Séance 09

UNIVERSIT´ E PARIS OUEST NANTERRE LA D´ EFENSE
U.F.R. SEGMI Ann´ee universitaire 2015 – 2016
L2 MIASHS Cours de B. Desgraupes
Simulation Stochastique
S´eance 09: Simulation par transformation
Il existe des relations probabilistes entre les diff´erentes lois de densit´e qui per-
mettent de simuler un ´echantillon selon une loi donn´ee `a partir d’un ´echantillon
obtenu pour une autre loi.
L’exemple le plus simple est celui de la loi binomiale qui est une somme de
lois de Bernoulli. Les exercices qui suivent donnent plusieurs exemples.
1 Exercices
Exercice 1 :Loi triangulaire
1) Montrer que la somme de deux lois uniformes ind´ependantes sur [0,1] est
une loi triangulaire sur [0,2].
2) G´en´erer un ´echantillon de taille 1000 et v´erifier graphiquement au moyen
d’un histogramme la forme de la distribution obtenue.
Exercice 2 :Loi binomiale
1) G´en´erer une ´echantillon de taille 150 suivant une loi binomiale de para-
m`etres n= 5 et p= 0.4 en sommant 5 ´echantillons de Bernoulli.
2) Dresser la table d’effectifs des valeurs obtenues et calculer les proportions
correspondantes.
3) Quelles sont les probabilit´es exactes attendues pour la loi binomiale
B(n, p) ?
4) Comparer avec l’´echantillon obtenu au moyen d’un test du χ2.
Exercice 3 :Loi χ2(1)
Le carr´e d’une variable suivant la loi normale de Gauss suit une loi du χ2`a
1 degr´e de libert´e.
En utilisant la fonction rnorm de R, g´en´erer un ´echantillon de taille 750
distribu´e selon la loi χ2(1) et v´erifier graphiquement la distribution obtenue.
Exercice 4 :Loi χ2(n)
La somme des carr´es de nvariables ind´ependantes suivant la loi normale de
Gauss suit une loi du χ2`a ndegr´es de libert´e.
1) En utilisant la fonction rnorm de R, g´en´erer un ´echantillon de taille 200
selon la loi χ2(5).
1

2) Donner une repr´esentation graphique de l’histogramme et de la fonction
de densit´e.
3) Faire un test d’ad´equation de Kolmogorov-Smirnov sur l’´echantillon ob-
tenu.
Exercice 5 :Loi Beta(1/n, 1)
Si Xest uniforme sur [0,1] alors XNsuit une loi Beta de param`etres (1/N, 1).
1) G´en´erer un ´echantillon de taille 2000 pour N= 3
2) V´erifier graphiquement la distribution obtenue. On rappelle que la densit´e
de cette loi est αxα−1avec α= 1/N.
Exercice 6 :Transformation de Box-Muller
Si U1and U2sont des variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement dis-
tribu´ees sur l’intervalle ]0,1], on pose :
(Z1=Rcos(Θ) = √−2 ln U1cos(2πU2)
Z2=Rsin(Θ) = √−2 ln U1sin(2πU2)
1) Montrer qu’une loi du χ2`a 2 degr´es de libert´es est identique `a une loi
exponentielle de param`etre λ= 1/2
2) Montrer que Z1et Z2sont des variables ind´ependantes distribu´ees selon
la loi de Gauss N(0,1).
3) Appliquer cet algorithme pour g´en´erer deux ´echantillons de taille 10000.
4) Repr´esenter graphiquement la distribution des couples de points obtenus.
Exercice 7 :Simulation de la loi log-normale
1) Donner une m´ethode de simulation de la loi log-normale
Rappel : une variable al´eatoire X suit une loi log-normale quand son loga-
rithme suit une loi normale.
2) Construire un ´echantillon de taille 100 en prenant comme param`etres
µ= 2 et σ= 0.5. Donner une repr´esentation graphique.
2