Page 1 sur 3 File : Filt-Num-RII-Fct-Trnsfert-Z-Gerva ddffq filtres récursifs <-> filtres « RII » : Exemple Soit le filtre « RII » dont l’algorithme est : so (m . Te) . H (m . Te) = = a0 . si (m . Te) . H (m . Te) - b1 . so ((m - 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) ; La fonction de transfert en « z » de ce filtre « RII », est : T (z) Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = = a0 / (1 + b1 . z- 1) D'une façon générale : VOIR FILE !!! xxxx un f iltre recursif admet une fonction de transfert « T (z) » en « z » de la forme : T (z) Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = jN = ( aj . z- j ) / (1 + j 0 kN b k . z- k ) ; k 1 Démonstration A partir de cette équation, la transformée en « z » permet d’obtenir une fonction de transfert « T (z) » en « z » qui caractérise ce filtre numérique : m so (m . Te) . H (m . Te) . z- m = m0 m = a0 . si (m . Te) . H (m . Te) . z- m - b1 . m0 m s0 ((m - 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) . z- m m0 VOIR FILE !!! xxxx Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) - b1 . Z [ { so ((n - 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) <=> Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) - b1 . z- 1 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=> Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) . (1 + b1 . z- 1) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=> Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 / (1 + b1 . z- 1) ; Page 2 sur 3 C.Q.F.D *********************************************************************** Passage de la fonction de transfert en « z » d’un filtre numérique à l'algorithme de ce filtrs <-> équation de récurrence de ce filtre Exemple : T (z) Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = = (a0 + a1 . z- 1)/ (1 + b1 . z + b2 . z2) <=> Pour obtenir l'algorithme <-> l’équation de récurence, il faut appliquer cette méthode : (1 + b1 . z + b2 . z2) . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = = (a0 + a1 . z- 1) . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=> Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + b1 . z- 1 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + + b2 . z- 2 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + + a1 . z- 1 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=> Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + b1 . Z [ { so ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) + + b2 . Z [ { so ((n – 2) . Te) . H ((n - 2) . Te) } ](z) = = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + + a1 . Z [ { si ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) } Donc, { so (n . Te) . H (n . Te) } + b1 . { so ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } + + b2 . { so ((n - 2) . Te) . H ((n - 2) . Te) } = = a0 . { si (n . Te) . H (n . Te) } + a1 . { si ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } Donc, l'algorithme du filtre est : so (m . Te) . H (m . Te) + b1 . so ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) + + b2 . so ((m – 2) . Te) . H ((m - 2) . Te) = = a0 . si (m . Te) . H (m . Te) + a1 . si ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) so (m . Te) . H (m . Te) = a0 . si (m . Te) . H (m . Te) + + a1 . si ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) - b1 . so ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) - b2 . so ((m – 2) . Te) . H ((m - 2) . Te); Donc, il s’agit d’un filtre numérique récursif ; *********************************************************************** Page 3 sur 3 HERE