard sur la
tension. Ainsi : ZL = L et ZL = jL
= [ZL , /2]
U
/2
I
O
 Calculer l’impédance d’une bobine
d’inductance 0,1H soumise à une tension
alternative de 20V, 50Hz.
Calculer l’intensité du courant qui la traverse.
Fonction Filtrage
Réponses :
Page 2
c) Condensateur
Un condensateur produit un déphasage de 90°
du courant sur la tension, le courant étant en
avance sur la tension.
Ainsi : ZC = 1 / C et ZC = 1 / jC = -j / C
= [ZC, - /2]
O
I
- /2
U
 Calculer l’impédance d’un condensateur de
capacité 100µF soumis à une tension
alternative de 20V, 50Hz.
Calculer l’intensité du courant qui le traverse.
Réponses :
3. Association de dipôles passifs
De la même façon que l’on calcule une résistance équivalente (de résistances en série
ou en dérivation), le calcul d’une impédance complexe équivalente vaut :
-
la somme des impédances complexes lorsque les éléments (R, L ou C) sont branchés en
série,
la somme des admittances complexes lorsque les éléments sont branchés en parallèle.
-
Exercices
a) Une résistance R de 800, une inductance L de 1,1H et une capacité de 2,2µF
associées en série sont parcourues par un courant sinusoïdal de pulsation  = 2F = 103 rd/s
et de valeur efficace 100 mA. Quelle est l’impédance de ce circuit ?
Réponses :
b) Donner l’impédance complexe des dipôles ci-dessous :
A
B A
R
Réponses :
Fonction Filtrage
L
B
R
Réponses :
A
C
B
L
C
Réponses :
Page 3
R
R
L
A
A
B A
B
B
C
L
C
Réponses :
Réponses :
Réponses :
R
R
L
C
A
L
B
A
B
C
Réponses :
Réponses :
C. L’ETUDE DES FILTRES
L’étude d’un filtre consiste à :
-
définir sa fonction de transfert Av = Vs / Ve
étudier l’évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquence du signal
d’entrée
représenter les variations du gain G = 20 Log |Av| et du déphasage du signal de sortie par
rapport au signal d’entrée en fonction de la fréquence  Diagramme de Bode en gain.
G(dB)
c
Exemple :
 (rd/s)
0
gain
constant
Fonction Filtrage
diminution
du gain à
partir de c
Page 4
1. Méthode de calcul
Très souvent, un filtre passif se résume à un circuit du type :
Ze :
Impédance
vue du
générateur
Z1
Ve
Z2
Vs
Zs :
Impédance
vue de la
charge
FILTRE
Pour une mise en œuvre optimale de ces circuits, il faut que l’impédance du générateur
d’entrée soit faible et que l’impédance de charge du filtre soit très élevée.
On peut ainsi appliquer la règle du pont diviseur de tension :
Vs = Ve Z2
Z1+Z2
2. Représentation graphique
Pour définir le type du filtre, le diagramme de Bode nous informe sur la variation du gain
en fonction de la fréquence d’entrée.
Pour constituer ce diagramme, on s’intéressera particulièrement à la construction des
asymptotes en effectuant les calculs avec les pulsations :
 =0;
  = + ;
  = c (pulsation de coupure à –3dB) ;
et si nécessaire :
 10c, 100c …. représentant les décades ;
 2c, 3c…. représentant les octaves.
Pour les filtres actifs ou passifs du premier ordre, la variation du gain ne peut
excéder 20dB par décade.
On notera Fc, la fréquence de coupure à laquelle correspond une atténuation du gain
maximum de – 3dB.
3. Quelques formules à connaître
Amplification en tension : Av = Vs / Ve
Module de Av : |Av| = |Vs| / |Ve|
Argument de Av : Arg(Av) = Arg Vs – Arg Ve
Module d’un nombre complexe z = a + jb :  = a² + b²
Argument d’un nombre complexe z = a + jb :  = arc tan (b/a)
Gain (dB) :G = 20 Log |Av|  |Av| = 10(G/20)
Log 0 = - 
; Log 1 = 0
; Log  =  ; Log (A x B) = Log A + Log B
Arc tan 0 = 0
; Arc tan  = /2
; Arc tan - = - /2
j² = -1
; 1/j = -j
Si Z = a + jb alors Z* (conjugué de Z) = a – jb ; Y = 1 / Z = 1/(a + jb)
Fonction Filtrage
Page 5
D. LES DIFFERENTS FILTRES
Suivant la bande passante (bande de fréquence pour laquelle l’affaiblissement est égal à
–3dB), les filtres sont classés en 4 catégories : passe-bas, passe-haut, passe-bande et réjecteur
de bande (ou coupe-bande).
