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File : Filt-Num-RII-Fct-Trnsfert-Z-Gerva
 ddffq
 filtres récursifs <-> filtres « RII » :
Exemple
Soit le filtre « RII » dont l’algorithme est :
so (m . Te) . H (m . Te) =
= a0 . si (m . Te) . H (m . Te) - b1 . so ((m - 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) ;
La fonction de transfert en « z » de ce filtre « RII », est :
T (z)  Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) =
= a0 / (1 + b1 . z- 1)
D'une façon générale : VOIR FILE !!! xxxx un f iltre recursif admet une fonction de
transfert « T (z) » en « z » de la forme :
T (z)  Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) =
= (
Nj
j0
aj . z- j ) / (1 +
Nk
k1
bk . z- k ) ;
Démonstration
A partir de cette équation, la transformée en « z » permet d’obtenir une fonction de
transfert « T (z) » en « z » qui caractérise ce filtre numérique :
m
m0
so (m . Te) . H (m . Te) . z- m =
= a0 .
m
m0
si (m . Te) . H (m . Te) . z- m - b1 .
m
m0
s0 ((m - 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) . z- m 
VOIR FILE !!! xxxx
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) -
- b1 . Z [ { so ((n - 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) <=>
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) -
- b1 . z- 1 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=>
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) . (1 + b1 . z- 1) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=>
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 / (1 + b1 . z- 1) ;

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C.Q.F.D
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Passage de la fonction de transfert en « z » d’un filtre numérique à l'algorithme de
ce filtrs <-> équation de récurrence de ce filtre
Exemple :
T (z)  Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) / Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) =
= (a0 + a1 . z- 1)/ (1 + b1 . z + b2 . z2) <=>
Pour obtenir l'algorithme <-> l’équation de récurence, il faut appliquer cette méthode :
(1 + b1 . z + b2 . z2) . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) =
= (a0 + a1 . z- 1) . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=>
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + b1 . z- 1 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) +
+ b2 . z- 2 . Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) = a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) +
+ a1 . z- 1 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) <=>
Z [ { so (n . Te) . H (n . Te) } ](z) + b1 . Z [ { so ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) +
+ b2 . Z [ { so ((n – 2) . Te) . H ((n - 2) . Te) } ](z) =
= a0 . Z [ { si (n . Te) . H (n . Te) } ](z) +
+ a1 . Z [ { si ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } ](z) } 
Donc,
{ so (n . Te) . H (n . Te) } + b1 . { so ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) } +
+ b2 . { so ((n - 2) . Te) . H ((n - 2) . Te) } =
= a0 . { si (n . Te) . H (n . Te) } + a1 . { si ((n – 1) . Te) . H ((n - 1) . Te) }
Donc, l'algorithme du filtre est :
so (m . Te) . H (m . Te) + b1 . so ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) +
+ b2 . so ((m – 2) . Te) . H ((m - 2) . Te) =
= a0 . si (m . Te) . H (m . Te) + a1 . si ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) 
so (m . Te) . H (m . Te) = a0 . si (m . Te) . H (m . Te) +
+ a1 . si ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) -
- b1 . so ((m – 1) . Te) . H ((m - 1) . Te) - b2 . so ((m – 2) . Te) . H ((m - 2) . Te);
Donc, il s’agit d’un filtre numérique récursif ;
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