Petits problèmes au quotidien Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs [email protected] Traduction et adaptation de problèmes tirés des revues provenant du NCTM (mai 2005 et janvier 2006) 1. Le carré d’un nombre est 8 de moins que la somme des 10 premiers nombres premiers. Quel est ce nombre? 2. Remplace chacun des * avec un chiffre pour rendre l’égalité vraie. *** 4** • 7 = 6 743 *56 3. Sachant que k2 – 3k + 5 = 0, détermine la valeur de k4 – 6k3 + 9k2 –7. 4. Quelle est la valeur de x dans l’équation : 420 + 420 = 2x? 13 15 14 figure 6 5. La moyenne d’un ensemble de nombres est 20. Si un nombre est augmenté de 300 alors la moyenne augmente à 35. Combien y a-t-il de nombres dans l’ensemble? 6. Sans utiliser la formule de Héron, quelle est la mesure de la surface du triangle de la figure no 6? 7. Une pyramide de 4 étages construite avec des allumettes, telle qu’à la figure no7, requiert 24 allumettes. Combien d’allumettes sont nécessaires pour construire une pyramide de 98 étages? figure 7 Solutions à la page : 42 GRMS ENVOL no 136 — juillet-août-septembre 2006 7 Solutions des petits problèmes Problèmes à la page 7 Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs 1. 11. La somme des 10 premiers nombres premiers est : 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129. Donc, x2 + 8 = 129, alors x2 = 121. Finalement, x = 121 = 11. 2. 963 408 * 7 = 6 743 856. Pour démarrer le problème, il est plus simple d’écrire tous les multiples de 7. En observant la réponse qui se termine par 6, il ne peut y avoir que 8 multiplié par 7 pour obtenir 56. Toutefois, il ne faut pas oublier l’ajout des dizaines. Dans ce cas-ci c’est simple, car le 56 termine le produit, donc 0 est l’autre nombre manquant. Les 8 centaines du produit sont évidentes par le 7*4 et parce qu’il n’y a pas de retenue à la suite de la multiplication précédente, mais nous donnent 2 dizaines à ajouter à la prochaine multiplication. 3 * 7 = 21 et les 2 dizaines s’ajoutent aux unités. Les dizaines provenant du 21 s’ajouteront au 7 * 6 = 42 pour obtenir les 4 dizaines de milliers. Finalement, 7 * 9 = 63 pour obtenir l’unité de million en plus des 4 dizaines du 42 précédent pour avoir 67. 3. 32. k2 – 3k = -5. (k2 – 3k) 2 = 52 nous mène à k4 – 6k2 + 9k2 = 25. En comparant avec l’équation k4 – 6k2 + 9k2 – 7, on remarque qu’il y a le terme – 7 qui diffère. Ainsi, k4 – 6k2 + 9k2 – 7 + 7 = 25 + 7, la valeur de l’équation est 32. 4. 41. Nous avons 2 fois 420, qui s’écrit de la façon suivante : 2*420. 4 étant le carré de 2, nous avons l’égalité 2*(22)20 = 2x. Selon les règles des exposants, nous avons 241 = 2x. 5. 20. Le total des données y divisé par le nombre de données x est égal à 20. Ainsi, d’une donnée, nous avons maintenant l’équation y + 300 x y x = 20. En ajoutant 300 à la valeur = 35. Par substitution, nous avons 300 6. 84. En construisant la hauteur perpendiculaire à la base mesurant 14, cette dernière est partagée en deux segments, l’un mesurant x et l’autre 14-x. Nous avons donc les équations suivantes : (1) (14-x)2 + h2 = 152 et (2) x2 + h2 = 132. En isolant h2 dans chaque équation et en comparant ces équations, nous avons l’égalité suivante : 225 – 196 + 28x – x2 = 169 – x2. Les x2 s’éliminent et on obtient l’équation 28x = 140. La valeur de x est égale à 5. En plaçant cette valeur dans l’équation (2), nous trouvons la valeur de h est égale à 12. Donc, l’aire du triangle est 12* 14 2 x = 15, donc x = 20. 13 15 x 14-x 14 = 84. 7. 9800. En faisant le compte pour chaque étage, on remarque que c’est un multiple de 2 et on ajoute 1. Donc 2*ligne + 1, pour chaque ligne. Pour faire le total des lignes, nous faisons la somme des lignes 1,2,3…n. La règle de la somme est 2* n(n + 1) 2 + 1 (n fois). En simplifiant nous avons la règle n2 + 2n. Pour la 98e ligne, on remplace n par 98. Nous obtenons 982 + 2*98 = 9800. 42 ENVOL no 136 — juillet-août-septembre 2006 GRMS