1. Le filtre passe-bas du 1° ordre :
PASSIF
ACTIF
R
Ve
C
Vs
Fonction de transfert (ou transmittance) : Vs / Ve
Diagramme de Bode : réponse en gain
Caractéristiques
Bande passante : BW =
Bande passante : BW =
Fréquence de coupure fc =
Fréquence de coupure fc =
Atténuation :
Atténuation :
Fonction du filtre passe-bas
Fonction Filtrage
Page 6
2. Le filtre passe-haut du 1° ordre :
PASSIF
ACTIF
C
Ve
R
Vs
Fonction de transfert (ou transmittance) : Vs / Ve
Diagramme de Bode : réponse en gain
Caractéristiques
Bande passante : BW =
Bande passante : BW =
Fréquence de coupure fc =
Fréquence de coupure fc =
Atténuation :
Atténuation :
Fonction du filtre passe-haut
Fonction Filtrage
Page 7
3. Etude qualitative des filtres passe-bande et coupe-bande :
Ces deux filtres, dont l’étude quantitative serait moins évidente que celle effectuée
précédemment, permettent :
 de privilégier une bande de fréquence (comprise entre fb, la fréquence basse et fh,
la fréquence haute) dans le cas du filtre passe-bande,
 d’atténuer une bande de fréquence dans le cas du filtre coupe-bande.
Filtre passe-bande
Filtre réjecteur de bande (coupe-bande)
Diagramme de Bode : réponse en gain
G(dB)
G(dB)
Bande de fréquence
privilégiée
Bande de fréquence
atténuée
F
Fb
Fo
F
Fh
Fb
Fo Fh
Fonction des filtres
Le filtre passe-bande permet de laisser Le filtre réjecteur de bande (ou aussi appelé
passer (d’amplifier ou d’atténuer le moins coupe-bande) permet d’atténuer les signaux
possible) les signaux dont la fréquence est dont la fréquence est comprise entre Fb et Fh.
comprise entre Fb et Fh.
Fo représente la fréquence propre du filtre.
On se propose d’étudier la structure ci-dessous :
+
R1
C1
Ve
FILTRE 1
Cette structure est
réalisée à partir de 2
filtres dont les
caractéristiques sont :
C2
R2
FILTRE 2
Vs
R2C2 = 10R1C1
L’A.I.L. est considéré
comme idéal.
a) Donner la nature des filtres 1 et 2.
b) Donner le régime de fonctionnement de l’A.I.L. Ainsi câblé, quelle est sa fonction ?
c) T1 étant la transmittance du filtre 1, T2 celle du filtre 2, Donner la transmittance Vs/Ve en
fonction de T1 et T2.
d) Proposer un diagramme asymptotique de gain de l’ensemble.
e) Donner la nature du filtre ainsi constitué.
Fonction Filtrage
Page 8
4. Etude expérimentale :
On utilise la structure ci-dessous afin de réaliser un filtre :
R
R
C
C
Structure double T.
Ve
Vs
R/2
2C
La fonction de transfert Vs/Ve est :
Vs
Ve
=
1 - R²C²² 
1 + jRC - R²C²²
a) Entrer le programme ci-contre.
b) Identifier chacun des éléments sur le
schéma structurel. Préciser les nœuds.
c) Observer l’analyse fréquentielle puis
déterminer le type du filtre. En
donner les critères.
d) Relever la valeur de la fréquence Fc
particulière.
A quoi correspond-elle ?
e) Modifier les paramètres du filtres :
 R=10k ; C=100nF
 R=10k ; C=10nF
 R=1k ; C=100nF
Relever Fc pour chaque cas.
f) Conclusion.
PROGRAMME SOUS SPICE
* Terminale S T - 09/98
* Filtre passif ………………………
* en double T
* Définition du schéma
C1 1 2 10N
C2 2 3 10N
R1 1 4 1K
R2 4 3 1K
C3 4 0 22N
R3 2 0 470
* Définition du signal d'entrée
VIN 1 0 PWL 0 0 1U 0 2U 1 20U 1 20.1U 0 AC 1
* Définition de l'oscilloscope
.AC DEC 30 100 100MEG
.TRAN .2U 40U
.PRINT AC VM(3) VP(3) VM(1) VP(1)
.PLOT AC VM(3) VP(3)
.PRINT TRAN V(3) V(1)
.PLOT TRAN V(3) V(1)
.END
E. QUELQUES PRECISIONS A PROPOS DES FILTRES

L’ordre du filtre détermine son efficacité. Elle est définie par la pente des
asymptotes.
Exemple : Filtre du 1° ordre : 20 dB/décade
Filtre du 2°ordre : 40 dB/décade
Filtre du 3°ordre : 60 dB/décade…

Il est possible, en associant plusieurs filtres en cascade, d’augmenter l’ordre d’un
filtre . Ainsi, deux filtres passe-bas du premier ordre mis en cascade constituent un
filtre passe-bas du 2° ordre.
Fonction Filtrage
Page 9