Multiplication et division euclidienne dans Multiplication et division

Multiplication et division euclidienne dans
Multiplication et division euclidienne dans N N
Méthode 1 →Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers :
le diviser par 2, si ce n'est pas possible le diviser par 3, si ce n'est pas possible le
diviser par 5, et ainsi de suite pour trouver un premier diviseur premier du nombre
diviser le nouveau nombre obtenu par 2 si possible, ou 3, ou 5, etc., comme
précédemment
répéter cette opération jusqu'à ce que le nombre à diviser soit 1
écrire : nombre de départ = produit des facteurs trouvés à chaque étape
Exemple :
Décomposer 84 en produit de facteurs premiers
84 est un nombre pair, on commence la décomposition par 2 :
84 2
42 2
21 3
7 7
1
84 se décompose en produit de facteurs premiers de la manière suivante :
84 = 2 x 2 x 3 x 7
84 = 22 x 3 x 7
pair nouveau
multiple de 3, 2 + 1 = 3
nombre premier

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Multiplication et division euclidienne dans N N
Méthode 2 →Déterminer le nombre de diviseurs d'un entier.
Pour déterminer le nombre de diviseurs d'un entier :
le décomposer en produit de facteurs premiers
utiliser la formule :
« si n = am x bp x cq x …, alors n admet (m + 1) x (p + 1) x (q + 1) … diviseurs »
ce qui revient à ajouter 1 à chaque exposant du produit de facteurs premiers
multiplier entre eux les nombres trouvés
Exemple :
Combien de diviseurs possède 172 ?
Décomposons 172 en produit de facteurs premiers :
172 2
86 2
43 43
1
172 = 22 x 43
Les exposants des facteurs premiers de la décomposition sont : 2 et 1.
En les augmentant de 1 et en les multipliant, on obtient 3 x 2 = 6
172 possède donc six diviseurs.

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Méthode 3 →Trouver tous les diviseurs d'un entier.
Pour trouver tous les diviseurs d'un entier :
le décomposer en un produit de facteurs premiers
multiplier les facteurs premiers obtenus entre eux deux par deux
les multiplier entre eux trois par trois
les multiplier entre eux quatre par quatre
et ainsi de suite, selon le nombre initial de facteurs
écrire tous les résultats obtenus comme liste des diviseurs, y ajouter 1
utiliser la Méthode 2 pour vérifier que tous les diviseurs ont été trouvés
Exemple :
Quels sont tous les diviseurs de 384 ?
1. Décomposons 384 en produit de facteurs premiers :
384 2
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1 384 = 27 x 3
2. On a deux facteurs premiers, 2 et 3, donc déjà deux diviseurs. Les autres diviseurs
possibles sont :
22, 23, 24, 25, 26, 27, 2 x 3, 22 x 3, 23 x 3, 24 x 3, 25 x 3, 26 x 3, 27 x 3 ;
soit 4, 16, 32, 64, 128, 256, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
En vérifiant on trouve (7 + 1) x (1 + 1) = 8 x 2 = 16 diviseurs pour les nombre 384.
Les diviseurs de 384 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192 et 384

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Méthode 4 →Déterminer si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 11 ou leurs multiples.
Pour savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 11 :
utiliser les critères de divisibilité :
◦divisibilité par 2 : si et seulement si le nombre est pair
◦divisibilité par 3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
◦divisibilité par 4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
est lui-même un multiple de 4
◦divisibilité par 5 : si et seulement si son chiffre des unités est 5 ou 0
◦divisibilité par 9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
◦divisibilité par 11 : si et seulement si la somme de ses chiffres de rang impair
diminuée de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de 11
◦divisibilité par 6 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 3
◦divisibilité par 10 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 5 et donc si et
seulement si il se termine par 0
◦divisibilité par 12 : si et seulement si le nombre est divisible par 3 et par 4
◦divisibilité par 15 : si et seulement si le nombre est divisible par 3 et par 5
◦divisibilité par 18 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 9
◦divisibilité par 22 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 11
◦divisibilité par 45 : si et seulement si le nombre est divisible par 9 et par 5 ...
Exemple :
D'après les critères de divisibilité, 408 est-il divisible par 12 ?
4 + 0 + 8 = 12, multiple de 3, donc 408 est divisible par 3.
Le nombre formé par les deux derniers chiffres de 408 est 08, multiple de4, donc 408 est
divisible par 4.
408 est donc divisible par 3 et par 4, donc divisible par 12.

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Méthode 5 →Déterminer le PPCM de deux nombres.
Pour trouver le PPCM de deux nombres :
les décomposer chacun en un produit de facteurs premiers
écrire le produit de tous les facteurs premiers présents dans l'une ou l'autre de ces
deux décompositions
élever ces facteurs à leur plus grande puissance (si un facteur premier est présent
dans les deux décompositions, il faut utiliser la puissance la plus grande entre celle de
la décomposition 1 et celle de la décomposition 2 ; si un facteur n'apparaît que dans une
décomposition, on l'élèvera évidemment dans le produit à la même puissance que dans la
décomposition en question)
calculer le produit obtenu
Exemple :
Déterminer le PPCM de 136 et 22
136 2
68 2
34 2 22 2
17 17 11 11
1 1
136 = 23 x 17 22 = 2 x 11
Un facteur commun apparaît dans les deux décompositions : 2 à la puissance 3 dans la
décomposition de 136 et à la puissance 1 dans la décomposition de 22
Le PPCM de 136 et 22 est donc égal à : 23 x 17 x 11
Le PPCM de 136 et 22 est donc 1 496
Donc PPCM ( 136;22) = 1 496