Probabilités 02 – Probabilités

Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
EXERCICES Probabilités 02 – Probabilités
Langage probabiliste – langage ensembliste
1. Soient A, B et C trois événements d’un espace probabilisable. Exprimer les événements
suivants :
a) L’un au moins des événements A, B, C est réalisé.
b) Aucun des événements A,B ou C n’est réalisé.
c) Un et un seul des trois événements A,B ou C est réalisé.
d) Au moins deux des trois événements A,B ou C sont réalisés.
e) Pas plus de deux des trois événements A,B ou C sont réalisés.
2. Soit (An)n∈Nune suite d’événements d’un espace probabilisable. Exprimer les événements
suivants :
a) Tous les événements Ansont réalisés.
b) Une infinité d’événements Ansont réalisés.
c) Seul un nombre fini d’événements Ansont réalisés.
d) Une infinité d’événements Anne sont pas réalisés.
e) Tous les événements Ansont réalisés à partir d’un certain rang.
Généralités sur les probabilités
3. A quelle(s) condition(s) sur x,y∈Rexiste-t-il une probabilité sur Ω={a,b,c} vérifiant :
P({a,b}) =xet P({b,c}) =y?
4. Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé. Montrer que
max{0,P(A)+P(B)−1} ÉP(A ∩B) Émin{P(A),P(B)}
5. Formule du crible (POINCARÉ)
a) Soient A, B, C trois événements. On note 
S1=P(A) +P(B)+P(C)
S2=P(A ∩B)+P(A ∩C) +P(B∩C)
S3=P(A ∩B∩C)
.
Exprimer P(A ∪B∪C) en fonction de S1, S2et S3.
b) Soient A1,... , Annévénements. On note, pour 1 ÉkÉn,
Sk=X
1Éi1<i2<···<ikÉn
P(Ai1∩Ai2∩ · ·· ∩ Aik).
Exprimer P(A1∪ ·· · ∪ An) en fonctions des Sk.
6. On considère Ω=©a,b,c,d,e,f,g,hªmuni de la tribu P(Ω).
Soient A =©a,c,f,hªet B =©b,c,f,gª.
a) Déterminer un système complet Ede 4 événements E1,E2,E3,E4tel que A =E1∪E2et
B=E1∪E3.
b) Soit Bl’ensemble des parties de E définie par : ∅∈B,Ω∈B,E⊂B,∀i∈ 1,4, Ei∈B
et ∀i,j∈ 1,4,i6= j,Ei∪Ej∈B.
Montrer que Best une tribu.
c) On pose P(A) =1
2, P(B) =1 3, P(A ∩B) =1 6. Montrer qu’on définit ainsi une probabilité
sur (Ω,B).
7. Soient A et B deux événements, B n’étant ni presque sûr ni presque impossible.
Monter que A et B sont indépendants ⇐⇒ P(A |B) =P(A |B).
8. Soient A et B deux événements. Montrer que si P(A |B) ÊP(A) alors P(B |A) ÊP(B).
9. a) Soient A et B deux événements incompatibles et indépendants. Montrer que l’un des
deux au moins est presque impossible.
b) Réciproquement, lorsque l’un des événements est presque impossible, ces événements
sont-ils nécessairement incompatibles et indépendants ?
c) Un événement A peut-il être incompatible avec lui-même ? indépendant de lui-même ?
10. Soient A,B et C trois événements vérifiant : P (A)=1
2,P (B)=1 3et P (C)=1 9.
Déterminer P ³A∩B∩C´dans les deux cas suivants :
a) A, B et C sont deux à deux incompatibles.
b) A, B et C sont mutuellement indépendants.
Probabilités finies
11. Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux
d’obtenir un 6 ? et en lançant deux dés pour obtenir un double 6 ?
12. Un jour de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes, qui, comme
tel, contient 8 hauteurs (7,8,9,10,V,D,R,A). Quelle est la probabilité pour que sa main
contienne :
a) Une paire et une seule ? (2 cartes de même hauteur et pas 3)
b) Deux paires ?
c) Un brelan ? (3 cartes de même hauteur et 2 autres de hauteur différentes)
d) Un carré ? (4 cartes de même hauteur)
e) Un full ? (un brelan+ une paire)
13. Une urne contient nboules numérotées de 1 à n(avec nÊ3). On tire successivement
toutes les boules de l’urne sans remise. Calculer la probabilité pour que
a) Les boules 1,2 et 3 sortent dans cet ordre, pas nécessairement consécutivement.
b) Les boules 1,2 et 3 sortent dans cet ordre, consécutivement.
14. Dans un lycée, 15% des élèves sont en classe préparatoire et 35% des élèves en classe pré-
paratoire sont des filles. Quelle est la probabilité de croiser dans ce lycée un garçon en
classe préparatoire ?
Page 1

