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Agr´egation Interne
Anneaux et id´eaux
Ce probl`eme sur les anneaux, les id´eaux et les anneaux euclidiens ne n´ecessite que quelques
connaissances de base.
Il est en relation avec les le¸cons d’oral suivante :
– 103 : Congruences dans Z,anneau Z/nZ.Applications ;
– 165 : Id´eaux d’un anneau commutatif. Exemples.
On pourra consulter les ouvrages suivants.
J. M. Arnaudies, J. Bertin :Groupes, alg`ebres et g´eom´etrie. Ellipses (1993).
N. Bourbaki :´ El´ements de Math´ematiques, XXX, Alg`ebre commutative, Chapitres 5,6. Hermann
(1964).
F. Combes —Alg`ebre et g´eom´etrie. Br´eal (2003).
S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas :Exercices de math´ematiques. Oraux X-ENS. Alg`ebre
1. Cassini (2001).
S. Francinou, H. Gianella. Exercices de math´ematiques pour l’agr´egation. Alg`ebre 1. Masson
(1994).
P. Ortiz. Exercices d’alg`ebre. Ellipses (2004).
D. Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses (1996).
J. P. Ramis, A. Warusfel. Math´ematiques tout en un pour la licence. Niveau L2. Dunod.
(2007).
A. Szpirglas. Math´ematiques L3. Alg`ebre. Pearson (2009).
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1´ Enonc´e
Pour ce probl`eme, sauf pr´ecision contraire, Ad´esigne un anneau commutatif, unitaire et on note :
– 0 et 1 les ´el´ements neutres pour l’addition et la multiplication de A,avec 0 ̸= 1 ;
–A∗=A\ {0}l’ensemble des ´el´ements non nuls de A;
–A×le groupe multiplicatif des ´el´ements inversibles (ou des unit´es) de A.
On suppose que les sous anneaux de Acontiennent l’unit´e 1 et qu’un morphisme d’anneaux
commutatifs unitaires φ:A→Best tel que φ(1A) = 1B.
Les anneaux Zet K[X],Kd´esignant un corps commutatif, sont suppos´es connus.
On rappelle qu’un corps commutatif est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout ´el´ement
non nul est inversible (on a donc A×=A∗).
On peut aussi consid´erer des anneaux non commutatifs. En pratique nous rencontrerons l’anneau
Mn(K) des matrices carr´ees d’ordre n≥2 (pour n= 1,Mn(K) = K) `a coefficients dans un corps
commutatif Kou encore l’anneau L(E) des endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
– I – G´en´eralit´es sur les anneaux et les id´eaux
Quelques rappels.
– L’anneau Aest int`egre s’il n’admet pas de diviseurs de 0,c’est-`a-dire que pour a, b dans A,on
a :
a·b= 0 ⇔a= 0 ou b= 0
ou encore :
a·b̸= 0 ⇔a̸= 0 et b̸= 0
Un sous-anneau d’un anneau int`egre est int`egre.
Un corps est int`egre.
– Deux ´el´ements a, b de Asont dits associ´es s’il existe un ´el´ement inversible u∈A×tel que b=ua.
Les unit´es de Asont les ´el´ements associ´es `a 1.
aet bsont associ´es si, et seulement si, adivise bet bdivise a.
La relation ≪ˆetre associ´es ≫est une relation d’´equivalence.
– Un ´el´ement pde Aint`egre est dit irr´eductible si p̸= 0, p n’est pas inversible et :
(p=uv)⇒(uou vest inversible)
(les seuls diviseurs de psont les ´el´ements inversibles ou les ´el´ements de Aassoci´es `a p).
– Un ´el´ement pde Aint`egre est dit premier si p̸= 0, p n’est pas inversible et :
(pdivise uv)⇒(pdivise uou pdivise v)
– On dit que l’anneau Aest factoriel s’il est int`egre et si tout ´el´ement non nul et non inversible
a∈As’´ecrit de mani`ere unique a=u
r
k=1
pαk
k,o`u uest inversible, les pksont irr´eductibles deux
`a deux non associ´es et les αksont des entiers naturels non nuls.
