mathématiques - Lycée cantonal

Lycée cantonal Maturité gymnasiale 2005
Porrentruy OS Physique-Applications des Mathématiques
MATHÉMATIQUES
Problème 1
La courbe
G
donnée par
9xHtL=cosH2 tL
yHtL=tanHtL
est représentée ci-contre.
a) 1. Justifier la symétrie d'axe
Ox
.
2. Calculer les coordonnées des points
A
,
B
et
C
.
3. Établir l'équation de l'asymptote verticale.
4. Vérifier par calcul qu'il n'y a pas de point à tangente
horizontale, et que
A
est le seul point à tangente verticale.
5. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe G au point
B
.
b) 1. Montrer que les points
HxHtL,yHtLL
vérifient l'équation
y2=1-x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1+x
.
2. Soit
D
le domaine
borné
limité par les axes
Ox
,
Oy
et
l'arc
AB
í
de la courbe G. Calculer le volume du solide de
révolution engendré par la rotation de
D
autour de l'axe
Ox
.
O x
A
B
C
Gy
Problème 2
Relativement à un repère orthonormé, on donne les points
AH8; 5; 9L
,
BH8; 11; 5L
et
CH15; -1; -1L
.
a) Établir une équation cartésienne du plan
a
contenant les points
A,B
et
C
.
b) Écrire une représentation paramétrique de la droite
n
, perpendiculaire au plan a au point
A
.
c) Calculer les coordonnées des points
S
qui appartiennent à la droite
n
et tels que le
volume du tétraèdre
ABCS
soit égal à
686
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
.
d) Déterminer l'équation de la sphère S passant par l'origine et tangente au plan a au point
A
.
e) Calculer les coordonnées du point
D
appartenant à l'axe
Oy
de sorte que l'aire du triangle
ABD
soit mininale.
Problème 3
Soit l'équation différentielle
y' H1-xL+y=
2 x
et la série
fHxL=1-x+x2+1 ÅÅÅÅÅ
3 x3+
1
ÅÅÅÅÅ
6 x4+... =1-x+⁄
n=2
¶ 2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
nHn-1L xn
.
a) Calculer la solution générale de l'équation différentielle.
b) Déterminer la solution particulière, que l'on appellera
gHxL
, qui satisfait
gH0L=1
.
c) Déterminer le rayon de convergence de la série
fHxL
.
d) Montrer que les séries
fH1L
et
fH-1L
sont convergentes.
e) Vérifier que la série
fHxL
est solution de l'équation différentielle.
f) Quel est le lien entre
gHxL
et
fHxL
? En déduire la somme de la série
fH-1L
.
Suite au verso

Problème 4
a) Soit
h
un endomorphisme de
R2
donné par sa matrice
H=J1 2
5-2N
relativement à la base
canonique.
Calculer les valeurs propres de
h
, déterminer les espaces propres associés puis interpréter
géométriquement cet endomorphisme.
b) On considère maintenant la famille d'endomorphismes de
R2
donnés par
Ga,b=Ja b
4 0 N
relativement à une base
!
différente de la base canonique.
1. Déterminer a et b pour que
Ga,b
représente le même endomorphisme que
h
.
2. Pour
a = 0
et
b = 1
, on pose
G=G0,1
. Calculer
G2
,
G4
,
G6
puis deviner une formule
pour
Gn
, pour tout
n
entier pair strictement positif.
3. Démontrer par récurrence la formule devinée pour
Gn
.
Problème 5
Le golf est un sport où les joueurs suivent un parcours jalonné de trous dans chacun desquels ils
doivent mettre une balle en un minimum de coups.
Antoine s'entraîne souvent sur un parcours à 6 trous d'égale difficulté. Pour chacun de ces 6 trous,
Antoine a estimé les probabilités suivantes :
pHmettre la balle dans le trou en 2 coupsL=0.1
; on appellera ce scénario un doublet
pHmettre la balle dans le trou en 3 coupsL=0.3
; on appellera ce scénario un triplet
pHmettre la balle dans le trou en 4 coupsL=0.4
; on appellera ce scénario un quadruplet
pHmettre la balle dans le trou en 5 coupsL=0.2
; on appellera ce scénario un quintuplet
Tous les autres scénarios ont donc une probabilité nulle.
a) Antoine effectue un parcours complet, soit 6 trous. Calculer la probabilité des événements
suivants :
A : Antoine réalise 6 quintuplets
B : Antoine réalise exactement 2 quadruplets
C : Antoine réalise exactement 3 triplets et 2 exactement quadruplets
D : Antoine réussit les 3 premiers trous en exactement 10 coups
E : Antoine réalise exactement 3 quadruplets, sachant qu'il a réalisé un seul doublet
b) Lors d'une semaine de vacances, Antoine effectue 7 parcours. Quelle est la probabilité qu'il
fasse au moins un parcours au cours duquel il réalise 6 quintuplets?
c) Antoine fait en moyenne 200 parcours par année, soit
1200
trous. Quelle est la probabilité qu'il
réalise entre 230 et 260 quintuplets, bornes comprises? Donner l'expression exacte puis calculer
une valeur approximative du résultat.
Temps à disposition : 4 heures
Note maximale (6) pour 5 problèmes justes
Fascicule "Extraits des Formulaires et Tables" à disposition
Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée