Fonction Filtrage

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Fonction Filtrage
Dans le cas du traitement des signaux analogiques, la fonction filtrage permet de privilégier
ou d’éliminer certaines fréquences indésirables d’un signal d’entrée au moyen de montages
appelés filtres.
Exemple d’application : La fréquence de 50Hz présente sur le secteur constitue très souvent
un signal parasite vis à vis du fonctionnement de l’électronique d’un système technique ; il
convient alors, par l’intermédiaire de filtres, de supprimer ou d’atténuer ce signal.
Ces filtres se présentent sous différentes formes. Lorsqu’il n’y a pas d’amplification du signal
d’entrée par un élément actif (transistor, AIL), il est dit « passif » ; dans le cas contraire, il est
« actif ».
Signal d’entrée Signal d’entrée
+ fréquences filtré (« nettoyé » des
indésirables fréquences parasites)
A. NOTION DE SPECTRE D’UN SIGNAL
Un signal périodique quelconque a(t) peut être décomposé en une somme :
- d’une grandeur constante A égale à la valeur moyenne du signal d’origine.
- de signaux sinusoïdaux d’amplitude et de fréquence liées au signal a(t). On distingue :
 le signal fondamental (de fréquence identique au signal initial).
 les harmoniques (de fréquences supérieures au signal initial).
Un signal sinusoïdal u(t) d’amplitude U et de fréquence f a pour expression :
u(t) = U2 sin (2f t + )
déphasage
amplitude max.
fréquence (pulsation :  = 2F)
On peut alors représenter le spectre de ce signal dans un repère. On représente les amplitudes
des sinusoïdes sur l’axe des ordonnées et les fréquences sur l’axe des abscisses.
Amplitudes
Â1
Amoy
Fréquences
0 f1 f2 f3 f4 f5
Le signal dont le spectre est décrit ci-dessus aurait alors pour expression :
a(t) = Amoy + Â1 sin (2f1 t + 1) + Â2 sin (2f2 t + 2) + …. + Ân sin (2fn t + n)
Voir exemple : Electrotechnique et électronique industrielle, Tome2, page 66.
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B. UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN ELECTRONIQUE
1. Représentation des nombres complexes
A toute tension sinusoïdale u(t)=U2 cos (t + ) on peut associer un nombre complexe noté U :
- de module égal à U, valeur efficace de la tension u(t).
- d’argument égal à , phase initiale de u(t).
Dans le plan complexe, M représente l’image de ce nombre complexe U qui peut s’écrire :
U = [ U,  ]
M
U
0 
O : axe des parties réelles ; O : axe des parties imaginaires.
2. Impédances complexes
L’impédance d’un circuit est la grandeur qui est pour les signaux alternatifs, l’équivalent
de la résistance pour les signaux continus. Elle se désigne par Z et s’exprime en Ohm
comme une résistance mais elle diffère de celle-ci car sa valeur dépend de la fréquence du
signal alternatif. L’impédance complexe définit la valeur de l’impédance et le déphasage
produit.
En notation complexe, la loi d’Ohm appliquée à un dipôle passif s’écrit :
U = Z I ; Z représente l’impédance complexe du dipôle
I = Y U ; Y représente son admittance : Y = 1 / Z
a) Elément résistif
Pour un élément résistif, il n’y a pas de
déphasage du courant par rapport à la tension.
Ansi : ZR = R et ZR= [ZR , 0]
U
O I
b) Bobine parfaite
Un bobine (ou self), de résistance négligeable
produit un déphasage de 90° entre le courant
et la tension, le courant étant en retard sur la
tension. Ainsi : ZL = L et ZL = jL
= [ZL , /2]
 Calculer l’impédance d’une bobine
d’inductance 0,1H soumise à une tension
alternative de 20V, 50Hz.
Calculer l’intensité du courant qui la traverse.
U
/2
I
O
Différentes expressions d’un nombre complexe
Z de module  et d’argument 
Z = [  ,  ] =  e j
Z = a + j b ; avec a =  cos  et b =  sin 
 =  a²+b² et tan  = b / a
Rem : j² = -1 ; 1 / j = -j
R
A
P
P
E
L
S
Réponses :

