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Mathématiques
Année 2016 – 2017 Feuille d’exercices n° 3 : Probabilités conditionnelles
Terminale S
Exercice 1 :
On lance un dé cubique parfaitement équilibré.
On considère les événements suivants :
S : « le nombre sorti est supérieur à 2 »
I : « le nombre sorti est impair »
Sachant que le résultat est supérieur à 2, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
Exercice 2 :
Les trois quarts d’une population est vaccinée contre une maladie contagieuse.
On estime que sur la population totale, 10 % des individus sont malades et
que 18 % sont des individus non vaccinés et sains.
On considère les événements suivants :
M : « l’individu est malade »
V : « l’individu est vacciné »
1) Compléter le tableau suivant :
V
V
Total
M
M
Total
2) Sachant que l’individu choisi est vacciné, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
Exercice 3 :
Une urne contient quatre boules blanches, trois boules noires et deux boules rouges. On tire successivement et
sans remise deux boules dans l’urne.
On considère les événements suivants :
R : « la boule tirée est rouge »
B : « la boule tirée est blanche »
a) Construire l’arbre de probabilités correspondant.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?

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Exercice 4 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
a)
( )
( ) ( )
0.8 0.5 et 0.1
A
pA p B pA B== ∩=
b)
( ) ( )
( )
21 1
et
33 6
pA pA B pA B=∩=∩=
Exercice 5 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
12 3
12
) 0.2 0.5
0.1 0.2 et 0.4
AA A
apA pA
pB pB pB
==
== =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
23
12
3
)0.4 0.6 0.1
0.3 0.5 et 0.25
AA
bpA pB pA B
pA B p B p B
==∩=
∩= = =
Exercice 6 :
Une urne A contient trois boules dont une rouge, une urne B contient cinq boules dont deux rouges. On choisit
une urne au hasard puis une boule dans cette urne. Les boules sont indiscernables au toucher. On note :
A l’événement : « L’urne A a été choisie »,
B l’événement : « L’urne B a été choisie »,
R l’événement : « La boule tirée est rouge ».
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Donner
( ) ( )
et
AB
pR pR
.
3) Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge.
4) On tire une boule rouge. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne B.

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Exercice 7 :
Un disquaire range l’ensemble de ces CD en trois catégories :
Les CD de variétés qui représentent 40 % de l’ensemble et dont 75 % sont des albums.
Les CD de pop - rock qui représentent 35 % de l’ensemble et dont 80 % sont des albums.
Les CD de classique - jazz qui représentent 25 % de l’ensemble et dont 99 % sont des albums.
Le disquaire dispose de deux formats de CD : les albums et les deux - titres. On choisit un CD au hasard .
On considère les événements suivants :
V : « on a un CD de variété » P : « on a un CD de pop - rock » C : « on a un CD de classique - jazz »
A : « le CD est un album » D : « le CD est un deux - titres »
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Quelle est la probabilité que la CD choisi soit un album ?
3) Sachant que le CD choisi est un album, quelle est la probabilité que ce soit du classique-jazz ?
Exercice 8 : BAC S
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans l’agglomération du Val d’Yerres, la proportion de
personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. On suppose que, parmi les personnes
sondées qui ont accepter de répondre, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet. L’institut de sondage
sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre
elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit
favorable peut :
§ soit être en réalité́ favorable au projet si elle est sincère.
§ soit être en réalité́ défavorable au projet si elle n’est pas sincère.
Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et
admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.
Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à
l’aide d’un modèle probabiliste. On prélevé au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit :
§
F
l’évènement « la personne est en réalité favorable au projet »;
§
F
l’évènement « la personne est en réalité défavorable au projet »;
§ A l’évènement « la personne affirme qu’elle est favorable au projet »;
§
A
l’évènement « la personne affirme qu’elle est défavorable au projet ».
Ainsi, d’après les données, on a
p A
( )
=0,29
.
On pose
x=p F
( )
.
1) a) Compléter l’arbre ci-contre.
b) En déduire une égalité vérifiée par x.
2) Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement
favorables au sondage.

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Exercice 9 : BAC S (avec prise d’initiatives)
Sur un cour de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entrainer seul. Cet appareil envoie des balles une
par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel
constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Pour
augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles
peuvent être soit « liftées » soit « coupées ».
L’appareil a été réglé de façon à ce qu’il envoie
§ une balle liftée à droite avec une probabilité de 0,24
§ une balle coupée à gauche avec une probabilité de 0,235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?
Exercice 10 : BAC S
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des
sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'événement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn , on note pn la probabilité de l'événement Vn.
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
§ si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif ;
§ si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire :
11p=
.
1) Calculer les probabilités des événements suivants :
a) « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
b) « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
2) Calculer la probabilité
3
p
pour que le 3e sondage soit positif.
3) On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Compléter l'arbre ci-contre en fonction des données de l'énoncé.
4) Pour tout entier naturel n non nul,
établir que
10,5 0,1 nn
pp
+=+
.
5) On note
un
( )
la suite définie, pour tout entier naturel n non nul
par
0, 2
nn
up=−
.
a) Démontrer que
un
( )
est une suite géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
b) Exprimer
n
p
en fonction de n.
c) Calculer la limite de
pn
( )
. Interpréter ce résultat.

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Exercice 11 : BAC S
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et
d’un plongeoir. On a observé que, si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est de 0.3.
Si un manchot choisir le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0.8. Lors du premier passage les deux
équipements ont la même probabilité d’être choisis. Pour tout
n∈!
on définit l’événement : Tn : « Le manchot
utilise le toboggan lors de son nième passage » . On considère la suite
pn
( )
définie par ∀n∈!∗,pn=p Tn
( )
.
1) a) Donner les probabilités
p T1
( )
,p P
1
( )
,pT
1
T2
( )
et pT1T2
( )
.
b) Montrer que
( )
2
1
4
pT =
.
c) Compléter l’arbre ci-contre.
d) Démontrer que
∀n∈!∗,pn+1=0.1 pn+0.2
2) On considère la suite
un
( )
définie par ∀n∈!∗,un=pn−2
9
a) Démontrer que la suite
un
( )
est géométrique de raison
1
10
.
b) Exprimer
un puis pn
en fonction de n.
c) Calculer la limite de
pn
( )
. Interpréter ce résultat.
Exercice 12 : BAC ES
À partir de 2000 une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur Dupont un
courrier pour l’inviter à l’aider financièrement par un don. Monsieur Dupont a répondu favorablement en 2000
en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 2001, la probabilité́ pour que Monsieur Dupont
fasse un don est égale à 0,9 s’il a fait un don l’année précédente et à 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente.
On note pour tout entier naturel n :
§
En
l’événement : « Monsieur Dupont est donateur en 2000 + n »,
§
pn
la probabilité de
En
,
§
En
l’événement contraire de
En
.
1) Traduire ces données en termes de probabilités.
2) a) Préciser la valeur de
p0
.
b) Calculer
p1
3) a) Pour tout entier naturel n non nul, établir que
pn+1=0,5 pn+0,4
.
b) Quelle est la probabilité pour que Monsieur Dupont soit encore donateur en 2017 ?
4) On considère alors la suite
un
( )
définie sur
!
par
un=pn−0,8
.
a) Démontrer que la suite
un
( )
est géométrique.
b) Exprimer alors
un
puis
pn
en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite
pn
( )
. En donner une interprétation.