Exercices – Probabilités 02– Probabilités Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
15. Dans un lycée ayant 51% de filles, 12% des filles et 15% des garçons sont en classe prépa-
ratoire. On choisit au hasard un élève du lycée.
a) Quelle est la probabilité pour que l’élève soit en classe préparatoire ?
b) Quelle est la probabilité pour que l’élève soit une fille sachant qu’il est en classe prépa-
ratoire ?
16. Un lot de 100 dés contient 20 dés pipés faisant tous apparaître 6 avec la probabilité 1
2. On
prend un dé au hasard, on le jette et on obtient 6. Quelle est la probabilité pour que le dé
lancé soit pipé ?
17. Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules noires. On tire 4 boules une à une sans
remise. Quelle est la probabilité de n’obtenir que des boules blanches ? Et celle d’obtenir
une boule noire et trois blanches ?
18. Le quart d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1
12 de malades.
Parmi les malades il y a quatre non-vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité
pour un non-vacciné de tomber malade ?
(On cherchera une équation vérifiée par l’inconnue.)
Probabilités discrètes
19. On lance une pièce équilibrée indéfiniment. On pose :
A=« on n’obtient que des PILE »
Et, pour tout n∈N∗:
An=« on obtient FACE au n-ème lancer »
Bn=« on obtient le premier FACE au n-ème lancer »
a) Exprimer Bnen fonction de A1, A2,... ,An.
b) En déduire P(Bn).
c) Exprimer A en fonction des Bn.
d) En déduire P(A). Comment appelle-t-on un tel événement A ?
20. Un tirage à EURO-MILLIONS®est une combinaison (l’ordre ne compte pas) de 5 numéros
distincts compris entre 1 et 50 et de 2 étoiles numérotées de 1 à 11.
a) Quelle est la probabilité, notée pdans la suite, de gagner le gros lot (c.a.d. d’avoir les 5
bons numéros et les 2 étoiles) à EURO-MILLIONS®?
On joue à EURO-MILLIONS®indéfiniment et on définit les événements
A=« on gagne au moins une fois »
et, pour tout n∈N∗,
An=« on gagne pour la première fois au n-ème tirage »
Bn=« on gagne au n-ème tirage »
b) Exprimer Anà l’aide des Bk. En déduire P(An) en fonction de p.
c) En déduire P(A) en exprimant A à l’aide des An. Comment appelle-t-on un tel A ?
d) Déterminer le rang n0à partir duquel la probabilité de gagner le gros lot au moins une
fois en jouant nfois est supérieure ou égale à 1
2.
À raison d’un jeu par semaine, au bout de combien de siècles la probabilité de gagner
le gros lot au moins une fois est-elle supérieure ou égale à 1
2?
21. Bob et Toto lancent une même pièce équilibrée à tour de rôle. C’est Bob qui commence.
Le premier joueur qui obtient FACE gagne la partie.
a) Qui, selon vous, a le plus de chances de gagner ? (On ne demande pas de justification
pour l’instant).
b) On pose :
B=« Bob gagne »
T=« Toto gagne »
F=« le jeu se termine »
Et, pour tout n∈N∗, on note :
An=« le n-ème lancer a donné FACE »
A′
n=« le n-ème lancer a donné le premier FACE »
(i) Exprimer A′
nen fonction des Ak. En déduire P(A′ n).
(ii) Exprimer F en fonction des A′
n. En déduire P(F). Que dire de F ?
(iii) Exprimer B en fonction des A′
n. En déduire P(B).
(iv) Calculer P(T) de deux manières.
(v) Justifier la réponse à la question a).
22. On lance une pièce une infinité de fois. La pièce n’est pas nécessairement équilibrée : elle
donne PILE (P) avec une probabilité p∈]0,1[ et FACE (F) avec la probabilité q=1−p.
a) Pour tout entier nÊ1, on note Anl’événement « on obtient la séquence PF pour la
première fois aux lancers net n+1 » et Bnl’événement « on obtient P au lancer n».
Exprimer Anà l’aide des Bkpuis calculer la probabilité de An.
b) Soit A l’événement « on obtient PF au moins une fois ». Calculer P(A).
23. On lance deux dés équilibrés et on répète ceci indéfiniment. Quelle est la probabilité pour
que le premier six obtenu le soit à l’occasion d’un double six ?
24. On effectue une suite de lancers avec une pièce de monnaie. On suppose que les résultats
des lancers sont indépendants et que, à chaque lancer, la pièce donne FACE avec la proba-
bilité p(0 <p<1) et PILE avec la probabilité q=1−p. L’objet de l’exercice est l’étude du
nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux FACE de suite, c’est à dire lors de deux
lancers consécutifs. Pour tout entier nÊ1 on note Unl’événement : « on obtient deux FACE
de suite, pour la première fois aux lancers numéros net n+1 », et on pose un=P(Un). Pour
tout entier nÊ2, on note :
– Anl’événement : « les npremiers lancers ne donnent pas deux FACE de suite et le n-ème
lancer donne FACE ».
– Bnl’événement : « les npremiers lancers ne donnent pas deux FACE de suite et le n-ème
lancer donne PILE ».
Page 2

Exercices – Probabilités 02– Probabilités Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
et on pose xn=P(An) et yn=P(Bn).
a) Compréhension
(i) Déterminer u1,x2,y2,u2,x3,y3et u3.
(ii) Trouver, pour nÊ2, une relation simple entre xnet un.
(iii) Pour tout nÊ2 déterminer les probabilités conditionnelles :
PAn(An+1), PBn(An+1), PAn(Bn+1), PBn(Bn+1)
(iv) En déduire, pour tout nÊ2, les relations de récurrence suivantes :
½xn+1=p·yn
yn+1=q¡xn+yn¢
b) On suppose maintenant que p=q=1
2
(i) Soit (fn)nÊ0la suite de nombres entiers définie par : ½f0=1, f1=1
∀nÊ0, fn+2=fn+1+fn.
Résoudre la récurrence pour exprimer explicitement fnen fonction de n.
(ii) Exprimer, pour tout entier nÊ2, yn+2en fonction de yn+1et de yn.
Montrer que, pour tout entier nÊ2, on a 2nyn=fn.
(iii) En déduire que pour tout entier nÊ2, une expression de xn, puis de unen fonction
de n,α,β.
(iv) Montrer que lim
N→+∞
N
X
n=1
un=1.
(v) Soit U l’événement « on obtient, au moins une fois, deux FACE de suite ». Quelle est
la probabilité de U ?
Page 3