mathématiques - Lycée cantonal
publicité
Lycée cantonal Porrentruy Maturité gymnasiale 2005 OS Physique-Applications des Mathématiques MATHÉMATIQUES Problème 1 La courbe G donnée par xHtL = cosH2 tL 9 yHtL = tanHtL y G est représentée ci-contre. a) 1. Justifier la symétrie d'axe Ox. 2. Calculer les coordonnées des points A, B et C. 3. Établir l'équation de l'asymptote verticale. 4. Vérifier par calcul qu'il n'y a pas de point à tangente horizontale, et que A est le seul point à tangente verticale. 5. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe G au point B. b) 1. Montrer que les points H xHtL, yHtLL vérifient l'équation 1-xÅÅÅÅ . y2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ B A O x C 1+x 2. Soit D le domaine borné limité par les axes Ox, Oy et í l'arc AB de la courbe G. Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de D autour de l'axe Ox. Problème 2 Relativement à un repère orthonormé, on donne les points AH8; 5; 9L, BH8; 11; 5L et CH15; -1; -1L. a) Établir une équation cartésienne du plan a contenant les points A, B et C. b) Écrire une représentation paramétrique de la droite n, perpendiculaire au plan a au point A. c) Calculer les coordonnées des points S qui appartiennent à la droite n et tels que le 686 volume du tétraèdre ABCS soit égal à ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ . 3 d) Déterminer l'équation de la sphère S passant par l'origine et tangente au plan a au point A. e) Calculer les coordonnées du point D appartenant à l'axe Oy de sorte que l'aire du triangle ABD soit mininale. Problème 3 Soit l'équation différentielle y ' H1 - xL + y = 2 x ¶ et la série f HxL = 1 - x + x2 + ÅÅÅÅ1Å x3 + ÅÅÅÅ1Å x4 + ... = 1 - x + ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xn . 3 6 n=2 nHn-1L a) Calculer la solution générale de l'équation différentielle. b) Déterminer la solution particulière, que l'on appellera gHxL, qui satisfait gH0L = 1. c) Déterminer le rayon de convergence de la série f HxL. d) Montrer que les séries f H1L et f H-1L sont convergentes. e) Vérifier que la série f HxL est solution de l'équation différentielle. f) Quel est le lien entre gHxL et f HxL? En déduire la somme de la série f H-1L. Suite au verso Problème 4 a) Soit h un endomorphisme de R2 donné par sa matrice H = J 1 2 N relativement à la base 5 -2 canonique. Calculer les valeurs propres de h, déterminer les espaces propres associés puis interpréter géométriquement cet endomorphisme. b) On considère maintenant la famille d'endomorphismes de R2 donnés par Ga,b = J a b N 4 0 relativement à une base ! différente de la base canonique. 1. Déterminer a et b pour que Ga, b représente le même endomorphisme que h. 2. Pour a = 0 et b = 1, on pose G = G0,1 . Calculer G2 , G4 , G6 puis deviner une formule pour Gn , pour tout n entier pair strictement positif. 3. Démontrer par récurrence la formule devinée pour Gn . Problème 5 Le golf est un sport où les joueurs suivent un parcours jalonné de trous dans chacun desquels ils doivent mettre une balle en un minimum de coups. Antoine s'entraîne souvent sur un parcours à 6 trous d'égale difficulté. Pour chacun de ces 6 trous, Antoine a estimé les probabilités suivantes : pHmettre la balle dans le trou en pHmettre la balle dans le trou en pHmettre la balle dans le trou en pHmettre la balle dans le trou en 2 coupsL = 0.1 ; 3 coupsL = 0.3 ; 4 coupsL = 0.4 ; 5 coupsL = 0.2 ; on appellera ce scénario un doublet on appellera ce scénario un triplet on appellera ce scénario un quadruplet on appellera ce scénario un quintuplet Tous les autres scénarios ont donc une probabilité nulle. a) Antoine effectue un parcours complet, soit 6 trous. Calculer la probabilité des événements suivants : A : Antoine réalise 6 quintuplets B : Antoine réalise exactement 2 quadruplets C : Antoine réalise exactement 3 triplets et 2 exactement quadruplets D : Antoine réussit les 3 premiers trous en exactement 10 coups E : Antoine réalise exactement 3 quadruplets, sachant qu'il a réalisé un seul doublet b) Lors d'une semaine de vacances, Antoine effectue 7 parcours. Quelle est la probabilité qu'il fasse au moins un parcours au cours duquel il réalise 6 quintuplets? c) Antoine fait en moyenne 200 parcours par année, soit 1200 trous. Quelle est la probabilité qu'il réalise entre 230 et 260 quintuplets, bornes comprises? Donner l'expression exacte puis calculer une valeur approximative du résultat. Temps à disposition : 4 heures Note maximale (6) pour 5 problèmes justes Fascicule "Extraits des Formulaires et Tables" à disposition Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée
