t09-proba-exos

Mathématiques
Année 2016 – 2017
Feuille d’exercices n° 3 : Probabilités conditionnelles
Terminale S
Exercice 1 :
On lance un dé cubique parfaitement équilibré.
On considère les événements suivants :
S : « le nombre sorti est supérieur à 2 »
I : « le nombre sorti est impair »
Sachant que le résultat est supérieur à 2, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
Exercice 2 :
Les trois quarts d’une population est vaccinée contre une maladie contagieuse.
On estime que sur la population totale, 10 % des individus sont malades et
que 18 % sont des individus non vaccinés et sains.
On considère les événements suivants :
M : « l’individu est malade »
V : « l’individu est vacciné »
1) Compléter le tableau suivant :
V
Total
V
M
M
Total
2) Sachant que l’individu choisi est vacciné, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
Exercice 3 :
Une urne contient quatre boules blanches, trois boules noires et deux boules rouges. On tire successivement et
sans remise deux boules dans l’urne.
On considère les événements suivants :
R : « la boule tirée est rouge »
B : « la boule tirée est blanche »
a) Construire l’arbre de probabilités correspondant.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?
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Exercice 4 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
a)
( )
p A = 0.8 pA ( B ) = 0.5 et p ( A ∩ B ) = 0.1
p ( A) =
b)
(
)
2
1
1
p ( A ∩ B ) = et p A ∩ B =
3
3
6
Exercice 5 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
a ) p ( A1 ) = 0.2
b) p ( A1 ) = 0.4
p ( A2 ) = 0.5
p A1 ( B ) = 0.1 p A2 ( B ) = 0.2 et p A3 ( B ) = 0.4
p ( B ) = 0.6
p ( A3 ∩ B ) = 0.3
( )
p ( A2 ∩ B ) = 0.1
( )
p A2 B = 0.5 et p A3 B = 0.25
Exercice 6 :
Une urne A contient trois boules dont une rouge, une urne B contient cinq boules dont deux rouges. On choisit
une urne au hasard puis une boule dans cette urne. Les boules sont indiscernables au toucher. On note :
A l’événement : « L’urne A a été choisie »,
B l’événement : « L’urne B a été choisie »,
R l’événement : « La boule tirée est rouge ».
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Donner pA ( R ) et pB ( R ) .
3) Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge.
4) On tire une boule rouge. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne B.
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Exercice 7 :
Un disquaire range l’ensemble de ces CD en trois catégories :
Les CD de variétés qui représentent 40 % de l’ensemble et dont 75 % sont des albums.
Les CD de pop - rock qui représentent 35 % de l’ensemble et dont 80 % sont des albums.
Les CD de classique - jazz qui représentent 25 % de l’ensemble et dont 99 % sont des albums.
Le disquaire dispose de deux formats de CD : les albums et les deux - titres. On choisit un CD au hasard .
On considère les événements suivants :
V : « on a un CD de variété »
P : « on a un CD de pop - rock »
A : « le CD est un album »
D : « le CD est un deux - titres »
C : « on a un CD de classique - jazz »
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Quelle est la probabilité que la CD choisi soit un album ?
3) Sachant que le CD choisi est un album, quelle est la probabilité que ce soit du classique-jazz ?
Exercice 8 : BAC S
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans l’agglomération du Val d’Yerres, la proportion de
personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. On suppose que, parmi les personnes
sondées qui ont accepter de répondre, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet. L’institut de sondage
sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre
elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit
favorable peut :
§
soit être en réalité́ favorable au projet si elle est sincère.
§
soit être en réalité́ défavorable au projet si elle n’est pas sincère.
Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et
admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.
Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à
l’aide d’un modèle probabiliste. On prélevé au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit :
§
F l’évènement « la personne est en réalité favorable au projet »;
§
F l’évènement « la personne est en réalité défavorable au projet »;
§
A l’évènement « la personne affirme qu’elle est favorable au projet »;
§
A l’évènement « la personne affirme qu’elle est défavorable au projet ».
( )
Ainsi, d’après les données, on a p A = 0,29 .
( )
On pose x = p F .
