Chap G1 – Premiers pas en géométrie - Mathématiques 2015-2016

Chap G1 – Premiers
pas en géométrie
6ème
Chap G1 - Premiers pas en géométrie
I. Définitions..............................................................................................................................................3
1) Points..................................................................................................................................................3
2) Droites................................................................................................................................................3
3) Segments............................................................................................................................................3
4) Demi-droite........................................................................................................................................4
5) Résumé...............................................................................................................................................4
II. Appartenir à une droite, être alignés.................................................................................................5
III. Longueur, milieu d'un segment........................................................................................................7
IV. Droites sécantes, droites perpendiculaires :.....................................................................................9
1) Droites sécantes :................................................................................................................................9
2) Droites perpendiculaires.....................................................................................................................9
3) Construction de la perpendiculaire passant par un point donné.........................................................9
V. Droites parallèles..................................................................................................................................9
1) Définition...........................................................................................................................................9
2) Construction de la parallèle passant par un point donné..................................................................10
VI. Propriétés droites parallèles............................................................................................................10
VII. La médiatrice d'un segment..........................................................................................................12
1) Propriétés..........................................................................................................................................12
VIII. Les polygones particuliers............................................................................................................14
1) Le triangle rectangle.........................................................................................................................14
2) Le trapèze.........................................................................................................................................14
3) Le parallélogramme..........................................................................................................................14
4) Le losange........................................................................................................................................14
5) Le rectangle......................................................................................................................................15
6) Le carré.............................................................................................................................................15
A. Gniady – 2015-2016
Chap G1 – Premiers pas en géométrie
Un peu d’histoire :
La géométrie étudiée au collège est la géométrie euclidienne
du savant grec Euclide vivant à Alexandrie au 3e siècle avant J.C.
Il a fondé les postulats (points de départ) de notre géométrie:
Exemples :
- Par 2 points passent une et une seule droite.
- Deux droites non parallèles se croisent en un point et un seul.
- Il n’existe qu’une seule droite passant par un point et parallèle à une autre
droite.
Le mot « Géométrie» vient du grec « geo » (= terre) et « metron » (= mesure).
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Chap G1 – Premiers pas en géométrie
Activité 1 p 128
I. Définitions
1) Points
A, B et C sont trois points. A et B sont distincts. C et D sont confondus.
2) Droites
Une droite est un ensemble de points alignés, elle est illimitée, on ne peut pas la tracer entièrement. Elle n’a pas
de longueur.
Il existe plusieurs façons de nommer une droite :
La droite (AB) ou (BA)
La droite (d)
La droite (xy) ou (yx)
Propriétés :
- Par deux points distincts ne passe qu’une seule droite.
- Par un point passe une infinité de droites.
- Des points sont alignés s’il existe une droite passant par ces points.
3) Segments
Définition :
On appelle « segment d'extrémités A et B », noté [AB], la partie de la droite (AB) formée de tous les points
situés entre A et B (A et B compris). Les crochets indiquent que l'on s'arrête en A et en B.
[AB] et [BA] désignent le même segment.
(d)
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I
B
A
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A et B sont les extrémités du segments.
4) Demi-droite
Définition :
Sur une droite (xy), on a placé un point A. La droite est alors divisée en deux parties que l'on appelle demidroites et que l'on note [Ax) et [Ay). A est appelé « origine » de ces demi-droites.
A
x
demi-droite [Ax)
A
y
demi-droite [Ay)
Remarque : Si plusieurs points sont sur la droite :
A
M
B
On note la demi-droite [BM) d'origine B passant par M ou [BA) d'origine B passant par A.
5) Résumé
Exercice :
- Repasser en rouge tous les points de la figure.
- Tracer en vert les segments [AC] et [DB].
- Tracer en bleu les demi-droites [EB) et [FA).
Les autres noms de la droite (d) sont : (AC), (AE) ou (CE).
Livre : Ex 31 à 34 p 139. Ex 35 p 139
Transmath : Ex 1 à 4 p 46
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II. Appartenir à une droite, être alignés
Le symbole ∈ veut dire « appartient à ».
Le symbole ∉ veut dire « n’appartient pas à ».
Exemple :
Le point A appartient à la droite (d), on note : A ∈ (d)
Le point D n’appartient pas à la droite (d), on note : D ∉ (d)
Si des points appartiennent à la même droite, alors ces points sont alignés.
Exemple :
A, B et C sont alignés.
Remarque : D est également aligné avec ces trois points … il suffit de prolonger la droite (d).
Livre : Ex 37 à 39 p 139, 67 p 142
Transmath : Ex 5 et 6 p 46
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Activité :
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III. Longueur, milieu d'un segment
La longueur d'un segment [AB] est un nombre, c'est la distance entre ses deux extrémités. On utilise la notation
AB pour désigner la longueur du segment d'extrémités A et B.
B
A
La longueur du segment [AB] est 2,1 cm.
On note AB = 2,1 cm
Pour coder la figure on met des signes identiques ( / ; // ; o ; … ) sur les segments de même longueur.
Pour tout segment , il existe un seul point (du segment), situé à la même distance de ces deux extrémités. Ce
point est appelé le milieu de ce segment.
