XMP 2015-2016 DM N°2 On désigne par E l'espace vectoriel des suites réelles. Si une suite u = (un ) est un élément de E, on dit que u est positive (et on note u ≥ 0 ) si ∀n ∈ N, un ≥ 0 . Pour toute suite u = (un ) élément de E, on définit sa suite dérivée u′ par : u ′ = (un +1 − un ) . ′′ On définit de même la suite dérivée seconde u par : u ′′ = (u ′)′ = (un′ +1 − un′ ) = (un + 2 − un +1 − un +1 + un ) = (un + 2 − 2un +1 + un ) , et plus généralement par récurrence, pour tout entier k ≥ 2 , la suite dérivée d'ordre k, u (k) , par : u ( k ) = (u ( k −1) )′ . 1. Généralités a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur sa suite dérivée pour qu'une suite u ∈ E soit croissante. b. Quelles sont les suites de dérivée nulle ? c. Quelles sont les suites dont la dérivée seconde est nulle ? d. Étant donnée une suite v de E, existe-t-il une suite u de E vérifiant u′ = v ? e. Étant donnée une suite u de E, calculer le terme d'ordre n de sa suite dérivée troisième u ′′′ . Postuler, puis démontrer, l'expression du terme d'ordre n de sa suite dérivée d'ordre k . 2. Suites convexes On dit d'une suite u = (un) élément de E qu'elle est convexe si sa suite dérivée seconde u ′′ est positive. a. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur sa suite dérivée pour qu'une suite u ∈ E soit convexe. b. En déduire qu'une suite convexe est soit monotone, soit décroissante puis croissante. Qu'en conclure quant au comportement à l'infini d'une suite convexe ? c. Soit u = (un) une suite convexe ayant une limite finie. Prouver que u est décroissante. 3. Liens entre le comportement d'une suite et celui de l'une de ses dérivées a. Soit u = (un) une suite de E dont la suite dérivée u′ possède une limite finie l. u Prouver que la suite n converge vers l. Que peut-on en déduire dans le cas particulier où l ≠ 0 ? n b. Soit (xn) une suite de réels possédant une limite finie a. Prouver, en adaptant la preuve de Cesàro, que l'on a : x1 + 2 x2 + … + nxn =a. 1+ 2 +… + n x + 2 x2 + … + nxn Déterminer alors la valeur de lim 1 . n n2 c. On se donne maintenant une suite u = (un) de E dont la suite dérivée seconde u′′ possède une limite finie l. lim n u Prouver grâce à la question précédente que la suite n2 converge vers l . 2 n 4. "Inégalité des accroissements finis" Soient deux suites u et v de E telles que u′ ≤ v′ , c'est à dire que : ∀n ∈ N, un +1 − un ≤ vn +1 − vn . Prouver que : ∀p, q ∈ N, p ≥ q ⇒ u p − uq ≤ v p − vq . 5. Transformation d'Abel Soient (un) et (ε n) deux suites réelles. On pose ∀n ∈ N, S n = n ∑ uk . k =0 a. En écrivant, uk = S k − S k −1 pour k ≥ 1 , prouver que n n −1 k =1 k =1 ∑ εk uk = εn Sn − ε1S0 + ∑ (εk − εk +1 )Sk . b. À quel résultat très classique cette identité vous fait-elle penser ? 1 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence 6. Suites fortement croissantes Une suite u de E est dite "fortement croissante" si u ainsi que toutes ses suites dérivées sont des suites positives. a. Prouver que la suite (n2) est fortement croissante. b. Soit ρ un réel strictement plus grand que 1. Prouver que la suite géométrique (ρn) est fortement croissante. c. La suite (un) = (n3 / 2) est-elle fortement croissante ? d. Soit P un polynôme à coefficients réels positifs. On envisage la suite u = ( P( n)n !) . Prouver que sa suite dérivée est de la forme u ′ = (Q(n)n !) où Q un polynôme à coefficients réels positifs. En déduire que la suite (n!) est fortement croissante. e. On fixe dans cette question une fonction f de classe C ∞ de R + dans R supposée absolument monotone, c'est à dire que f ainsi que toutes ses dérivées sont des fonctions positives sur R + . On considère alors la suite u = ( f (n)) . Prouver que u est fortement croissante. 7. Suites dont une dérivée est nulle a. Soit Q un polynôme à coefficients réels, de degré p, et u la suite définie par u = (Q(n)) . Prouver que la suite u′ est de la forme u′ = (R(n) ) où R est un polynôme de degré inférieur ou égal à p − 1 . b. Prouver alors par récurrence sur k la propriété H(k) suivante : H(k) : pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à k, la suite u = ( P ( n)) vérifie u(k +1) = 0 . c. Soit réciproquement une suite u = (un) de E telle qu'il existe un entier α telle que u(α +1) = 0 . Prouver, par récurrence sur α, l'existence d'un polynôme P, de degré inférieur ou égal à α, tel que u = ( P ( n)) . 8. Discrétisation d'une équation différentielle On se donne une fonction f0 , de classe C 2 de [0,1] dans R , et on envisage l'équation différentielle y′′ = −f0 , avec les conditions aux limites y(0) = y(1) = 0 . n On fixe un entier N et on pose h = 1 et pour 0 ≤ n ≤ N , α n = f 0 ( ) . N N a. Prouver l'existence d'une fonction f, unique, de classe C 2 sur [0,1], et vérifiant : f ′′ = −f0 et f(0) = f(1) = 0 . On pose désormais, pour 0 ≤ n ≤ N , un = f ( n ) , et on cherche une valeur approchée des un . N b. Justifier que f possède en tout point x0 de [0,1] un développement limité à l'ordre 4 que l'on écrira. En déduire, pour 1 ≤ n ≤ N − 1 , que un +1 − 2un + un −1 2 = f ′′( n ) + O( h2 ) (un O (h 2 ) est une quantité en h2 ou N 1/ N négligeable devant h2 ). c. Soit p un entier supérieur ou égal à 1. On considère la matrice carrée symétrique suivante, de taille p-p, dont les éléments de la diagonale sont tous égaux à 2, et ceux des sur et sous-diagonales tous égaux à –1 : . 0 2 −1 0 − 1 2 − 1 . . Ap = 0 − 1 . . 0 . . . . . − 1 0 . 0 − 1 2 On note Dp le déterminant de Ap . Déterminer une relation de récurrence liant Dp , Dp +1 et Dp + 2 . En déduire la valeur de Dp pour tout p. Que peut-on en conclure à propos de la matrice Ap ? d. On envisage le système linéaire suivant, aux inconnues v1, … , vN −1 : v0 = 0 , vN = 0 et pour n = 1, … , N − 1 : − vn −1 + 2vn − vn +1 = 12 αn . N Prouver que ce système possède une unique solution, et conclure. 2 Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence