Algèbre commutative et géométrie algébrique

Algèbre commutative et géométrie algébrique
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Futilités d’usage 1
2 Anneaux nœthériens 3
2.1 Résultats généraux ........................ 3
2.2 Théorème de la base de Hilbert ................. 4
2.3 Ensembles algébriques ...................... 5
2.4 Idéal associé à un ensemble algébrique ............. 7
3 Résultant et bases de Gröbner 9
3.1 Résultant ............................. 9
3.2 Base de Gröbner ......................... 12
3.3 Base de Gröbner réduite ..................... 18
3.4 Application ............................ 19
3.4.1 Élimination ........................ 19
3.4.2 Théorème d’extension .................. 20
3.5 Théorèmes des zéros de Hilbert ................. 20
4 Dimension 27
4.1 Localisation ............................ 27
4.2 Idéaux ............................... 28
4.3 Lemme de Nakayama ....................... 30
4.4 Extension entière ......................... 31
4.5 Dimension d’un ensemble algébrique .............. 36
4.6 Fonction de Hilbert ........................ 37
5 Introduction au langage des schémas 41
5.1 Spectre d’un anneau ....................... 41
5.2 Faisceaux ............................. 42
5.3 Schémas .............................. 45
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ii TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Futilités d’usage
On considère des anneaux commutatifs unitaires non nuls.
Proposition 1.1 Soit φun morphisme.
L’image réciproque d’un idéal est un idéal.
Si φest surjective, l’image directe d’un idéal est un idéal.
Définition 1.1 On définit la somme des (Ii)i∈Scomme étant l’ensemble des
X
i∈S
xioù chaque xi∈Iiet xi= 0 pour presque tout i. On a
n
X
i=1hxii=hx1,...,xni
Définition 1.2 On définit le produit de deux idéaux Iet Jcomme l’en-
semble des sommes finies de xy où x∈Iet y∈J. On étend cette définition
ànidéaux par récurrence.
Proposition 1.2 Le produit est inclus dans l’intersection.
Remarque 1.1 Quand Aest intègre alors l’intersection d’idéaux non nuls est
non nulle.
Définition 1.3 On définit le conducteur de Jdans Ipar (I:J) = {x∈
A, xJ ⊂I}.
Pour I= (0), on obtient l’idéal annulateur de J.
Théorème 1.1 Krull Tout idéal propre est inclus dans un idéal maximal.
Corollaire 1.1 Un élément est inversible ssi il n’appartient à aucun idéal
maximal.
Proposition 1.3 Soit pun idéal premier inclus dans Aet I, J deux idéaux
de A.
Si I∩J⊂palors I⊂pou J⊂p.
Si IJ ⊂palors I⊂pou J⊂p.
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