fonctions programmation -différents "les expressions"

Exemple de devoir d'entrainement n° 2
thèmes abordés : factorisations; résolution d'équations produit, variations d'une fonctions extremums; utilisation
de la calculatrice pour l'étude de fonctions et la résolution graphique d'équations.
Exercice 1:
1°)Factoriser au maximum les expressions suivantes:
A
(
x
)
=
(
2x+6
)
+
(
x+3
)
2
B
(
x
)
=
(
x+1
)
+
(
x+1
)(
x+3
)
C
(
x
)
=
(
2x+3
)
2−x2
D
(
x
)
=x2−3
E
(
x
)
=
(
x+3
)
2−5x−9
F
(
x
)
=2
(
x−5
)
+
(
x−5
) (
6x+1
)
En déduire les solutions des équations suivantes :
A
(
x
)
=0
F
(
x
)
=0
Exercice 2:
Soit
f
une fonction définie sur[-4;7] et donnée par
sa courbe représentative ci contre :
1°) Décrire par des phrases les variations de
f
.
2°) Dresser le tableau de variations de
f
.
3°) Déterminer le minimum et le maximum de
f
sur [-4;7] et préciser les valeurs où ils sont atteints.
Exercice 3:
Voici le tableau de variations d'une fonction
f
:
x
−∞
-1 4 9
10 8
f
−5
1°) Quel est l'ensemble de définition de
f
?
2°) Compléter les phrases suivantes qui comparent les images de deux nombres en justifiant la réponse :
f
(
5
)
....
f
(
8
)
car la fonction
f
est .... .... .. ....... ..... sur l'intervalle [...;.....]
f
(
0
)
....
f
(
3,5
)
car la fonction
f
est ....... .... .... ....... sur l'intervalle [...;.....]
3°) Compléter :
Si
−3⩽x⩽−1
alors ......
⩽f
(
x
)
⩽
............
Si
−1⩽x⩽9
alors ........
⩽f
(
x
)
⩽
........
4°) Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement
f
.
Exercice 4:
Soit
f
définie sur
ℝ
par :
f
(
x
)
=
(
2x+1
) (
3x−4
)
1°) Développer
f
(
x
)
2°) En choisissant l'expression de
f
qui convient le mieux, répondre aux questions suivantes :
a) Calculer
f
(
0
)
;
f
(
−1
2
)
et
f
(
√
7
)
b) Calculer les antécédents de
0
par
f
.
3°) On veut représenter graphiquement
f
sur [-2;3] sur la calculatrice.
a) En expliquant votre démarche, donner les paramètres de la fenêtre de tracé utilisés.
b) Représenter
f
, puis résoudre graphiquement
f
(
x
)
=7
.
c)
f
semble-t-elle admettre un minimum sur [-3;2] ? Si oui, préciser grâce à la calculatrice, ce minimum et
la valeur de
x
où ce minimum est atteint. (on donnera des valeurs approchées à 0,01 près et on indiquera
rapidement la démarche).
4°) On considère
g
la fonction d'expression
g
(
x
)
=3x+1
a) Sur la calculatrice, tracer
f
et
g
, puis conjecturer le nombre de solutions de l'équation
f
(
x
)
=g
(
x
)
.
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de ces solutions. ( on indiquera la
démarche)

