L`essentiel du Cours d`Algèbre

L1 STEP – UFR STEP – Université Paris 7 “Mathématiques 2” – Algèbre
L’essentiel du Cours d’Algèbre
1 Espaces vectoriels
Définition : on appelle espace vectoriel (e.v) sur un corps K(Rou C) un ensemble Emuni de deux lois :
•une loi interne, notée “+”, telle que (E, +) est un groupe commutatif (voir Annexe).
•une loi externe, notée “.”, définie de K×Edans Etelle que :
–∀(λ, µ)∈K2,∀u∈E,(λ+µ).u =λ.u +µ.u
–∀λ∈K,∀(u, v)∈E×E,λ.(u+v) = λ.u +λ.v
–∀(λ, µ)∈K2,∀u∈E,(λ.µ).u =λ.(µ.u)
–∀u∈E,1K.u =u(1K, élément neutre de Kpour le produit, est aussi neutre pour “.”).
Les éléments d’un e.v. sont appelés des vecteurs. Un espace vectoriel peut être de dimension finie ou infinie.
Propriétés élémentaires
–∀u∈E,0K.u = 0E
–∀λ∈K,λ.0E= 0E
–∀(λ, u)∈K×E,λ.u = 0E⇒λ= 0Kou u= 0E
–∀(λ, x, y)∈K∗E×E,λ.x =λ.y ⇒x=y
–∀(λ, µ)∈K2,∀x∈E\ {0E},λ.x =µ.x ⇒λ=µ
–∀λ∈K,∀x∈E,λ.(−x) = −(λ.x)=(−λ).x
Sous-espace vectoriel
•Famille d’éléments d’un e.v. : n étant un entier non nul quelconque, on appelle famille finie à nd’éléments de E, et
on note (u1, . . . , un)un n-uplet d’éléments de E(les uine sont pas forcément distincts).
•Combinaison linéaire (c.l.) : Soit (u1, . . . , un)une famille finie d’éléments de E, on appelle combinaison linéaire des
uitout vecteur ude Ede la forme :
n
P
i=1
αiui, où les αisont des scalaires.
•Sous-espace vectoriel (s.e.v) : on appelle sous-espace vectoriel de Etoute partie Anon vide de E, stable par les
deux opérations “+” et “.”, et qui, munie des lois induites, est encore un K–e.v..
•Théorème : Soit Aune partie non vide de E.Aest un s.e.v. de E⇐⇒ Aest stable par c.l..
•Sous-espace vectoriel engendré
– Définition : soit Pune partie quelconque de E. On appelle s.e.v. engendré par Pl’intersection de tous les s.e.v
de Econtenant P. C’est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires (finies) des éléments de P. On le note
V ect(P)et pour la relation ⊂c’est le plus petit s.e.v. de Econtenant P.
– Théorème : l’intersection d’une famille quelconque de s.e.v. de Eest un s.e.v. de E.
•Somme
– Définition : Soient Fet Gdeux s.e.v. de E. On note F+Gl’ensemble des éléments zde E tels que ∃x∈E
et ∃y∈Favec z=x+y.F+Gest aussi un s.e.v. de E.
– Théorème : dim(F+G) = dimF +dimG −dim(F∩G).
•Somme directe
– Définition : Soient Fet Gdeux s.e.v. de E. On dit que Fet Gsont supplémentaires, et on note E=F⊕G,
si tout vecteur de Ese décompose de façon unique en la somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de G
– Théorème : E=F⊕G⇐⇒ E=F+Get F∩G={0E}.
Espace vectoriel Ede dimension finie n
•Famille génératrice de E: il s’agit d’une famille de Etelle que E=V ect (x1,··· , xn). On dit qu’un K–e.v. est de
dimension finie s’il admet une famille génératrice finie. Toute famille génératrice de Ea au moins néléments.
•Famille libre : il s’agit d’une famille dont les éléments sont linéairement indépendants. Aucun élément n’est c.l. des
autres. C’est aussi une famille d’éléments telle que la seule c.l. nulle est la combinaison linéaire à coefficients tous
Raphaël Grandin – IPGP – [email protected] Version du 1er mars 2017

L’essentiel du Cours d’Algèbre
nuls. Dans un e.v. de dimension finie, une famille libre ne peut avoir plus d’éléments qu’une famille génératrice.
