Ch. 02 PGCD et NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX I

Ch. 02 PGCD et NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
I – PGCD
Définition
• a et b désignent deux entiers relatifs. L’ensemble des diviseurs communs à a et b, noté
D (a, b), est un ensemble non vide, il contient toujours 1. Le plus grand élément de D (a, b)
est le Plus Grand Commun Diviseur à a et à b. On le note PGCD(a, b).
• Si PGCD(a, b) = 1 alors on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples
Déterminer PGCD(5, 8), PGCD(-15, 65), PGCD(-25,-100).
I.2 - Propriétés
a et b désignent deux entiers relatifs non nuls :
•
PGCD (a, 0) = a.
•
PGCD (a, 1) = 1.
•
PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD ( a , b ).
•
Si b divise a, alors PGCD (a, b) = b .
•
Si a = b, alors PGCD (a, b) = a .
€ €
Si b est premier et ne divise pas a, alors PGCD (a, b) = 1.
€
•
€
I.3 – Algorithme d’Euclide
Le PGCD de a et de b est connu lorsque :
1. a = b
ou
2. a ou b est égal à 0
ou
3. b divise a.
Propriété
La division euclidienne de a par b donne : a = bq + r avec 0 ≤ r < b. L’ensemble des
diviseurs communs à a et à b est confondu avec celui des diviseurs communs à b et à r.
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Algorithme d’Euclide
La recherche de D (a, b) se ramène à celle de D (b, r) : a = bq + r et 0 ≤ r < b.
La recherche de D (b, r) se ramène à celle de D (r, r1) : b = rq1 + r1 et 0 ≤ r1 < r.
…
La recherche de D (rn-1, rn) se ramène à celle de D (rn, 0) : rn-1 = rnqn+1 + rn+1, avec rn+1 = 0.
On conclut que le PGCD de rn et de 0 est rn. Donc que le PGCD de a et de b est aussi rn.
Exemples et méthode
Déterminer PGCD(a, b), avec :
1. a = 5664 et b = 984.
2. a = 1485 et b = 1485.
I.4 - Conséquences
De l’algorithme d’Euclide on déduit deux résultats.
Propriété
Lorsque b ne divise pas a, le PGCD de a et de b est le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme.
Théorème
L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers positifs a et b est l’ensemble des
diviseurs de leur PGCD d, c’est à dire que D (a, b) = D (d).
Exemples
1. Déterminer les diviseurs communs à 5664 et 984.
2. Déterminer les diviseurs communs à 1485 et 6776.
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I.5 – Propriétés multiplicative du PGCD (homogénéité)
•
Soient deux entiers naturels a et b, alors pour tout entier naturel k :
PGCD(ka, kb) = k × PGCD(a, b) .
€
I.6 – Propriété caractéristique
Théorème
a, b et d sont trois entiers naturels non nuls. Dire que d est le PGCD de a et de b équivaut à
dire que d est un diviseur de a et de b tel que
€
a
b
et sont premiers entre eux.
d
d
€
Exemple
Le PGCD de 114 et de 30 est 6 et 114 × (-1) + 30 × 4 = 6.
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II – Théorème de Bezout
Egalité de Bezout
Soient a et b sont deux entiers relatifs non nuls et d leur PGCD. Alors il existe u et v entiers
relatifs tels que a u + b v = d.
Théorème de Bézout
Soient a et b sont deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si et
seulement si il existe u et v entiers relatifs tels que a u + b v = 1.
Exemples
•
8 et 11 sont premiers entre eux car 8 × 7 + 11 × (-5) = 1.
•
Deux entiers naturels consécutifs et supérieurs à 1 sont premiers entre eux, car
n × (-1) + (n + 1) × (1) = 1.
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III – Théorème de Gauss
Théorème
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a et b sont
premiers entre eux, alors a divise c.
Remarque
Le théorème de Gauss peut s’énoncer ainsi « si un entier naturel divise un produit de deux
facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre ».
Propriété
Si un entier naturel est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, alors il
est divisible par leur produit.
Exemples
•
Si un nombre est divisible par 3 et par 8 alors il est divisible par 24.
•
Si un nombre est divisible par 3, par 5 et par 8 alors il est divisible par 120.
•
Il résulte de la propriété multiplicative du PGCD et du théorème de Gauss qui « si a et b
sont premiers entre eux, alors an et bp (n et p entiers naturels) sont aussi premiers entre
eux ».
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