Devoir 1 - Stephane Boucheron

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Ecole Normale Sup´erieure
FIMFA — Statistique 2014–2015
Devoir 1
Les statistiques d’ordre X1:n≤X2:n≤Xn:nd’un n-´echantillon X1, . . . , Xnd’observations
ind´ependantes identiquement distribu´ees sont form´ees par le r´earrangement croissant
(convention) de l’´echantillon. Quand nest clair d’apr`es le contexte on peut les noter
X(1) ≤. . . ≤X(n).
Exercice 1
V´erifier que la loi jointe des statistiques d’ordre est absolument continue par rapport `a la loi
de l’´echantillon.
On suppose que Xest une variable al´eatoire r´eelle, absolument continue de densit´e
continue. Montrer que l’´echantillon est presque sˆurement form´e de valeurs deux `a deux
distinctes. Donner la densit´e de la loi jointe des statistiques d’ordre.
Exercice 2
Si la loi des Xid´efinie par sa fonction de r´epartition F, admet une densit´e f, quelle est la
denist´e de la loi de Xk:npour 1 ≤k≤n?
Exercice 3
Montrer que conditionnellement `a Xk:n=x, la suite
(Xi:n−Xk:n)i=k+1,...,n
est distribu´ee comme les statistiques d’ordre d’un k−1 ´echantillon de la loi d’exc`es au
dessus de x(fonction de survie F(x+·)/F (x)) avec la convention F= 1 −F).
Exercice 4
Si X1, . . . , Xnest un ´echantillon i.i.d. de la loi exponentielle d’esp´erance 1 (densit´e
Ix>0e−x), et Xn:n≥Xn−1:n≥. . . ≥X1:nles statistiques d’ordre associ´ees, montrer que :
— avec la convention X0:n= 0, les ´ecarts (Xi:n−Xi−1:n)1≤i≤n(spacings) forment
une collection de variables al´eatoires ind´ependantes ;
—Xi:n−Xi−1:nest distribu´ee selon une loi exponentielle d’esp´erance 1
i.
Exercice 5
Dans cet exercice, X1, . . . , Xnest un ´echantillon i.i.d. de la loi exponentielle d’esp´erance 1
(densit´e Ix>0e−x), et Xn:n≥Xn−1:n≥. . . ≥X1:nles statistiques d’ordre associ´ees, et (kn)n
1

est une suite croissante d’entiers qui tend vers l’inifini, telle que kn/n tende vers une limite
finie (´eventuellement nulle).
Montrer que Xkn:n−EXkn:n
√var(Xkn:n)converge en loi vers une Gaussienne centr´ee r´eduite.
Exercice 6
Si fest une fonction croissante sur [a, b], on d´efinit son inverse g´en´eralis´ee f←par
f←(y) = inf{x:x∈[a, b], f(x)≥y}pour y∈[f(a), f(b)] .
Montrer que si (fn)nest une suite de fonctions croissantes sur [a, b]⊂Rqui converge
simplement vers fune autre fonction croissante sur [a, b] en tout point de continuit´e de f,
alors la suite (f←
n(y)) converge simplement vers f←(y) en tout y∈[f(a), f(b)] o`u f←est
continue.
Exercice 7
Soit Fune fonction de r´epartition, on d´efinit la fonction quantile associ´ee F←par
F←(p) = inf{x:F(x)≥p}pour p∈]0,1[ .
V´erifier que si deux fonctions de r´epartitions ont mˆeme fonction quantiles alors elles sont
´egales.
Dans cette d´efinition Fest une fonction de r´epartition, F←la fonction quantile associ´ee.
Montrer que pour tout x∈R, p ∈]0,1[,
1. F←(p)≤x⇔p≤F(x).
2. F◦F←(p)≥pavec ´egalit´e si et seulement si il existe xtel que F(x) = p.
Si F◦F←(p)> p alors F←est discontinue en p.
3. F←◦F(x)≤x.
Si F←◦F(x)< x, alors il existe  > 0 tel que F(x−) = F(x).
4. (F◦G)←=G←◦F←
Comment la convergence en distribution se traduit elle sur les fonctions quantiles ?
Exercice 8
Si Y1:n≤Y2:n≤. . . ≤Yn:nforme les statistiques d’ordre d’un n-´echantillon de la loi
exponentielle d’esp´erance 1, et si X1:n≤X2:n≤. . . ≤Xn:nd´esigne les statistiques d’ordre
d’un n-´echantillon d’une loi de fonction de r´epartition Fqui admet une densit´e partout
positive, montrer que
(X1:n, X2:n, . . . , Xn:n)∼(F←(1 −exp(−Y1:n)), . . . , F ←(1 −exp(−Yn:n))) .
Exercice 9
La fonction quantile empirique F←
nest la fonction quantile associ´ee `a la fonction de
r´epartition empirique Fn. Si les points de l’´echantillon sont deux `a deux distincts
F←
n(p) = Xk:npour k−1
n< p ≤k n.
2

Soit Fune fonction de r´epartition qui est d´erivable en F←(p) de d´eriv´ee non nulle not´ee
f(p) pour une valeur p∈]0,1[. Montrer que
√n(F←
n(p)−F←(p)) + √n1
f(p)(Fn(F←(p)) −p) = oP(1) .
Quelle est la loi limite de √n(F←
n(p)−F←(p)) ?
Exercice 10
La loi de Cauchy admet comme densit´e sur R
p(x) = 1
π
1
1 + x2.
On consid`ere le mod`ele des translat´ees d´efinies par
pθ(x) = p(x−θ) pour x, θ ∈R.
1. L’estimateur au maximum de vraisemblance est il bien d´efini dans ce mod`ele ? Est-il
unique ? Est il calculable (pour toute taille d’´echantillon) ?
2. Cacluler l’information de Fisher dans ce mod`ele.
3. Quelle est la m´ediane de la loi de densit´e pθ?
4. La m´ediane empirique dans un ´echantillon de taille 2n+ 1 est elle un estimateur sans
biais de la m´ediane ?
5. La m´ediane empirique d´efinit elle une suite consistante d’estimateurs de la m´ediane ?
(justifier...)
6. La m´ediane empirique d´efinit elle une suite consistante asymptotiquement normale
d’estimateurs de la m´ediane ?
7. Proposez un intervalle de niveau de confiance asymptotique α∈]0,1[ pour θ.
Exercice 11
Mˆemes questions mais pour le mod`ele localisation/´echelle o`u
pθ,σ (x) = px−θ
σpour x, θ ∈R, σ ∈]0,∞).
— Proposez un estimateur pour θ, σ.
— Proposez un intervalle de niveau de confiance asymptotique α∈]0,1[ pour θ.
— Proposez un intervalle de niveau de confiance asymptotique α∈]0,1[ pour σ.
Exercice 12
`
A l’aide du logiciel de votre choix, et pour les valeurs des param`etres de votre choix,
effectuez une simulation num´erique pour ´etudier le comportement des estimateurs obtenus
dans l’exercice pr´ec´edent, pour des valeurs de nentre 3 et 10 000. ´ Etudiez ´egalement le
comportement de la moyenne empirique et de l’´ecart-type empirique d’un ´echantillon
suivant la loi de Cauchy. Commentez.
Note : En Statistique, on utilise souvent le logiciel R (www.r-project.org), par exemple
avec l’IDE RStudio (www.rstudio.org). La commande rcauchy() pourra alors ˆetre utile.
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