– Un id´eal de Aest un sous-ensemble Ide Atel que :
Iest un sous-groupe de (A,+)
∀(a, b)∈I×A, ab ∈I
(la deuxi`eme condition se traduit en disant que Iest absorbant pour le produit).
Dans le cas d’un anneau unitaire non commutatif, on d´efinit les notions d’id´eal `a droite (pour
(a, b)∈I×A, ab ∈I), `a gauche (pour (a, b)∈I×A, ba ∈I) ou bilat`ere (pour (a, b)∈
I×A, ab ∈Iet ba ∈I).
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– On v´erifie facilement qu’une intersection quelconque d’id´eaux est un id´eal.
– Pour tout a∈A,l’ensemble :
(a) = a·A={qa |q∈A}
des multiples de adans Aest un id´eal. Un tel id´eal est dit principal et on dit que c’est l’id´eal
engendr´e par a.
On a, pour tous a, b dans A:
(adivise b)⇔((b)⊂(a))
Pour Aint`egre, on a :
(aet bsont associ´es) ⇔((a) = (b))
– Plus g´en´eralement, pour toute famille (ak)1≤k≤pd’´el´ements de A,l’ensemble :
(a1,··· , ap) = p
k=1
qkak|(q1,··· , qp)∈Ap
est un id´eal. On dit que c’est l’id´eal engendr´e par a1,···, apet qu’il est de type fini.
– L’anneau Aest dit principal s’il est int`egre et si tout id´eal de Aest principal.
En utilisant le th´eor`eme de division euclidienne, on v´erifie facilement que les anneaux Zet
K[X],Kd´esignant un corps commutatif, sont principaux.
Ce sont en fait des cas particuliers d’anneaux euclidiens (voir la partie II).
– Si (Ik)1≤k≤pest une famille d’id´eaux de A,l’ensemble :
I=
p
k=1
Ik=p
k=1
xk|(x1,··· , xp)∈I1× ··· × Ip
est un id´eal. Pour Ik= (ak),on a :
p
k=1
(ak) = (a1,··· , ap)
– Soit Iun id´eal de A.On dit que aest congru `a bmodulo Idans Asi b−a∈I. On note alors
a≡b(I).
Cette relation de congruence modulo Iest une relation d’´equivalence sur Aet pour tout a∈A,
on note :
a={b∈A|b≡a(I)}=a+I
la classe d’´equivalence correspondante.
L’ensemble de toutes ces classes d’´equivalence modulo Iest not´e A
I.
On v´erifie qu’il existe une unique structure d’anneau commutatif unitaire sur A
Itelle que la
surjection canonique πI:a∈A→a=a+I∈A
Isoit un morphisme d’anneaux.
– Un id´eal Ide Aest dit maximal s’il est distinct de Aet si Iet Asont les seuls id´eaux de Aqui
contiennent I.
Le lemme de Zorn (un ensemble ordonn´e inductif E(i. e. toute famille totalement ordonn´ee
d’´el´ements de Eposs`ede un majorant) poss`ede un ´el´ement maximal) permet de montrer que
tout id´eal de Adistinct de Aest contenu dans un id´eal maximal (th´eor`eme de Krull).
– Un id´eal Ide Aest dit premier s’il est distinct de Aet si ab ∈Isi, et seulement si, a∈Iou
b∈I.
1. Soit Iun id´eal (`a gauche ou `a droite ou bilat`ere) de A(commutatif ou pas). Montrer que I=A
si, et seulement si, Icontient un ´el´ement inversible.
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2. Montrer que les id´eaux de Asont les noyaux de morphismes d’anneaux φ:A→Bo`u Best un
anneau commutatif, unitaire.
3. Soit φ:A→Bun morphisme d’anneaux.
(a) Montrer que pour tout id´eal Jde B, φ−1(J) est un id´eal de A.
(b) On suppose que φest surjectif. Montrer que pour tout id´eal Ide A, φ (I) est un id´eal de
B,puis que l’application Φ qui associe `a tout id´eal Jde Bl’id´eal φ−1(J) de Ar´ealise une
bijection de l’ensemble des id´eaux de Bdans l’ensemble des id´eaux de Aqui contiennent
ker (φ).
4. Soit Iun id´eal de A.Montrer qu’il y a une bijection entre les id´eaux de A
Iet les id´eaux de A
qui contiennent I.
