Arithmétique I - Diviseurs et nombres premiers II

Arithmétique
I - Diviseurs et nombres premiers
1 - Diviseurs
Définition : Soient a et b deux entiers naturels avec b
≠
0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un entier k tel que kba
×
=
.
Exemples : 1) 6 est un diviseur de 24 car 4624
×
=
On dit aussi que : 6 divise 24
24 est divisible par 6
24 est un multiple de 6
2) 5 est un diviseur à la fois de 30 et 45 car 6530
×
=
et 9545
×
=
. On dit que 5 est un diviseur
commun à 30 et 45.
Critères de divisibilité : [A l’oral : les nombres 48 et 99 sont-ils divisibles par 2, 3, 5 ou 9 ?]
1) Un nombre entier est divisible par 2 s’il est pair.
2) Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
3) Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
4) Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
2 - Nombres premiers
Définition : On dit qu’un nombre est premier lorsqu’il a exactement 2 diviseurs (1 et lui-même).
Exemples : 1) Les seuls diviseurs de 17 sont 1 et 17 donc 17 est un nombre premier.
2) 123 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Donc 123 n’est pas un
nombre premier.
II - Plus grand diviseur commun (pgcd)
1 - Définition
Définition : On appelle plus grand diviseur commun (pgcd) de a et b le plus grand entier qui divise
à la fois a et b. On note pgcd (a ; b).
Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18.
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48
Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
Donc : pgcd (48 ; 18) = 6
2 - Algorithme des soustractions successives
Propriété : Si
a b
>
alors pgcd (a ; b) = pgcd (b ; a-b).
Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18.
On applique l’algorithme des soustractions successives :

48 18 30
30 18 12
18 12 6
12 6 6
6 6 0
− =
− =
− =
− =
− =
La dernière différence non nulle est 6.
Donc : pgcd (48 ; 18) = 6
3 - Algorithme d’Euclide
Rappel : Effectuer la division euclidienne de a par b revient à trouver le quotient entier et le reste.
a b q r
= × +
avec
r b
<
Division euclidienne de 14 par 4 :
14 4 3 2
= × +
avec
2 4
<
Le quotient entier est 3 et le reste est 2.
Utilisation de la calculatrice :
TI : 14 2
nde
÷
4 ENTER
Casio : 14
R
÷
4 EXE
Algorithme d’Euclide :
Exemple : Calculer le pgcd de 48 et 18.
On applique l’algorithme d’Euclide :
48 = 18
×
2 + 12
18 = 12
×
1 + 6
12 = 6
×
2 + 0
Le dernier reste non nul est 6.
Donc : pgcd (48 ; 18) = 6
4 - Résolution de problèmes
Problème : Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Il désire, en utilisant tous les fruits,
préparer des tartelettes contenant chacune le même nombre de framboises et le même nombre de fraises.
1) Calculer le nombre maximum de tartelettes qu’il peut préparer ?
2) Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette ?
1) Le nombre de tartelettes cherché est le plus grand nombre qui divise à la fois le nombre de
framboises et le nombre de fraises.
On cherche donc le pgcd de 411 et 685.
On applique l’algorithme d’Euclide :
685 411 1 274
411 274 1 137
274 137 2 0
= × +
= × +
= × +
Le dernier reste non nul est 137.
On effectue la division
euclidienne de a par b
On note r le reste de la division
On remplace a par
b et b par r
oui non
quotient reste
On choisit deux nombres a et b
avec
b
a
>
r = 0 ?
Le pgcd est le dernier reste non nul

Donc : pgcd (685 ; 411) = 137.
Il peut donc préparer au maximum 137 tartelettes.
2)
411 137 3
÷ =
685 137 5
÷ =
Dans chaque tartelette, il y a 3 framboises et 5 fraises.
III - Nombres premiers entre eux
Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur pgcd est égal à 1.
Leur seul diviseur commun est donc 1.
Exemples : 1) 45 et 726 sont-ils premiers entre eux ?
45 et 726 sont divisibles par 3 car la somme de leurs chiffres est un multiple de 3.
Donc leur pgcd n’est pas égal à 1.
Donc 45 et 726 ne sont pas premiers entre eux.
2) 254 et 537 sont-ils premiers entre eux ?
On applique l’algorithme d’Euclide :
0717
13722
712229
22829254
292254537
+×= +×= +×= +×=
+
×
=
Le dernier reste non nul est 1.
Donc le pgcd de 254 et 537 est 1.
Donc 254 et 537 sont premiers entre eux.
IV - Fractions irréductibles
Définition : Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont
premiers entre eux.
Exemples : 1) 254 et 537 sont premiers entre eux (voir III).
Donc
254
537 est une fraction irréductible.
2) 45 et 726 ne sont pas premiers entre eux (voir III).
Donc
726
45 n’est pas une fraction irréductible.
Propriété : Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur pgcd alors la
fraction obtenue est irréductible.
Exemple : Rendre irréductible la fraction
18
48
.
Pour rendre irréductible la fraction
18
48
, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur
pgcd.
648 618
48
18
÷
÷
=
=
A
A
8
3
=A
pgcd (48 ; 18)