séquence 10

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Séquence 10
SÉQUENCE 10
POLYGONES RÉGULIERS
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
 le diamètre du cercle.
 une corde du cercle.
 un rayon du cercle.
 un diamètre du cercle.
1)
Le diamètre du cercle est un nombre, c’est par exemple 5 cm, ou
8 m.
[AB] est un segment passant par le centre du cercle, dont les
extrémités sont des points du cercle : c’est un diamètre de ce
cercle.
[AB] est aussi une corde ce cercle, car c’est un segment dont les
extrémités sont sur le cercle.
2)
 l’arc rouge.
 l’arc vert.
 la longueur AB
 le segment d’extrémités A et B.
2)
La notation
AB
désigne le petit arc d’extrémités A et B.
3)
 50°
 70°
 110°
 130°
3)
L’angle qui correspond à un tour complet mesure 360 °.
D’où : x + 250° = 360°
On a donc : x = 360° − 250° soit x = 110°.
4)
 un parallélogramme.
 un cercle.
 un triangle.
un trapèze.
4)
Un polygone est une figure fermée qui a un certain nombre de
côtés.
Le cercle n’as pas de côtés : c’est donc la seule figure parmi les
quatre qui ne soit pas un polygone.
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Séquence
10
EXERCICE 1
1)
J’ai effectué des mesures sur la figure donnée, et je
trouve qu’à chaque fois, l’angle de tir semble être le
même (sa mesure est environ 34°).
Il semble donc qu’il n’y ait pas de point sur ce
cercle pour lequel l’angle de tir est « meilleur » !
2)
AOB 68
≈ °
AMB 34
≈ °
Il semble que : =
==
=
AOB 2AMB
.
1)
Si on utilise la géométrie dynamique, on constate la même chose
lorsqu’on déplace le point M sur le cercle : l’angle
AMB
semble
être toujours le même.
Remarque : si tu as construit une figure dynamique, tu trouves un
angle
AMB
différent (car tes points A et B ne sont pas placés
exactement comme ceux de l’énoncé sur le cercle).
Tu remarques que l’angle de tir semble cependant être toujours le
même.
2)
Si on déplace le point M sur la figure dynamique, il semble que :
=
AOB 2 AMB
.
3)
a) M et B appartiennent au même cercle de centre O,
donc le triangle OBM est isocèle en O.
On en déduit que les angles
OBM
et
OMB
du
triangle sont égaux.
Ainsi :
OBM
=
OMB
= x
Dans le triangle OBM, la somme des mesures des
angles est égale à 180°. On a donc :
BOM
+
OMB
+
OBM
= 180°
soit :
BOM
+ x + x = 180°
d’où :
BOM
= 180° − x − x
soit :
BOM
= 180° − 2x
A, O, M sont alignés dans cet ordre, donc :
AOM
= 180°
AOB
=
AOM
−
BOM
AOB
= 180° − (180° − 2x)
AOB
= 180° −
180°
+ 2x
c’est-à-dire :
AOB
= 2
AMB
← Mets-le en évidence sur ta figure.
← Mets-le en évidence sur ta figure.
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Séquence 10
b)
D’après la question précédente, on a :
AON 2AMN
=
D’après la question précédente, on a :
NOB 2NMB
=
AOB AON NOB
= +
D’où :
AOB 2AMN 2NMB
= +
(
)
AOB 2 AMN NMB 2AMB
= + =
Conclusion :
=
==
=
AOB 2AMB
b)
On utilise pour répondre à cette question ce que l’on a prouvé
dans la question précédente.
c)
D’après la question a, on a :
NOB 2NMB
=
et :
NOA 2NMA
=
AOB NOB NOA
= −
D’où :
AOB 2NMB 2NMA
= −
(
)
AOB 2 NMB NMA 2AMB
= − =
Conclusion : =
==
=
AOB 2AMB
c)
On a ainsi démontré la conjecture dans tous les cas de figure :
● cas où O appartient à l’un des cotés de
AMB
(cas étudié par
Andry),
● cas où O est intérieur à l’angle
AMB
(cas étudié par Clément),
● cas où O est extérieur à l’angle
AMB
(cas étudié par Pauline).
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Séquence
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Séance 2
EXERCICE 2
a) b) c) d)
oui non oui non oui non oui non
EXERCICE 3
a) b) c) d)
oui non oui non oui non oui non
EXERCICE 4
EXERCICE 5
Nadia a tort.
ABC
intercepte le grand
arc d’extrémités A et C
(en rouge sur la figure ci-
contre), tandis que
ADC
intercepte le petit arc
d’extrémités A et C (en
vert sur la figure ci-
contre).
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Séquence 10
EXERCICE 6
a)
Dans le cercle C , l’angle inscrit
AMB
et l’angle au
centre
AOB
interceptent le même arc
AB
.
Ainsi :
1
AMB = AOB
2
c’est-à-dire
1
AMB = 124°
2
×
××
×
soit :
AMB
= 62°.
b)
Dans le cercle C , l’angle inscrit
AMB
et l’angle au
centre
AOB
interceptent le même arc
AB
.
Ainsi :
1
AMB = AOB
2
c’est-à-dire
1
AMB = 48°
2
×
××
×
soit :
AMB
=24°.
c)
Dans le cercle C , l’angle inscrit
AMB
et l’angle au
centre
AOB
interceptent le même arc
AB
.
Ainsi :
1
AMB = AOB
2
c’est-à-dire
AOB = 2 AMB
AOB = 2AMB
AOB = 2× 22°
soit
AOB
= 44°
a)
L’angle
AMB
dont on cherche la mesure, est inscrit dans le
cercle
C , et il intercepte l’arc
AB
.
L’angle au centre
AOB
dont on connaît la mesure, intercepte
aussi l’arc
AB
.
La propriété de l’angle inscrit va nous permettre de déterminer
AMB
.
b) Même raisonnement que précédemment.
c)
Dans cette question, on cherche la mesure d’un angle au centre.
On ne connaît qu’une seule propriété : la propriété dite « de
l’angle inscrit ».
On essaie donc de l’appliquer.
On commence par regarder quel est l’arc intercepté par l’angle
au centre
AOB
: c’est
AB
.
On cherche un angle inscrit qui intercepte le même arc :
AMB
.
← On cherche la mesure de
AOB
connaissant celle de
AMB
,
on exprime donc
AOB
en fonction de
AMB
.
Comme
AMB
est la moitié de
AOB
,
AOB
est le double de
AMB
.
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