5. Id´eaux de Zn=Z
nZ.
(a) Soient Aun anneau principal et Iest un id´eal non trivial de A(i. e. I̸={0}et I̸=A).
Montrer que tous les id´eaux de A
Isont principaux. L’anneau A Iest-il principal ?
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, les id´eaux de l’anneau Zn=Z
nZsont ses sous-
groupes additifs.
(c) D´eterminer tous les id´eaux de Zn,o`u n≥2 est un entier.
6. Id´eaux de L(E).
Ed´esigne un espace vectoriel sur un corps commutatif K.
(a) Montrer que Eest de dimension finie si, et seulement si, ses seuls id´eaux bilat`eres sont
{0}et L(E).
(b) Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que tout morphisme
d’anneaux φ:L(E)→ L(F) est injectif.
(c) On suppose que Eest un R-espace vectoriel de dimension n≥2.Montrer que si pest une
semi-norme sur Etelle que p(u◦v)≤p(u)p(v) pour tous u, v dans L(E),cest alors une
norme.
(d) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie.
On se propose de montrer que les id´eaux `a droite de L(E) sont de la forme :
IF={u∈ L(E)|Im (u)⊂F}
o`u Fest un sous-espace vectoriel de E.
Pour tout sous-espace vectoriel Fde E, on note :
IF={u∈ L(E)|Im (u)⊂F}
et pour tout id´eal `a droite Ide L(E),on note :
FI=
u∈I
Im (u)
i. Soit I̸={0}un id´eal `a droite de L(E).Montrer que Iest sous-espace vectoriel de
L(E) et qu’il existe une famille finie (vk)1≤k≤pd’´el´ements de Itelle que :
FI=
p
k=1
Im (vk)
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ii. Soit F̸={0}un sous-espace vectoriel de E. Montrer que IFest un id´eal `a droite de
L(E) et que FIF=F.
iii. Soit I̸={0}un id´eal `a droite de L(E).Montrer que I⊂IFI.
iv. Soient I̸={0}un id´eal `a droite de L(E),(vk)1≤k≤pune famille d’´el´ements de Itelle
que FI=
p
k=1
Im (vk) et B= (ej)1≤nune base de E.
Justifier, pour tout u∈IFI,l’existence d’une famille (xj,k)1≤j≤n
1≤k≤p
de vecteurs de Etelle
que :
u(ej) =
p
k=1
vk(xj,k) (1 ≤j≤n)
puis en d´esignant par φ:E→Epl’application lin´eaire d´efinie par :
φ(ej) = (xj,1,··· , xj,p) (1 ≤j≤n)
et par v:Ep→El’application lin´eaire d´efinie par :
v(x1,··· , xp) =
p
k=1
vk(xk)
montrer que u=v◦φ. En d´eduire que I=IFI.Conclure.
(e) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie.
On se propose de montrer que les id´eaux `a gauche de L(E) sont de la forme :
IF={u∈ L(E)|ker (u)⊃F}
o`u Fest un sous-espace vectoriel de E.
i. Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel Fde E, IFest un id´eal `a gauche de
L(E).
ii. On d´esigne par E∗le dual de Eet pour Iid´eal `a gauche de L(E),on note :
tI=tu|u∈I
Montrer que tIest un id´eal `a droite de L(E∗) et conclure.
7. ´ El´ement premier, irr´eductible ; id´eal premier, maximal.
(a) Montrer qu’un ´el´ement premier dans Aint`egre est irr´eductible.
(b) On se donne un entier naturel n≥1 et on note :
Zi√n=Z+i√nZ=a+ib√n|(a, b)∈Z2
Pour n= 1,il s’agit de l’ensemble Z[i] des entiers de Gauss.
i. Montrer que Z[i√n] est un sous anneau de Cstable par l’op´eration de conjugaison
complexe.
ii. D´eterminer l’ensemble Z[i√n]×des ´el´ements inversibles de Z[i√n].
iii. Quels sont les entiers naturels p≥2 qui sont premiers dans Zet r´eductibles dans
Z[i√n] ?
iv. Montrer que, pour n≥3,2 est irr´eductible non premier dans Z[i√n].
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