fonctions programmation -différents "les expressions"

Exemple de devoir d'entrainement n° 2
thèmes abordés : factorisations; résolution d'équations produit, variations d'une fonctions extremums; utilisation
de la calculatrice pour l'étude de fonctions et la résolution graphique d'équations.
Exercice 1:
1°)Factoriser au maximum les expressions suivantes:
2
2
2
B ( x ) =( x+1 )+ ( x+1 )( x+3 )
A ( x ) =( 2 x+6 ) +( x+3 )
C ( x )= ( 2 x+3 ) − x
2
2
F ( x ) =2 ( x−5 )+( x−5 ) ( 6 x+1 )
D ( x ) = x −3
E ( x ) =( x+3 ) −5 x−9
En déduire les solutions des équations suivantes :
A ( x ) =0
F ( x ) =0
Exercice 2:
Soit f une fonction définie sur[-4;7] et donnée par
sa courbe représentative ci contre :
1°) Décrire par des phrases les variations de f .
2°) Dresser le tableau de variations de f .
3°) Déterminer le minimum et le maximum de f
sur [-4;7] et préciser les valeurs où ils sont atteints.
Exercice 3:
Voici le tableau de variations d'une fonction f :
x
−∞
-1
10
4
9
8
f
−5
1°) Quel est l'ensemble de définition de f ?
2°) Compléter les phrases suivantes qui comparent les images de deux nombres en justifiant la réponse :
f ( 5 ) .... f ( 8 ) car la fonction f est .... .... .. ....... ..... sur l'intervalle [...;.....]
f ( 0 ) ....
f (3 , 5 )
car la fonction f est ....... ....
.... ....... sur l'intervalle [...;.....]
3°) Compléter :
Si −3⩽ x⩽−1
alors ...... ⩽ f ( x )⩽ ............
Si −1⩽ x⩽9 alors
........ ⩽ f ( x )⩽ ........
4°) Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement f .
Exercice 4:
Soit f définie sur ℝ par : f ( x )= ( 2 x+1 ) ( 3 x−4 )
1°) Développer f ( x )
2°) En choisissant l'expression de f qui convient le mieux, répondre aux questions suivantes :
1
a) Calculer f ( 0 ) ; f −
et f ( √ 7 )
2
b) Calculer les antécédents de 0 par f .
3°) On veut représenter graphiquement f sur [-2;3] sur la calculatrice.
a) En expliquant votre démarche, donner les paramètres de la fenêtre de tracé utilisés.
b) Représenter f , puis résoudre graphiquement f ( x )=7 .
c) f semble-t-elle admettre un minimum sur [-3;2] ? Si oui, préciser grâce à la calculatrice, ce minimum et
la valeur de x où ce minimum est atteint. (on donnera des valeurs approchées à 0,01 près et on indiquera
rapidement la démarche).
( )
4°) On considère g la fonction d'expression g ( x )=3 x+1
a) Sur la calculatrice, tracer f et g , puis conjecturer le nombre de solutions de l'équation f ( x )= g ( x ) .
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de ces solutions. ( on indiquera la
démarche)
correction :
Exercice 1:
2
A ( x ) =2 ( x+3 )+ ( x+3 ) =( x+3 ) [ 2+( x+3 ) ]=( x +3 )( x+5 )
B ( x ) =( x+1 )×1+( x +1 )( x+3 )=( x+1 ) [ 1+( x+3 ) ]= ( x+1 )( x+4 )
C ( x )= [ ( 2 x+3 )+ x ][ ( 2 x +3 ) − x ]= ( 3 x+3 )( x+3 ) D ( x ) = x 2− ( √ 3 )2=( x+ √ 3 )( x−√ 3 )
E ( x ) : pas de facteur commun ni de forme développée d'identité remarquable donc développe :
E ( x ) = x 2+6 x+9−5 x−9= x 2 +1× x = x ( x+1 )
F ( x ) =( x−5 ) [ 2+ ( 6 x+1 ) ]=( x−5 )( 6 x+3 )
On utilise les formes factorisées car elles conduisent à des équations produit qu'on sait résoudre facilement:
A ( x ) =( x+3 )( x +5 ) =0 si x +3=0 ou x +5=0 donc x =−3 ou x =−5 S={-5;-3}
F ( x ) =( x−5 )( 6 x+3 ) =0 si x −5=0 ou 6 x+3=0
3
1
1
donc x =5 ou x =− =−
S={ 5;− }
6
2
2
Exercice 2:
1° ) f est croissante sur [-2;2] et sur [4;7]. f est décroissante sur [-4;-2] et sur [2;4].