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c) Condensateur
Un condensateur produit un déphasage de 90°
du courant sur la tension, le courant étant en
avance sur la tension.
Ainsi : ZC = 1 / C et ZC = 1 / jC = -j / C
= [ZC, - /2]
 Calculer l’impédance d’un condensateur de
capacité 100µF soumis à une tension
alternative de 20V, 50Hz.
Calculer l’intensité du courant qui le traverse.
O
I
- /2
U
3. Association de dipôles passifs
De la même façon que l’on calcule une résistance équivalente (de résistances en série
ou en dérivation), le calcul d’une impédance complexe équivalente vaut :
- la somme des impédances complexes lorsque les éléments (R, L ou C) sont branchés en
série,
- la somme des admittances complexes lorsque les éléments sont branchés en parallèle.
Exercices
a) Une résistance R de 800, une inductance L de 1,1H et une capacité de 2,2µF
associées en série sont parcourues par un courant sinusoïdal de pulsation  = 2F = 103 rd/s
et de valeur efficace 100 mA. Quelle est l’impédance de ce circuit ?
b) Donner l’impédance complexe des dipôles ci-dessous :
A B
R L
A B
R C
A B
L C
Réponses :
Réponses :
Réponses :
Réponses :
Réponses :

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R
A B
L
R
A B
C
L
A B
C
Réponses :
Réponses :
Réponses :
R L C
A B
R
L
A B
C
Réponses :
Réponses :
C. L’ETUDE DES FILTRES
L’étude d’un filtre consiste à :
- définir sa fonction de transfert Av = Vs / Ve
- étudier l’évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquence du signal
d’entrée
- représenter les variations du gain G = 20 Log |Av| et du déphasage du signal de sortie par
rapport au signal d’entrée en fonction de la fréquence  Diagramme de Bode en gain.
G(dB)
Exemple : c  (rd/s)
0
gain diminution
constant du gain à
partir de c

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FILTRE
1. Méthode de calcul
Très souvent, un filtre passif se résume à un circuit du type :
Ze : Z1 Zs :
Impédance Ve Z2 Vs Impédance
vue du vue de la
générateur charge
Pour une mise en œuvre optimale de ces circuits, il faut que l’impédance du générateur
d’entrée soit faible et que l’impédance de charge du filtre soit très élevée.
On peut ainsi appliquer la règle du pont diviseur de tension :
Vs = Ve Z2
Z1+Z2
2. Représentation graphique
Pour définir le type du filtre, le diagramme de Bode nous informe sur la variation du gain
en fonction de la fréquence d’entrée.
Pour constituer ce diagramme, on s’intéressera particulièrement à la construction des
asymptotes en effectuant les calculs avec les pulsations :
  = 0 ;
  = + ;
  = c (pulsation de coupure à –3dB) ;
et si nécessaire :
 10c, 100c …. représentant les décades ;
 2c, 3c…. représentant les octaves.
Pour les filtres actifs ou passifs du premier ordre, la variation du gain ne peut
excéder 20dB par décade.
On notera Fc, la fréquence de coupure à laquelle correspond une atténuation du gain
maximum de – 3dB.
3. Quelques formules à connaître
Amplification en tension : Av = Vs / Ve
Module de Av : |Av| = |Vs| / |Ve|
Argument de Av : Arg(Av) = Arg Vs – Arg Ve
Module d’un nombre complexe z = a + jb :  = a² + b²
Argument d’un nombre complexe z = a + jb :  = arc tan (b/a)
Gain (dB) :G = 20 Log |Av|  |Av| = 10(G/20)
Log 0 = -  ; Log 1 = 0 ; Log  =  ; Log (A x B) = Log A + Log B
Arc tan 0 = 0 ; Arc tan  = /2 ; Arc tan - = - /2
j² = -1 ; 1/j = -j
Si Z = a + jb alors Z* (conjugué de Z) = a – jb ; Y = 1 / Z = 1/(a + jb)