tp nombres parfaits, nombres de mersenne et de fermat

FICHE 7
TP NOMBRES PARFAITS, NOMBRES DE MERSENNE ET
DE FERMAT
Dénition
Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs
positifs stricts (autres que lui-même).
Exemples 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3 ;
28 est parfait car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
On peut aussi vérier que 496 et 8 128 sont des nombres parfaits (résultats découverts
par le mathématicien grec NICOMAQUE).
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§Ex
¥
7.1 ¦
Montrer que, si 2n − 1 est premier, alors 2n−1 (2n − 1) est parfait.
(EUCLIDE, Éléments, Livre IX).
L. EULER (1 707 - 1 783) a montré réciproquement que :
"Tout nombre parfait pair est de la forme 2n−1 (2n − 1), où 2n − 1 est un nombre
premier."
Cela nous amène à la recherche des nombres premiers de la forme 2n − 1.
Dénition
On appelle nombres de Mersenne les nombres de la forme Mn = 2n − 1,
n ≥ 1.
¨
§Ex
¥
7.2 ¦
Parmi les nombres M1 , M2 , M3 , M4 , M5 ,M6 quels sont ceux qui sont premiers ?
Voici les 7 premiers nombres parfaits, correspondants aux sept plus petits nombres
de MERSENNE qui sont premiers :
n
2
3
5
7
13
17
19
2n − 1
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
nombre parfait : 2n−1 (2n − 1)
6
28
496
8 128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
On ne sait pas encore s'il existe des nombres parfaits impairs (mais s'il en existe, ils
sont supérieurs à 10300 ).
¨
§Ex
¥
7.3 ¦
Montrer que si Mn est premier, alors n est premier.
(Indication. On a déjà rencontré et prouvé le résultat suivant dans l'exercice 4.9 : si
a, b et m sont des entiers naturels, alors a − b divise am − bm .)
FICHE 7
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TP NOMBRES PARFAITS . . .
En considérant n = 11, montrer que la réciproque est fausse.
Le plus grand nombre premier connu en mai 2 004 était un nombre de Mersenne, à
savoir le nombre 224 036 583 − 1 (plus de sept millions de chires).
Fermat s'est intéressé, lui, aux entiers premiers de la forme 2n + 1. Si n n'est pas un
nombre de la forme 2k , 2n + 1 ne peut pas être premier.
En eet, on a vu dans l'exercice 4.9 que si m est un nombre impair a + b divise
am + bm .
En particulier, si n est écrit sous la forme m2k avec m impair,
³ ´men utilisant la décomk
position de n en produit de facteurs premiers, 2n + 1 = 22
+ 1 est divisible par
k
22 + 1.
Si m est diérent de 1, 2n + 1 ne peut pas être premier.
Dénition
On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme Fk = 22 + 1, k ≥ 0.
k
Fermat pensait que tous ces nombres étaient premiers. C'est bien le cas pour F0 = 3,
F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537. Mais F5 = 4 294 967 297 est divisible par
641 et les nombres qui suivent semblent être tous composés.
FICHE 7
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TP NOMBRES PARFAITS . . .