Toute famille libre de Ea au plus néléments.
•Base : il s’agit d’une famille libre et génératrice. Tout e.v. de dimension finie admet une base. Toutes les bases ont
le même nombre d’éléments, égal à n, la dimension de E. Toute famille génératrice à néléments est une base. Toute
famille libre à néléments est une base. Toute famille génératrice de Econtient une base. Tout famille libre de E
peut-être complétée en une base. Dans ce cours, nous considérerons le plus souvent possible des bases orthonormées.
La notion de base orthonormale nécessite de disposer d’un produit scalaire (voir partie 2). La base canonique d’un
e.v. est la base la plus “naturelle” (par exemple {(1,0); (0,1)}dans R2). On la choisit généralement orthonormée et
directe (règle de la main droite dans R3).
•Sous-espace vectoriel : Si Fest un s.e.v. de E, alors dimF ≤dimE.
2 Produit scalaire
Espace vectoriel euclidien
•Définition : Soit Eun e.v. réel muni d’un produit scalaire et de dimension finie. On dit que Eest un e.v. euclidien.
•Produit scalaire : Soit Eun e.v. sur R. On appelle produit scalaire sur Rtoute forme Φde E×Edans R:
–bilinéaire :∀x∈E,Φx. :E→R
y7→ Φ(x, y)et Φ.x :E→R y7→ Φ(y, x)sont linéaires.
–symétrique :∀(x, y)∈E2,Φ(x, y) = Φ(y, x)
–définie positive :∀x∈E,Φ(x, x)≥0et Φ(x, x) = 0 ⇒x= 0EOn le note (x|y),< x, y >, ou encore ~u.~v (ne
pas confondre avec le signe “.” utilisé pour la loi de composition externe).
•Norme : ∀x∈Ela norme de xest définie par : ||x|| =p(x|x).
•Distance euclidienne : ∀(x, y)∈Ela distance euclidienne entre xet yest définie par : d(x, y) = ||x−y||.
•Propriétés
–||x|| = 0 ⇒x= 0E
–||λ.x|| =|λ| ||x||
–d(x, y)=0⇒x=y
–d(x, y) = d(y, x) = ||x−y|| =||y−x||
–∀(x, y)∈E2et ∀(α, β)∈R2,||αx +βy||2=α2||x||2+ 2αβ(x|y) + β2||y||2
–∀(x, y)∈E2,|(x|y)| ≤ ||x|| ||y|| (inégalité de Cauchy-Schwarz)
–∀(x, y)∈E2,||x+y|| ≤ ||x|| +||y|| (inégalité triangulaire)
–∀(x, y)∈E2,||x+y||2+||x−y||2= 2(||x||2+||y||2)(identité du parallélogramme)
–∀(x, y)∈E2,||x+y||2− ||x−y||2= 4|(x|y)|(identité de polarisation)
Orthogonalité
•Définition : Soient (x, y)∈E2,Eun e.v. euclidien muni du produit scalaire “|”. On dit que xet ysont orthogonaux
si (x|y)=0.
•Entre e.v. :
– Définition : Soient Fet Gdeux s.e.v. de E. On dit que Fet Gsont orthogonaux si ∀(x, y)∈F×G,(x|y) = 0.
On appelle orthogonale de F, notée F⊥, l’ensemble défini par : F⊥={x∈E / ∀y∈F, (x|y)=0}
– Propriétés : F⊕F⊥=E;(F⊥)⊥=F;F⊂G⇒G⊥⊂F⊥
•Entre familles :
– Soit (e1,··· , en)une famille de vecteurs de E. On dit que cette famille est orthogonale si ∀(i, j)∈[|1, p|]×
[|1, p|],(ei, ej)=0pour i6=j.
– Soit un vecteur e∈E\ {0E}. On dit que eest unitaire si ||e|| = 1.
– Une famille est orthonormale si elle est orthogonale et si ses vecteurs sont unitaires.