correction :
Exercice 1:
A
(
x
)
=2
(
x+3
)
+
(
x+3
)
2=
(
x+3
) [
2+
(
x+3
) ]
=
(
x+3
)(
x+5
)
B
(
x
)
=
(
x+1
)
×1+
(
x+1
)(
x+3
)
=
(
x+1
) [
1+
(
x+3
) ]
=
(
x+1
)(
x+4
)
C
(
x
)
=
[ (
2x+3
)
+x
][ (
2x+3
)
−x
]
=
(
3x+3
)(
x+3
)
D
(
x
)
=x2−
(
√
3
)
2=
(
x+
√
3
)(
x−
√
3
)
E
(
x
)
: pas de facteur commun ni de forme développée d'identité remarquable donc développe :
E
(
x
)
=x2+6x+9−5x−9=x2+1×x=x
(
x+1
)
F
(
x
)
=
(
x−5
) [
2+
(
6x+1
) ]
=
(
x−5
)(
6x+3
)
On utilise les formes factorisées car elles conduisent à des équations produit qu'on sait résoudre facilement:
A
(
x
)
=
(
x+3
) (
x+5
)
=0
si
x+3=0
ou
x+5=0
donc
x=−3
ou
x=−5
S={-5;-3}
F
(
x
)
=
(
x−5
)(
6x+3
)
=0
si
x−5=0
ou
6x+3=0
donc
x=5
ou
x=− 3
6=− 1 2
S={
5;−1
2
}
Exercice 2:
1° )
f
est croissante sur [-2;2] et sur [4;7].
f
est décroissante sur [-4;-2] et sur [2;4].
2°)
x
−4
−2
2 4 7
−1
2 3
f
−2
1
3°) le minimum de
f
sur [-4;7] est
−2
atteint pour
x=−2
. Le maximum de
f
sur [-4;7] est 3 atteint pour
x=7
Exercice 3:
D1°) f=]-
∞
;9] ( lecture sur la première ligne)
2°)
f
(
5
)
<
f
(
8
)
car la fonction
f
est croissante sur l'intervalle [4;9]
f
(
0
)
.>
f
(
3,5
)
car la fonction
f
est décroissante sur l'intervalle [-1;4]
3°) Si
−3⩽x⩽−1
alors
f
(
−3
)
⩽f
(
x
)
⩽f
(
−1
)
car
f
est croissante sur |-3;-1]
Si
−1⩽x⩽9
alors -5
⩽f
(
x
)
⩽
10 car le minimum de
f
sur [-1;9] est -5 et son maximum est 10
4°) On place les points associés aux valeurs
du tableau de variations, puis on trace une
courbe qui passe par ces points tout en
respectant les variations et la définition
d'une fonction : (deux points distincts de la
courbe ont nécessairement des abscisses
distinctes) . On a alors une infinité de
courbes possibles.
Exercice 4:
1°)
f
(
x
)
=6x2−8x+3x−4=6x2−5x−4
2°) On choisit toujours l'expression qui
conduit aux calculs les plus simples et rapides.
Avec la forme développée :
f
(
0
)
=−4
avec la forme factorisée:
f
(
−1
2
)
=
(
2×
(
−1
2
)
+1
)
×
(
3×
(
−1
2
)
−4
)
=0×
(
−3
2+4
)
=0
avec la forme développée :
f
(
√
7
)
=6×
(
√
7
)
2−5×
√
7−4=52−5
√
7−4=48−5
√
7

b) rechercher les antécédents de 0 revient à résoudre
f
(
x
)
=0
avec la forme factorisée:
(
2x+1
) (
3x−4
)
=0
donc
2x+1=0
ou
3x−4=0
soit
x=− 1
2
ou
x=4
3
. Les antécédents de 0 par
f
sont
−1
2
et
4
3
.
3°) On programme la fonction sur la calculatrice ( on utilise de préférence l'expression donnée dans l'énoncé) puis
on construit un tableau de valeur en commençant à
−2
avec un pas de 0,5 ( pour les casio on termine à 3). Dans
ce tableau, pour
x
variant entre -2 et 3 la pus grande valeur de y1 est 35 et la plus petite valeur est -5. Les
paramètres pour la fenêtre de tracé sont donc :
x
min=-2
x
max=3
x
grad (ou
x
scal)=0,5
ymin=−6
ymax=36
ygrad ( ou yscal)=5
b) Pour résoudre
f
(
x
)
=7
on programme dans y2 la fonction constante égale à 7 puis :
*sur Ti on utilise la touche calculs puis intersect
* sur casio on utilise la touche G-solv puis Isect,
pour avoir les coordonnées des points d'intersection de la droite horizontale qui passe par l'ordonnée 7 avec le
courbe de
f
: on trouve alors
x=−1
et
x
≈
1,833
c)
f
semble admettre un minimum car sur [-3;2] car la courbe présente un point "bas".
(Pour trouver les coordonnées de ce point avec la calculatrice on doit désactiver la fonction constante en
y2
):
* sur Ti on utilise la touche calculs puis minimum
* sur casio on utilise la touche G-solv puis Min,
On trouve alors : x
≈
0,42 et
y
≈
−
5,04 le minimum de
f
est environ
−5, 04
atteint pour
x
≈
0, 42
.
4°) a) On rentre la fonction
g
dans y2 en gardant la même fenêtre de tracé. le courbe de
g
est une droite qui
coupe la courbe de
f
en deux points.
b) Pour avoir les coordonnées de ces deux points, même démarche que dans la question 3 b):
le premier point d'intersection a pour abscisse
x
≈
−
0,46 et le second point a pour abscisse
x
≈
1,80