Corrigé de la série 2

Cours d’Algèbre
Dr. P. Chabloz
Semestre d’automne 2015
28 septembre 2015
Corrigé de la série 2
Exercice 1. Pour chacun des couples d’entiers (a, b) suivants, calculer pgcd(a, b)
et ppcm(a, b) en factorisant a et b en produits de facteurs premiers.
(1) a = 105, b = 303. On obtient les décompositions en facteurs premiers suivantes :
a = 3 · 5 · 7 et b = 3 · 101. On en déduit que pgcd(a, b) = 3 et ppcm(a, b) =
3 · 5 · 7 · 101 = 10606.
(2) a = 108, b = 162. On obtient les décompositions en facteurs premiers suivantes :
a = 22 · 33 et b = 2 · 34 . On en déduit que pgcd(a, b) = 2 · 33 = 54 et ppcm(a, b) =
22 · 34 = 324.
(3) a = 3567, b = 1024. On remarque que b = 210 et que a est impair. Par conséquent
pgcd(a, b) = 1 et ppcm(a, b) = a · b = 3652608.
Exercice 2. Combien existe-t-il de couples d’entiers (a, b) tels que
pgcd(a, b) = 12 et ppcm(a, b) = 360?
Ici, a et b sont des entiers supérieurs ou égaux à 1.
Soit (a, b) un couple satisfaisant aux deux conditions de l’énoncé. Comme
pgcd(a, b) = 12, on peut écrire a = 12α et b = 12β, avec pgcd(α, β) = 1. Par
ailleurs, comme ppcm(a, b) = 12αβ = 360, on voit que αβ = 30. Réciproquement,
si on se donne un couple d’entiers (α, β) premiers entre eux satisfaisant αβ = 30,
alors le couple (a, b) = (12α, 12β) satisfait aux deux conditions de l’énoncé.
Finalement, on voit donc que le nombre de couples (a, b) satisfaisant aux deux
conditions de l’énoncé est exactement le nombre de couples (α, β) d’entiers premiers entre eux vérifiant αβ = 30. Comme 30 = 2 · 3 · 5, on voit que seuls les
couples (α, β) suivant conviennent :
(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 5), (10, 3), (15, 2), (30, 1).
Il y en a donc 8.
Exercice 3. En vous inspirant de la preuve d’Euclide, montrer qu’il y a une
infinité de nombres premiers dans la suite :
3, 7, 11, 15, . . . , 4k + 3, . . .
Il revient au même de montrer qu’il y a un nombre infini de nombres premiers
dans la suite :
7, 11, 15, . . . , 4k + 3, . . .
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Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas, et notons p1 < p2 < . . . < pr la
liste finie des nombres premiers dans cette suite. Considérons à présent le nombre
entier N = 4p1 · · · pr + 3. Soit p un nombre premier divisant N .
Remarquons tout d’abord que p 6= 2 car N est impair. De plus p 6= 3 car sinon,
on aurait que N , et donc N − 3 = 4p1 · · · pr est un multiple de 3, ce qui n’est pas
le cas, car chaque pi est différent de 3. On a aussi que p 6= pi pour tout indice i
entre 1 et r. En effet, si p = pi , alors on voit que N et donc 3 = N − 4p1 · · · pr
est un multiple de p, ce qui est exclu car p 6= 3. Jusqu’à maintenant, on a donc
montré que le nombre p figure dans la suite :
5, 9, 13, . . . , 4k + 1, . . .
Comme ceci est valable pour tout nombre premier p divisant N , on voit que tous
les diviseurs premiers de N sont congrus à 1 modulo 4. Par produit cela force N
à être lui-même congru à 1 modulo 4 et fournit une contradiction, puisque, par
définition même, N est congru à 3 modulo 4. On en déduit que l’hypothèse que
l’on a faite au départ ne tient pas, ce qui achève le raisonnement.