– Si la famille (e1,··· , en)est orthogonale, alors ||e1+···+en||2=||e1||2+···+||en||2(théorème de Pythagore)
– Conséquence : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
– Corollaire : Une famille orthonormale de vecteurs est libre.
– Si dimE =n, toute famille orthonormale de nvecteurs est une base.
UE “Mathématiques 2” – L1 STEP – UFR STEP – Université Paris 7 2

L’essentiel du Cours d’Algèbre
– Théorèmes : Soit (e1,··· , en)une base orthonormale (b.o.n.) de E. Soit x=
n
P
i=1
xieiet soit y=
n
P
i=1
yiei. Alors,
∀i∈[|1, n|]:xi= (x|ei);||x||2=
n
P
i=1
x2
i;(x|y) =
n
P
i=1
xiyi;d(x, y) = ||x−y|| =sn
P
i=1
(xi−yi)2
•Projection orthogonale
– Equation d’une droite : en 2D, ax +by +c= 0, de vecteur normal (a,b) ; en 3D, ax +by +cz +d= 0 de vecteur
normal (a,b,c) ; etc...
– Définition : soit (d)une droite et Pun point hors de (d). On appelle projection orthogonale de Psur (d)le
point P0de dtel que : P P 0⊥(d).
– Distance : la distance du point Pà la droite (d)est notée δ{P; (d)}. Elle est égale à la norme du vecteur −−→ P P 0,
où P0est la projection orthogonale de Psur (d).
– Théorème : la distance du point Pde coordonnées (xP;yP)à la droite (d)d’équation ax +by +c= 0 est
donnée par : δ{P; (d)}=|axP+byP+c|
√a2+b2
Produit scalaire hermitien (dans C≡R2)
•Forme algébrique : z=a+ib avec a=Re(z)et b=Im(z).zest l’affixe de −−→ OM (ou de M) dans le plan complexe.
•Conjugué : ¯z=a−ib ;Re(z) = 1
2(z+ ¯z);Im(z) = 1 2i(z−¯z)
•Module : |z|=||−−→ OM|| =√a2+b2=p−−→ OM.−−→ OM
•Produit scalaire (dans C)
– Produit scalaire hermitien (sur C) : (z|z0) = z∗z0∈C
– Norme hermitienne : (z|z) = z∗z=|z|2(s’identifie à la norme classique dans R2)
– Conséquences : 1
z=z |z|2=a−ib a2+b2;|zz0|≤|z||z0|(Cauchy-Schwarz) ; |z+z0|≤|z|+|z0|(inégalité triangulaire)
3 Géométrie dans l’espace (R3)
Produit scalaire Soient ~u = u1
u2
u3!et ~v = v1
v2
v3!deux vecteurs de R3exprimés dans une base orthonormale. Le
produit scalaire s’écrit ~u.~v =u1v1+u2v2+u3v3∈R.
Produit vectoriel
•Définition Le produit vectoriel s’écrit ~u ∧~v = u2v3−u3v2
u3v1−u1v3
u1v2−u2v1!∈R3
•Conséquences (~u ∧~v)⊥~u ;(~u ∧~v)⊥~v ;~u // ~v ⇐⇒ (~u ∧~v) = ~ 0; Le trièdre (~u;~v;~w =~u ∧~v)est
direct (règle de la main droite). ; ||~u ∧~v|| =||~u||.||~v||.|sin(d ~u, ~v);||~u ∧~v|| =aire du parallélogramme.
•Propriétés
– Anti-symétrie : ~u ∧~v =−~v ∧~u
– Bilinéarité : Soient λ∈Ret (~u, ~v, ~w)∈R3×R3×R3.
(λ~u)∧~v =λ(~u ∧~v) = ~u ∧(λ~v)
(~u +~v)∧~w = (~u ∧~w)+(~v ∧~w)
~u ∧(~v +~w)=(~u ∧~v)+(~u ∧~w)
Double produit vectoriel
•En général, ~u ∧(~v ∧~w)6= (~u ∧~v)∧~w
•En fait, (~u ∧~v)∧~w =−(~v. ~w).~u + (~u. ~w).~v
Produit mixte
•Définition : (~u, ~v, ~w)=(~u ∧~v). ~w ∈R
•Interprétation : volume du parallélépipède engendré par {~u, ~v, ~w}.
