Exercice en complément du cours

Exercice : Largeur de raie pour un gaz à température ambiante
Dans leur référentiel, les atomes émettent selon une forme de raie f(u) décrite par :
f ( ) 

1
     0 
2
2
La probabilité de trouver un atome de vitesse comprise entre v et v+dv s'écrit P(v)
dv. Avec :
1 1
v2
P( v ) 
exp
2  D
2  2D
avec :
k T
 D2  B
M
M masse atomique et kB=1,38 10-23JK-1.
On suppose :  
 0 D
.
c
Donner la forme et la largeur de raie observée sur un détecteur dans le référentiel du
laboratoire.
-------------------------------------------------------La fréquence u0 émise par un atome de vitesse v est vue sur le détecteur à la
 v
fréquence  0  0 1  .
 c 
La forme de raie associée est f v (  ) 

1
. La fome de raie
  2     1  v 
0


c 
totale correspond à la moyenne :

f ( ) 
 f ()
v
P(v) dv

En posant x 
0

f ( ) 


c
v , on obtient :

1
     0  x 
2
2
 c 2 


 x  
1 1
c
0
exp 
dx
2

2  D
2 D
0




f(u) a un profil appelé profil de Voigt. La demi-largeur à mi-hauteur de la partie
lorentzienne de l'intégrale est G. La demi-largeur à mi-hauteur de la partie gaussienne
est
2 n2  D
0
c
.
Comme    D
0
c
, la forme relative des deux fonctions est la suivante :
La gaussienne a donc une valeur constante, là où la lorentzienne est non nulle.
D'où:
f ( ) 
2
 c
 
   0  
1 1 c

 
exp  0
2


2  D  0
2 D







1
La valeur de l'intégrale est 1 car la fonction f(n) est normalisée
f ( ) 
1 1 c
1  c 2
2 
exp  2 2    0  
2  D  0
2  0  D

f(u) a un profil gaussien de demi-largeur totale à mi-hauteur :
   2 2 n2  D
0
c
AN : raie verte de mercure à T = 300 K.
l = 546 nm, M = 200 x 1,66 10-27 kg
-> Dn = 0,5 GHz.

  2     0  x 2 dx.