ARITHMETIQUE 1- LE POINT SUR LES NOMBRES Voici une représentation de différents types de nombres avec quelques exemples. 5 3 1 3 5 9 4 13 0,003 3,14 593 3 58,2 2 0 -1999 π π 2 4 47 100 −1 3 14 6 -18 3 5 17,8 -190,25 19 7 9 11 1+ 5 2 Nombres décimaux : Ces nombres ont une écriture décimale qui a un nombre fini de chiffres après la virgule. Nombres rationnels : Ces nombres peuvent s’écrire sous forme de fraction (quotient de deux nombres entiers). Ils ont un nombre infini de chiffres après la virgule. Nombres irrationnels : Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels. 2- DIVISEURS ET MULTIPLES a- Diviseurs d’un entier : a et k sont 2 entiers naturels tels que k ≠ 0. S’il existe un nombre entier n tel que ……………………………, alors ………… est un ………………………… de ……… On dit aussi que a est un ……………………… de k ou encore que a est ………………………. par k . 1 Exemples : b- Diviseurs communs à 2 entiers naturels : Si 2 entiers naturels a et b sont …………………………………… par un ………………………………………………………………, on dit que k est un ………………………………………………………………… de a et de b . Exemples : c- Propriétés : • 1 est un diviseur commun de tous les nombres entiers. • Si k est un diviseur commun aux entiers a et b avec a>b, alors k est aussi un diviseur de …………………… et de ………………… . Exemples : 3- PGCD a- Définition : Le …………………………………………………………………………………………………………… de deux nombres entiers a et b, est appelé ……………………………………………. Exemples : Liste des diviseurs de 36 : Liste des diviseurs de 60 : 2 b- Propriétés : Si a est un diviseur de b, alors PGCD(a ;b) = ………… Cas particuliers : pour tout entier naturel a, PGCD(1 ;a) = ………… et PGCD(a ;a) = ……………… Pour a>b, PGCD(a ;b) = …………………………………… Cette propriété permet de trouver le PGCD par soustractions successives. Exemples : c- Nombres entiers premiers entre eux : On dit que 2 nombres entiers sont ………………………………………………………………… lorsque leur PGCD est égal à ……………. Leur seul diviseur commun est donc 1. Exemples : Liste des diviseurs de 12 : Liste des diviseurs de 7 : d- Calculer le PGCD de deux nombres : Dresser la liste des diviseurs méthode par soustractions successives, Méthode de la division (algorithme d’Euclide). Il existe 3 méthodes : (Se reporter à la fiche méthode pour les deux dernières méthodes) 4- FRACTIONS IRREDUCTIBLES. On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son …………………………………… et son …………………………… sont ……………………………………… entre eux. Propriété : en simplifiant la fraction a par PGCD(a ;b), on obtient une fraction irréductible. b Exemples : 3