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Statistique Appliquée / Exercices corrigés
Luc Deneire
École Polytechnique de l’Université de Nice – Sophia Antipolis
Polytech’Nice Sophia
Département d’Électronique, 3eannée, 2013–2014
http://jalon.unice.fr/public/pqg729/
[email protected]

École Polytechnique de l’UNSA
Polytech’Nice-Sophia
Département d’Électronique
3eannée
Statistique Appliquée 2

Chapitre 2
Expériences et espace probabilisé
Exercice 2.1 Jet de pièces
On lance une pièce (non truquée) trois fois. Calculer la probabilité que plus de pièces donnent
face que pile, sachant qu’au premier lancer apparaît face.
L’univers de départ est (où ”F”indique que la pièce affiche “face”, et l’ordre est impor-
tant :[“F00,”P”,”F”] signifie : le premier jet donne face, le deuxième pile et le troisième
face)
Ω = {[”F”,”F”,”F”]
[”F”,”F”,”P”]
[”F”,”P”,”F”]
[”F”,”P”,”P”]
[”P”,”F”,”F”]
[”P”,”F”,”P”]
[”P”,”P”,”F”]
[”P”,”P”,”P”]
}
Chaque ωa une probabilité de 1/8 (car les lancers sont indépendants, donc la probabilité
de [”F”,”F”,”F”] vaut (1/2)3.
L’événement “Au premier lancer apparaît face” correspond à :
A={[”F”,”F”,”F”]
[”F”,”F”,”P”]
[”F”,”P”,”F”]
[”F”,”P”,”P”]
}
et l’événement "il y a plus de face que de pile" correspond à :
B={[”F”,”F”,”F”]
[”F”,”F”,”P”]
[”F”,”P”,”F”]
[”P”,”F”,”F”]
}
On cherche donc P(B|A) = P(B∩A)
P(A), avec
B∩A={[”F”,”F”,”F”]
[”F”,”F”,”P”]
[”F”,”P”,”F”]
}
On obtient donc P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=3/8 4/8=3 4,
3

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Exercice 2.2 Jet de pièces bizarres
On a trois pièces (non truquées) : la première a deux côtés face, la deuxième a deux côtés pile,
et la troisième est normale. On lance une pièce, choisie au hasard, et elle donne pile. Quelle est
la probabilité que l’autre côté soit face ?
L’expérience aléatoire est ici le choix de la pièce (disons “100
F F ,“200 P P ,“300 P F ). L’événement
“la pièce choisie au hasard donne pile” vaut A={“200
P P ,“300 P F }. L’événement “l’autre côté
donne face” vaut B={”3P F ”}. On a donc P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=1/3 2/3=1 2
Exercice 2.3 Issues équiprobables
Une expérience a N= 10 issues équiprobables. Quelle est la probabilité de chaque issue ? Que
devient cette probabilité si N= 1000, si N= 106? Que ce passe-t-il si N→ ∞?
Clairement si les issues sont équiprobables, P(ω) = 1
Net la probabilité tend vers zéro si
N→ ∞ .
Exercice 2.4 Infinité dénombrable d’issues
Soit une expérience dont les issues possibles sont les nombre {1,2,3, . . .}. A ces issues, on associe
les probabilités :
P(k) = 1
2k, k = 1,2,3,··· .
La somme de ces probabilités vaut-elle 1 ? Peux-t-on avoir une infinité d’issues, toutes ayant
une probabilité non nulle ? Comparez à l’exercice précédent.
Exercice 2.5 Le problème du chevalier de Méré
Lequel de ces deux événements est le plus probable : “Obtenir au moins une fois un six en quatre
lancers de dés”, ou “Obtenir au moins un double six en vingt quatre lancers de deux dés”.
Pour la première expérience, le nombre d’issues élémentaires (la cardinalité de l’univers)
vaut 64(avec chacune une probabilité de 1/64). Le nombre de cas favorables vaut 64−54,
et la probabilité du premier événement vaut donc 64−54
64= 0.5177.
Pour le deuxième cas, le nombre d’issues élémentaires vaut 3624 et le nombre de
cas favorables vaut 3624 −3524 et la probabilité du deuxième événement vaut donc
3624 −3524
3624 = 0.4914.
Les deux événements ont donc environ la même probabilité d’apparition, même s’il vaut
mieux parier sur le premier.
Exercice 2.6 Garçons et filles
On suppose que lorsqu’un couple a un enfant, la probabilité d’avoir un garçon est égale à
p= 0.51. On suppose par ailleurs que les naissances sont mutuellement indépendantes entre
elles.
a. Quelle est la probabilité d’avoir deux garçons quand on a deux enfants ?
b. Quelle est la probabilité d’avoir deux filles quand on a deux enfants ?
c. Quelle est la probabilité d’avoir un garçon et une fille quand on a deux enfants ?
Vous savez qu’un couple a deux enfants :
d. on vous dit que l’aîné est une fille ; quelle est la probabilité que le cadet soit une fille ?
e. on vous dit qu’au moins l’un des enfants est une fille : quelle est la probabilité que les deux
enfants soient des filles ?
f. vous rencontrez cette famille avec un des enfants (l’autre enfant est absent) : c’est une fille.
Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?
Statistique Appliquée 4

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a. Ici, l’univers est
Ω = {[”F”,”F”]
[”F”,”G”]
[”G”,”F”]
[”G”,”G”]}
où [”F”,”G”] signifie “l’ainée est une fille et le cadet est un garçon”. On a donc
P([”G”,”G”]) = P(”G”) .P(”G”) = p.p =p2, par la propriété d’indépendance
b. La probabilité d’avoir deux filles vaut (1 −p)2.
c. La probabilité d’avoir un garçon et une fille quand on a deux enfants vaut P(B)où
B={[”F”,”G”]
[”G”,”F”]}
et donc P(B)=2.p(1 −p)
Vous savez qu’un couple a deux enfants :
d. on vous dit que l’aîné est une fille, la probabilité que le cadet soit une fille vaut
P(C|A) = P(C∩A)
P(A)=(1 −p)2 1−p= 1 −p, avec
C={[”F”,”F”]
[”G”,”F”]}et A={[”F”,”F”] [”F”,”G”]}.
Plus simplement, on aurait pu dire que la probabilité que la cadette soit une fille vaut
1−p.
e. on vous dit qu’au moins l’un des enfants est une fille (événement A), quelle est la pro-
babilité que les deux enfants soient des filles (événement B) ?
A={[”F”,”F”]
[”F”,”G”]
[”G”,”F”]}
.
B={[”F”,”F”]}.
P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=(1 −p)2 1−p2
f. vous rencontrez cette famille avec un des enfants (l’autre enfant est absent) : c’est une
fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?
Attention, ici, l’expérience aléatoire est “vous rencontrez un des enfants”, et donc
l’univers vaut : Ω = {[”F”,”F”]
[”F”,”G”]
[”G”,”F”]
[”G”,”G”]}
Mais [”F”,”G”] signifie “l’enfant que j’ai rencontrée est une fille et l’enfant que je n’ai
pas rencontré est un garçon”.
On a donc A={[”F”,”F”]
[”F”,”G”]}.
B={[”F”,”F”]}.
P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=(1 −p)2 (1 −p)2+p.(1 −p)= 1 −p
Statistique Appliquée 5