1) a) Compléter l’arbre ci-contre.
b) En déduire une égalité vérifiée par x.
2) Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement
favorables au sondage.
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Exercice 9 : BAC S (avec prise d’initiatives)
Sur un cour de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entrainer seul. Cet appareil envoie des balles une
par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel
constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. Pour
augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles
peuvent être soit « liftées » soit « coupées ».
L’appareil a été réglé de façon à ce qu’il envoie
§
une balle liftée à droite avec une probabilité de 0,24
§
une balle coupée à gauche avec une probabilité de 0,235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?
Exercice 10 : BAC S
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des
sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'événement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn , on note pn la probabilité de l'événement Vn.
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
§
si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif ;
§
si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : p1 = 1.
1) Calculer les probabilités des événements suivants :
a) « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
b) « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
2) Calculer la probabilité p3 pour que le 3e sondage soit positif.
3) On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Compléter l'arbre ci-contre en fonction des données de l'énoncé.
4) Pour tout entier naturel n non nul,
établir que pn +1 = 0,5 pn + 0,1.
( )
5) On note un la suite définie, pour tout entier naturel n non nul
par un = pn − 0, 2 .
( )
a) Démontrer que un est une suite géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
b) Exprimer pn en fonction de n.
c) Calculer la limite de
( p ) . Interpréter ce résultat.
n
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Exercice 11 : BAC S
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et
d’un plongeoir. On a observé que, si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est de 0.3.
Si un manchot choisir le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0.8. Lors du premier passage les deux
équipements ont la même probabilité d’être choisis. Pour tout n ∈! on définit l’événement : Tn : « Le manchot
utilise le toboggan lors de son nième passage » . On considère la suite ( pn ) définie par ∀n ∈!∗ , pn = p (Tn ) .
1) a) Donner les probabilités p (T1 ) , p ( P1 ) , pT (T2 ) et pT (T2 ) .
1
1
1
b) Montrer que p (T2 ) = .
4
c) Compléter l’arbre ci-contre.
d) Démontrer que ∀n ∈!∗ , pn+1 = 0.1 pn + 0.2
2) On considère la suite ( un ) définie par ∀n ∈!∗ , un = pn −
2
9
a) Démontrer que la suite ( un ) est géométrique de raison
1
.
10
b) Exprimer un puis pn en fonction de n.
c) Calculer la limite de
( p ) . Interpréter ce résultat.
n
Exercice 12 : BAC ES
À partir de 2000 une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur Dupont un
courrier pour l’inviter à l’aider financièrement par un don. Monsieur Dupont a répondu favorablement en 2000
en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 2001, la probabilité́ pour que Monsieur Dupont
fasse un don est égale à 0,9 s’il a fait un don l’année précédente et à 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente.
On note pour tout entier naturel n :
§
En l’événement : « Monsieur Dupont est donateur en 2000 + n »,
§
pn la probabilité de En ,
§
E n l’événement contraire de En .
1) Traduire ces données en termes de probabilités.
2) a) Préciser la valeur de p0 .
b) Calculer p1
3) a) Pour tout entier naturel n non nul, établir que pn+1 = 0,5 pn + 0,4 .
b) Quelle est la probabilité pour que Monsieur Dupont soit encore donateur en 2017 ?
( )
Démontrer que la suite ( u ) est géométrique.
4) On considère alors la suite un définie sur ! par un = pn − 0,8 .
a)
n
b) Exprimer alors un puis pn en fonction de n.
( )
c) Déterminer la limite de la suite pn . En donner une interprétation.
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Exercice 13 : (avec prise d’initiatives)
Partie 1 :
( )
On considère une suite un définie sur ! , par un+1 = 0,8 − 0,4un .
(
)
Déterminer le réel α tel que la suite un − α soit géométrique.
Partie 2 :
Quand elle va au cinéma, Nadia va toujours à celui qui est à côté de chez elle, le mardi soir à la séance de 20h.
Elle a remarqué que :
§
Si elle y est allée un mardi, il n’y a que 40 % de chance qu’elle y retourne le mardi suivant
§
Si elle n’y est pas allée le mardi, il y a 80 % de chance qu’elle y aille le mardi suivant.