•Permutation circulaire : (~u, ~v, ~w)=(~w, ~u, ~v)=(~v, ~w, ~u)
•Permutation non-circulaire : (~u, ~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w) = −(~u, ~w, ~v) = −(~w, ~v, ~u)
•Propriétés
UE “Mathématiques 2” – L1 STEP – UFR STEP – Université Paris 7 3

L’essentiel du Cours d’Algèbre
–(~u, ~v, ~w) = det 
u1v1w1
u2v2w2
u3v3w3
=u1v2w2
v3w3+u2v3w3 v1w1+u3v1w1 v2w2(dévptselon 1ère colonne).
–~u,~v et ~w coplanaires ⇐⇒ det(~u, ~v, ~w)≡det(U, V, W )=0 (en notant ~u, ~v, ~w sous la forme de vecteurs colonnes)
– On admettra que cette notion (nullité du déterminant ⇐⇒ dépendance linéaire) peut être extrapolée à Rn.
4 Applications linéaires
Généralités sur les applications
•Définition : la donnée d’une application d’un ensemble Edans un autre ensemble Fest la donnée d’un sous-ensemble
Gde E×Ftel que, ∀x∈E, ∃!y∈F / (x, y)∈G. En clair : une application est une fonction de Edans F. Un
élément de l’ensemble de départ ne peut être associé qu’à un unique élement dans l’ensemble d’arrivée (aucun
élément de Ene pointe vers plusieurs éléments de F).
•Composition ∀x∈E, (g◦f)(x) = g(f(x)). La loi “◦” est associative mais non commutative (a priori).
•Injectivité, surjectivité, bijectivité : : Soit fune application de Edans F.
– On dit que fest injective si tout élément de Fa au plus un antécédent ⇐⇒ ∀(x, x0)∈E2, f (x) = f(x0)⇒
x=x0
– On dit que fest surjective si tout élément de Fa au moins un antécédent ⇐⇒ ∀y∈F, ∃x∈E / f(x) = y
– On dit que fest bijective de Esur Fsi f est à la fois injective et surjective ⇐⇒ tout élément de Fa un unique
antécédent ⇐⇒ ∀y∈F, ∃!x∈E / f (x) = y
•Théorème : fest une bijection de Esur Fssi il existe une fonction gde Fdans Etelle que g◦f=IdEet
f◦g=IdF. On note alors g=f−1.
Applications linéaires
•Définition : Soient Eet Fdeux R-e.v. de dimension finie. Soient BEet BFdeux bases de Eet F.
L’application ude Edans Fest linéaire si ∀(x, y)∈E×E, ∀(a, b)∈R2, u(ax +by)L =a.u(x) + b.u(y).
•Conséquence : u(0E)=0F
Image et noyau
– Image : Im(u) = {y∈F / ∃x∈E / u(x) = y} ⊂ F
– Noyau : Ker(u) = {x∈E / u(x)=0F} ⊂ E
– Rang : rg(u) = dim Im(u)
Théorèmes
–Im(u)est un s.e.v de F
–Ker(u)est un s.e.v de E
–uinjective ⇐⇒ u(BE)libre ⇐⇒ rg u =dimE ⇐⇒ Ker(u) = {0E}
–usurjective ⇐⇒ u(BE)génératrice ⇐⇒ rg u =dimF ⇐⇒ Im(u) = F
–ubijective ⇐⇒ u(BE)base de F⇐⇒ rg u =dimE =dimF
– Théorème du rang : soit uun app. lin. de Esur F. On a : dimE =dim Ker(u) + dim Im(u)
5 Représentation matricielle des applications linéaires
Définition
Soient Eet Fdeux R-e.v. de dimension finies net p, respectivement.
•Décomposition : Soient BE= (e1, e2,··· , en)et BF= (f1, f2,··· , f n)des bases de Eet F, respectivement.
∀x∈E, la décomposition sur BEest unique : x=x1.e1+x2.e2+··· +xn.en
∀y∈F, la décomposition sur BFest unique : y=y1.f1+y2.f 2+··· +yn.fp
•Image d’un vecteur par une application linéaire : Soit uune application linéaire de Edans F.