I
A
B
I est le milieu du segment [AB].
On a AI = IB = AB:2
AB = 6 cm donc AI = IB =6:2 = 3 cm
On ne parle pas de longueur d'une droite ou d'une demi-droite. Elles sont infinies !
Livre : 36 p 139
Transmath : 1-2-4 p 47
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IV. Droites sécantes, droites perpendiculaires :
1) Droites sécantes :
I
(d)
(d')
Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point.
Ce point est appelé point d'intersection.
I est le point d'intersection
des droites (d) et (d').
2) Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.
Exemple :
(d')
Les droites (d) et (d') sont perpendiculaires.
On note (d) ⊥ (d').
(d)
3) Construction de la perpendiculaire passant par un point donné
(d)
(d')
(d)
M
M
M
(d)
M
On veut tracer la droite On place l'un des côtés de l'angle
On prolonge la droite à l'aide
(d') perpendiculaire à la droit de l'équerre sur la droite (d) et de la règle.
droite (d) passant par M. l'autre côté sur M. On trace la droite
le long du côté de l'équerre.
(d)
On nomme la droite (d') et on
code l'angle droit.
V. Droites parallèles
1) Définition
Deux droites distinctes sont parallèles si elles n’ont aucun point commun même si on les prolonge.
Exemple :
(d)
Les droites (d) et (d'') sont parallèles.
On note (d) // (d'').
(d'')
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2) Construction de la parallèle passant par un point donné
(d'')
N
(d)
(d)
N
On veut tracer la droite (d'') On place un côté de l'angle
parallèle à la droite (d) droit de l'équerre sur la droite
passant par N.
(d) et la règle sur l'autre côté
de l'angle droit.
N
(d)
(d)
N
On fait coulisser l'équerre le On nomme la droite (d'').
long de la règle, jusqu'au point
N, sans bouger la règle. On
trace la droite le long du côté
de l'équerre.
Livre : page 140
Transmath : page 51
VI. Propriétés droites parallèles
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles
(d1)
(d3)
(d2)
Hypothèses :
(d1) ⊥ (d3)
(d2) ⊥ (d3)
Conclusion
(d1)//(d2)
Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
(d1)
(d3)
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(d2)
Hypothèses :
(d1) // (d2)
(d1) ⊥ (d3)
Conclusion
(d2)//(d3)
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Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre
(d3)
(d1)
(d2)
Hypothèses :
(d1) // (d3)
(d1) // (d2)
Conclusion
(d3)//(d2)
Livre : 71 72 p 143
Transmath : page 52
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VII. La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
O
¤
S
On veut tracer la
médiatrice du
segment [OS].
O
O
O
¤
¤ S
On place le milieu du
segment [OS] et on code
les longueurs égales.
¤
Mé
di
de atrice
[OS
]
Construction de la médiatrice d'un segment à la règle et à l'équerre
¤ S
¤ S
On trace, à l'équerre, la droite On prolonge cette droite
perpendiculaire au segment
à l'aide de la règle.
[OS] qui passe par son milieu. On code l'angle droit.
1) Propriétés
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est situé à égale distance des
extrémités de ce segment.
M
K
¤
(d)
On sait que M appartient à la médiatrice du segment [KL] ,
d'après la propriété ci-dessus
On en déduit que M est à égale distance des points K et L donc KM = KL
¤
L
Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce
segment.
Construction avec un compas et une règle non graduée
M
B
B
B
A
Pour construire la
médiatrice du
segment [AB],
Livre : 54 à 60 p 181
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A
on trace deux arcs de cercle de
centres A et B, de même rayon
(plus grand que la moitié de AB).
A
N
M et N sont à égale distance des points
A et B donc la médiatrice de [AB] est la
droite qui passe par ces deux
points. C'est à dire la droite (MN).
Transmath : 3 à 5 page 51
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VIII. Les polygones particuliers
1) Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Exemple :
R
S
(RS)  (ST)
Le côté [RT] opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.
T
Remarque : Un triangle ayant deux côtés de même longueur et un angle droit est un triangle isocèle et
rectangle
2) Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles.
Exemple :
M
N
P
(PM) // (ON)
O
3) Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
Exemple :
J
I
L
(IJ) // (LK)
et (IL) // (JK)
K
4) Le losange
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
B
C
A
D
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m
6c
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Exemple : Construis un losange ABCD de 6 cm de côté.
Dans un losange, les quatre côtés ont la même longueur.
Ainsi, les triangles ABD et CBD sont isocèles respectivement en A et C.
B
6 cm
A
6c
B
m
6c
m
A
D
D
On trace un segment [BD]. On construit un
triangle ABD isocèle en A tel que
AB = AD = 6 cm.
C
6 cm
On construit le triangle CBD isocèle en C tel que
CB = CD = 6cm.
5) Le rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Exemple :
B
A
C
(AB)  (BC)
(BC)  (CD)
(CD)  (DA)
(DA)  (AB)
D
Remarque : un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.
6) Le carré
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits.
Remarque : Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Exemple :
E
H
F
EF  FG  GH  HE
(EF)  (FG)
(FG)  (GH)
(GH)  (HE)
(HE)  (EF)
G
Livre : pages 141, 142, 143, 144
Transmath : page 53 et 54
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