Multiplication et division euclidienne dans Multiplication et division
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Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 1 → Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers : le diviser par 2, si ce n'est pas possible le diviser par 3, si ce n'est pas possible le diviser par 5, et ainsi de suite pour trouver un premier diviseur premier du nombre diviser le nouveau nombre obtenu par 2 si possible, ou 3, ou 5, etc., comme précédemment répéter cette opération jusqu'à ce que le nombre à diviser soit 1 écrire : nombre de départ = produit des facteurs trouvés à chaque étape Exemple : Décomposer 84 en produit de facteurs premiers 84 est un nombre pair, on commence la décomposition par 2 : 84 2 pair nouveau 42 2 multiple de 3, 2 + 1 = 3 21 3 nombre premier 7 7 1 84 se décompose en produit de facteurs premiers de la manière suivante : 84 = 2 x 2 x 3 x 7 84 = 22 x 3 x 7 Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 2 → Déterminer le nombre de diviseurs d'un entier. Pour déterminer le nombre de diviseurs d'un entier : le décomposer en produit de facteurs premiers utiliser la formule : « si n = am x bp x cq x …, alors n admet (m + 1) x (p + 1) x (q + 1) … diviseurs » ce qui revient à ajouter 1 à chaque exposant du produit de facteurs premiers multiplier entre eux les nombres trouvés Exemple : Combien de diviseurs possède 172 ? Décomposons 172 en produit de facteurs premiers : 172 2 86 2 43 43 1 172 = 2 x 43 2 Les exposants des facteurs premiers de la décomposition sont : 2 et 1. En les augmentant de 1 et en les multipliant, on obtient 3 x 2 = 6 172 possède donc six diviseurs. Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 3 → Trouver tous les diviseurs d'un entier. Pour trouver tous les diviseurs d'un entier : le décomposer en un produit de facteurs premiers multiplier les facteurs premiers obtenus entre eux deux par deux les multiplier entre eux trois par trois les multiplier entre eux quatre par quatre et ainsi de suite, selon le nombre initial de facteurs écrire tous les résultats obtenus comme liste des diviseurs, y ajouter 1 utiliser la Méthode 2 pour vérifier que tous les diviseurs ont été trouvés Exemple : Quels sont tous les diviseurs de 384 ? 1. Décomposons 384 en produit de facteurs premiers : 384 2 192 2 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 2. 384 = 27 x 3 On a deux facteurs premiers, 2 et 3, donc déjà deux diviseurs. Les autres diviseurs possibles sont : 22, 23, 24, 25, 26, 27, 2 x 3, 22 x 3, 23 x 3, 24 x 3, 25 x 3, 26 x 3, 27 x 3 ; soit 4, 16, 32, 64, 128, 256, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 En vérifiant on trouve (7 + 1) x (1 + 1) = 8 x 2 = 16 diviseurs pour les nombre 384. Les diviseurs de 384 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192 et 384 Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 4 → Déterminer si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 11 ou leurs multiples. Pour savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 11 : utiliser les critères de divisibilité : ◦ divisibilité par 2 : si et seulement si le nombre est pair ◦ divisibilité par 3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ◦ divisibilité par 4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même un multiple de 4 ◦ divisibilité par 5 : si et seulement si son chiffre des unités est 5 ou 0 ◦ divisibilité par 9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ◦ divisibilité par 11 : si et seulement si la somme de ses chiffres de rang impair diminuée de la somme de ses chiffres de rang pair est un multiple de 11 ◦ divisibilité par 6 : ◦ divisibilité par 10 : seulement si si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 3 si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 5 et donc si et il se termine par 0 ◦ divisibilité par 12 : si et seulement si le nombre est divisible par 3 et par 4 ◦ divisibilité par 15 : si et seulement si le nombre est divisible par 3 et par 5 ◦ divisibilité par 18 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 9 ◦ divisibilité par 22 : si et seulement si le nombre est divisible par 2 et par 11 ◦ divisibilité par 45 : si et seulement si le nombre est divisible par 9 et par 5 ... Exemple : D'après les critères de divisibilité, 408 est-il divisible par 12 ? 