Soit y∈Im(u). Alors, ∃x∈Etel que :
y=u(x)
=u(x1.e1+x2.e2+··· +xn.en)
L
=x1.u(e1) + x2.u(e2) + ··· +xn.u(en)
UE “Mathématiques 2” – L1 STEP – UFR STEP – Université Paris 7 4

L’essentiel du Cours d’Algèbre
En notant : 
u(e1) = a11.f 1+a21.f2+··· +ap1.fp∈F
u(e2) = a12.f 1+a22.f2+··· +ap2.fp
.
.
.
u(en) = a1n.f1+a2n.f 2+··· +apn.fp
on peut réécrire : y= (x1.a11 +x2.a12 +··· +xn.a1n).f1+ (x1.a21 +x2.a22 +··· +xn.a2n).f 2+···+
+··· + (x1.ap1+x2.ap2+··· +xn.apn).f p
ou, de façon matricielle : Y=
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
.
.
..
.
..
.
.
ap1ap2··· apn
| {z }
A
x1
x2
.
.
.
xn
| {z }
X
=AX =⇒A=
u(e1)u(e2)··· u(en)
La matrice Acomporte plignes et ncolonnes car elle correspond à une application linéaire de l’e.v. Ede dimension
nvers l’e.v. Fde dimension p(contre-intuitif !).
La matrice Xcomporte nlignes, car elle correspond à un vecteur xde E, e.v. de dimension n. La matrice Yfait p
lignes, car elle correspond à un vecteur yde F, e.v. de dimension p.
•Intérêt : La donnée de Asuffit à caractériser complètement l’application u:
y=u(x)⇐⇒ Y=AX
•Composition :
Considérons deux applications linéaires uet v:u:E→F
x7→ u(x) = yet v:F→G y7→ v(y) = z
Il est alors possible de définir l’application composée : v◦u:E→G
x7→ v◦u(x) = v{u(x)}=z
En notant Aet Bles matrices représentant les applications uet vdans des bases adaptées (Ade BEdans BF, et B
de BFdans BG), on en déduit :
u(x) = y⇐⇒ AX =Y
v(y) = z⇐⇒ BY =Z=⇒v{u(x)}=z⇐⇒ BY =B(AX) = BAX =Z
La matrice BA est donc la représentation de l’application v◦u. Attention : la matrice AB n’existe pas forcément,
de même que l’application u◦v. La composition, de même que la multiplication matricielle, n’est pas une opération
commutative (en général).
•Remarque : Les coefficients à l’intérieur de la matrice Adépendent du choix des bases BEet BF. Lorsqu’on change
de bases (soit au départ, soit à l’arrivée), les coefficients changent, de sorte que la matrice associée à uva différer.
En toute rigueur, il faudrait noter A≡ABE,BF. Pour déterminer la nouvelle expression de la matrice représentant
ulors d’un changement de base, voir la partie 6.
Opérations sur les matrices
On note Mmn(R)l’ensemble des matrices de dimension mlignes et ncolonnes à coefficients réels.
Soit A∈ Mmn(R). On note : A=
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
.
.
..
.
..
.
.
am1am2··· amn
= (aij )1≤i≤m,1≤j≤m
•Addition matricielle
– Définition : soient (A, B)∈ Mnp(R)× Mnp(R).
A+B=
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
.
.
..
.
..
.
.
am1am2··· amn
+
b11 b12 ··· b1n
b21 b22 ··· b2n
.
.
..
.
..
.
.
bm1bm2··· bmn
=
a11 +b11 a12 +b12 ··· a1n+b1n
a21 +b21 a22 +b22 ··· a2n+b2n
.
.
..
.
..
.
.
am1+bm1am2+bm2··· amn +bmn
– Remarque : les matrices Aet Bdoivent être de même dimension.
– Propriété : commutativité : A+B=B+A
•Multiplication externe
– Définition : soit A∈ Mnp(R)et λ∈R.
UE “Mathématiques 2” – L1 STEP – UFR STEP – Université Paris 7 5