Ce mardi, elle n’est pas allée au cinéma.
Quelle est la probabilité qu’elle y aille dans un an (c’est à dire dans 52 semaines) ?
Exercice 14 :
Chaque élève de 1ère S choisit une et une seule spécialité en Terminale.
Voici la répartition en pourcentages au lycée RosaParks.
M
SP
SVT
Total
Fille
18
6
21
45
Garçon
22
19
14
55
Total
40
25
35
100
On interroge un élève au hasard.
Etudier l’indépendance des différentes spécialités avec le sexe des élèves.
Exercice 15 :
Le taux de réussite au permis de conduire est de 60 %.
Un moniteur d’autoécole présente trois de ces élèves le même jour.
On suppose que la réussite d’un élève n’influe pas sur celle des autres.
Quelle est la probabilité que les trois réussissent leur examen ?
Exercice 16 :
Un tireur atteint sa cible avec une probabilité de 60 %.
On suppose que ses tirs sont indépendants les uns des autres.
Combien faut-il de tirs au minimum pour que la probabilité d’atteindre au moins une fois la cible soit
supérieure à 99% ?
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Exercice 17 : ( BAC S)
Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne
prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois.
§
Pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois
et l’âge de trois mois,
ü 10 % n’ont pas survécu,
ü 75% deviennent rouge
ü 15% restant deviennent gris.
§
Pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois
et l’âge de trois mois,
ü 5% n’ont pas survécu,
ü 65 % deviennent rouges
ü 30 % restant deviennent gris.
Une animalerie achète des alevins à l’âge de deux mois.
§
60 % au premier éleveur
§
40 % au second.
1) Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c'est-à-dire à l’âge de deux mois.
a) Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0.92.
b) Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
c) On suppose que le poisson est gris à l’âge de trois mois.
Quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?
2) L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur
couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0.25 euro s’il est gris et perd 0.10 euros s’il ne
survit pas. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X arrondie au centième. Interpréter.
c) Si l’animalerie vend 1000 poissons, quel bénéfice peut-elle espérer ?
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Exercice 18 ( BAC S)
Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’une part d’un sac
contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au
toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont
numérotées de 1 à 6.
Il décide des règles suivantes pour le déroulement de la partie.
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
§
Si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6.
§
Si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un 6.
A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
On note B l’événement « le jeton est blanc » et G l’événement « le joueur gagne la partie ».
Partie A :
1) Montrer que p ( G ) =
7
.
30
2) Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?
3) Un joueur fait plusieurs parties de façons indépendantes.
Quelle nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une
soit supérieur à 0.99 ?
Partie B :
L’organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d’argent :
§
Chaque joueur paie 1 € la partie.
§
Si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 €.
§
Si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.
1) On note Y la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l’issue d’une partie.
a) Donner la loi de probabilité de Y et son espérance E (Y ) .
b) On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si E (Y ) < 0 .
Le jeu est-il favorable à l’organisateur ?
2) L’organisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs tout en gardant un seul jeton blanc.
Pour quelles valeurs de n le jeu est-il défavorable à l’organisateur ?
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Feuille d’exercices n° 3 : Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles
Exercice 1 :
Exercice 2 :
Arbres et formules de Bayles
Exercice 3 :
Exercice 4 :
Exercice 5 :
Formules des probabilités totales (PT)
Exercice 6 :
Exercice 7 :
Exercice 8 : BAC S - Centres étrangers 2016 – avec une équation pour trouver la probabilité de départ
Exercice 9 : BAC S – Liban 2016 - avec prise d’initiatives
PT Avec des suites
Exercice 10 : BAC S – Asie 2010 –
Exercice 11 : BAC S - Nouvelle Calédonie novembre 2009 Exercice 12 : BAC ES - Amérique du sud, novembre 1998 Exercice 13 : Sesamaths (avec prise d’initiatives) – Suite arithmético-géométrique
Indépendance
Exercice 14 :
Exercice 15 :
Exercice 16 :
Avec des lois
Exercice 17 : BAC S - Nouvelle Calédonie 2008 Exercice 18 :
BAC S - Polynésie 2007 -
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