4 + 0 + 8 = 12, multiple de 3, donc 408 est divisible par 3. Le nombre formé par les deux derniers chiffres de 408 est 08, multiple de4, donc 408 est divisible par 4. 408 est donc divisible par 3 et par 4, donc divisible par 12. Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 5 → Déterminer le PPCM de deux nombres. Pour trouver le PPCM de deux nombres : les décomposer chacun en un produit de facteurs premiers écrire le produit de tous les facteurs premiers présents dans l'une ou l'autre de ces deux décompositions élever ces facteurs à leur plus grande puissance (si un facteur premier est présent dans les deux décompositions, il faut utiliser la puissance la plus grande entre celle de la décomposition 1 et celle de la décomposition 2 ; si un facteur n'apparaît que dans une décomposition, on l'élèvera évidemment dans le produit à la même puissance que dans la décomposition en question) calculer le produit obtenu Exemple : Déterminer le PPCM de 136 et 22 136 2 68 2 34 2 22 2 17 17 11 11 1 1 136 = 23 x 17 22 = 2 x 11 Un facteur commun apparaît dans les deux décompositions : 2 à la puissance 3 dans la décomposition de 136 et à la puissance 1 dans la décomposition de 22 Le PPCM de 136 et 22 est donc égal à : 23 x 17 x 11 Le PPCM de 136 et 22 est donc 1 496 Donc PPCM ( 136;22) = 1 496 Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 6 → Déterminer le PGCD de deux nombres par l'algorithme d'Euclide. Pour déterminer le PGCD de deux nombres par l'algorithme d'Euclide : diviser le plus grand nombre par le plus petit (première division) si cette première division ne donne pas un reste nul, diviser le diviseur de la division précédente par le reste de cette division si la deuxième division n'a pas de reste nul, diviser le diviseur de cette division par le reste de cette division et ainsi de suite jusqu'à ce que le reste obtenu soit nul le PGCD est égal au dernier reste non nul, c'est-à-dire au reste de l'avant-dernière division Exemple : Quel est le PGCD de 46 et 84 ? Divisons 84 par 46 84 46 38 1 Divisons 8, précédent diviseur, par 6, précédent reste : 8 6 2 1 Divisons l'ancien diviseur, 46, par l'ancien reste, 38 : Divison 6 par 2 : 46 38 6 2 8 1 0 3 Recommençons avec 8 pour diviseur de 38 : Le reste est nul, c'est lé dernière division 38 8 Le PGCD est égal au reste de l'avant-dernière 6 4 division : 2 Donc PGCD (48;84) = 2 Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 7 → Déterminer le PGCD par la décomposition en nombres premiers. Pour déterminer le PGCD de deux nombres a et b par la décomposition en nombres premiers : décomposer le nombre a en produit de facteurs premiers décomposer le nombre b en produit de facteurs premiers effectuer le produit des facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions, facteurs affectés de leur plus petit exposant (entre celui de la décomposition de a et celui de la décomposition de b) écrire le PGCD comme le résultat de ce produit Exemple : Quel est le PGCD de 46 et 84 ? Décomposons en produit de facteurs premiers 46 et 84 : 84 2 42 2 46 2 21 3 23 23 7 7 1 1 46 = 2 x 23 84 = 22 x 3 x 7 Le facteur apparaissant dans les deux décompositions est 2, son plus petit exposant est 1 Le PGCD de 46 et 84 est donc égal à 21 Donc PGCD (46;84) = 2 Multiplication et division euclidienne dans N Méthode 8 → Déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne. Pour déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne de deux nombres a et b : écrire le nombre a sous la forme d'une somme : bq + r avec q le quotient et r le reste de la division s'assurer que le reste r est inférieur au diviseur : r < b Exemple : Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de 168 par 5 On écrit l'égalité : 168 5 18 33 168 = 5 x q + r 3 D'où 5 x 33 + 3 33 est le quotient de la division euclidienne et 3 le reste.