2°)
x
−4
−2
2
4
−1
2
7
3
f
−2
1
3°) le minimum de f sur [-4;7] est −2 atteint pour x =−2 . Le maximum de f sur [-4;7] est 3 atteint pour
x =7
Exercice 3:
1°) Df=]- ∞ ;9] ( lecture sur la première ligne)
2°)
f ( 5 ) < f ( 8 ) car la fonction f est croissante sur l'intervalle [4;9]
f ( 0 ) .> f ( 3,5 )
car la fonction f est décroissante sur l'intervalle [-1;4]
3°) Si −3⩽ x⩽−1 alors f (−3 ) ⩽ f ( x ) ⩽ f (−1 ) car f est croissante sur |-3;-1]
Si −1⩽ x⩽9 alors
-5 ⩽ f ( x )⩽ 10 car le minimum de f sur [-1;9] est -5 et son maximum est 10
4°) On place les points associés aux valeurs
du tableau de variations, puis on trace une
courbe qui passe par ces points tout en
respectant les variations et la définition
d'une fonction : (deux points distincts de la
courbe ont nécessairement des abscisses
distinctes) . On a alors une infinité de
courbes possibles.
Exercice 4:
1°) f ( x )=6 x 2−8 x +3 x−4=6 x 2 −5 x−4
2°) On choisit toujours l'expression qui
conduit aux calculs les plus simples et rapides.
Avec la forme développée : f ( 0 ) =−4
( 12 )=( 2×(− 12 )+1)×(3×(− 12 )−4)=0×(− 32 +4)=0
avec la forme factorisée: f −
avec la forme développée : f ( √ 7 )=6×( √ 7 )2 −5×√ 7−4=52−5 √ 7−4=48−5 √ 7
b) rechercher les antécédents de 0 revient à résoudre f ( x )=0 avec la forme factorisée: ( 2 x+1 ) ( 3 x−4 )=0
donc 2 x+1=0 ou 3 x−4=0
soit x =−
1
4
1
4
ou x = . Les antécédents de 0 par f sont − et
.
2
3
2
3
3°) On programme la fonction sur la calculatrice ( on utilise de préférence l'expression donnée dans l'énoncé) puis
on construit un tableau de valeur en commençant à −2 avec un pas de 0,5 ( pour les casio on termine à 3). Dans
ce tableau, pour x variant entre -2 et 3 la pus grande valeur de y1 est 35 et la plus petite valeur est -5. Les
paramètres pour la fenêtre de tracé sont donc :
x min=-2
x max=3
x grad (ou x scal)=0,5
ymin=−6
ymax =36
ygrad ( ou yscal)=5
b) Pour résoudre f ( x )=7 on programme dans y2 la fonction constante égale à 7 puis :
*sur Ti on utilise la touche calculs puis intersect
* sur casio on utilise la touche G-solv puis Isect,
pour avoir les coordonnées des points d'intersection de la droite horizontale qui passe par l'ordonnée 7 avec le
courbe de f : on trouve alors x =−1 et x ≈ 1,833
c) f semble admettre un minimum car sur [-3;2] car la courbe présente un point "bas".
(Pour trouver les coordonnées de ce point avec la calculatrice on doit désactiver la fonction constante en y2 ):
* sur Ti on utilise la touche calculs puis minimum
* sur casio on utilise la touche G-solv puis Min,
On trouve alors : x ≈ 0,42 et y ≈ − 5,04 le minimum de f est environ −5,04 atteint pour x ≈ 0 , 42 .
4°) a) On rentre la fonction g dans y2 en gardant la même fenêtre de tracé. le courbe de g est une droite qui
coupe la courbe de f en deux points.
b) Pour avoir les coordonnées de ces deux points, même démarche que dans la question 3 b):
le premier point d'intersection a pour abscisse x ≈ − 0,46 et le second point a pour abscisse x ≈ 1,80