Université Paris VII - Denis Diderot Th`ese de Doctorat

Universit´ e Paris VII - Denis Diderot
Th` ese de Doctorat - Math´ ematique
Sp´ecialit´e : Logique Math´ematique et Fondements de l’Informatique
Sur Quelques Probl` emes de Plongement dans les
Groupes
Abderezak OULD HOUCINE
Soutenue le 7 Juillet 2003
Directeur :
Gabriel SABBAGH
Rapporteurs :
C.F.MILLER III
J.S.WILSON
Jury :
Zo´e CHATZIDAKIS
Patrick DEHORNOY (Pr´esident)
Mich`ele GIRAUDET
Anatole KHELIF
Fran¸coise POINT
Gabriel SABBAGH

Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier l’Equipe de Logique Math´ematique, plus particuli`erement
Daniel Lascar et Gabriel Sabbagh, pour leur aide dans mes d´emarches administratives au d´ebut
de ma th`ese.
Gabriel Sabbagh, en dirigeant mon m´emoire de D.E.A et ensuite ma th`ese, m’a fait d´ecouvrir
des sujets passionnants en th´eorie des mod`eles et en th´eorie des groupes. Je lui suis reconnaissant
pour ses conseils, son soutien, sa disponibilit´e, qui ont ´et´e tr`es pr´ecieux. Je le remercie pour ses
multiples corrections et critiques qui ont permis `a ce travail de prendre forme. Il m’a laiss´e un
grand champ de libert´e et a fait preuve d’une grande patience envers moi.
J’ai ´et´e tr`es heureux d’apprendre que C.F.Miller III et J.S.Wilson ´etaient les rapporteurs. Je
les remercie d’avoir accept´e cette tˆache et de l’avoir effectu´ee en un si bref d´elai. Je remercie
´egalement Andrew Glass, Martin Ziegler et Pierre de la Harpe pour l’int´erˆet qu’ils ont manifest´e
pour mon travail et pour leurs conseils.
Je remercie les organisateurs du s´eminaire de th´eorie des groupes et ´equivalence ´el´ementaire
de m’avoir invit´e `a exposer les r´esultats de ma th`ese. Je remercie tous les membres du jury, qui
m’ont honor´e en acceptant d’examiner cette th`ese. Je remercie Anatole Khelif pour ses conseils
et sa lecture attentive de mon travail. J’ai ´et´e particuli`erement touch´e de ce que Fran¸coise Point
ait r´eussi `a se lib´erer, en d´epit de nombreuses contraintes, pour participer au jury. J’ai ´et´e tr`es
honor´e que Monsieur Patrick Dehornoy ait accept´e de pr´esider le jury. Je remercie ´egalement Zo´e
Chatzidakis et Mich`ele Giraudet pour avoir bien voulu participer au jury.
Mes remerciements vont aussi `a tous les th´esards et x-th´esards de l’´equipe, plus particuli`erement
`a Alexandre, Malcolm et Thierry pour les nombreuses discussions que j’ai eues avec eux.
Ces remerciements seraient incomplets si j’oubliais Ren´e Cori, un enseignant exemplaire, pour
ses cours de Maˆıtrise et de DEA ; je le remercie d’avoir pu transmettre sa passion et aussi de
m’avoir encourag´e `a faire une th`ese. Merci `a tous les enseignants de D.E.A de Logique, de l’avoir
rendu inoubliable ; J’adresse un remerciement particulier `a Velickovic pour son enseignement sur
la th´eorie de Ramsey.
Je remercie tout le personnel administratif, plus particuli`erement Odile Ainardi, Khadija
Bayoud pour leur accueil chaleureux et Mich`ele Wasse pour son efficacit´e exceptionnelle, son
humanit´e et sa disponibilit´e.
Enfin des pens´ees particuli`eres vont `a toutes les personnes `a l’ext´erieur de l’universit´e, qui m’ont
beaucoup aid´e et sans qui ce travail n’aurait jamais pu voir le jour : je remercie Fran¸cois Regnault,
Dominique Faure et Christine Saby, Sylvie Da Silva et Guillaume Chenu, Philippe Missote, et je
remercie sp´ecialement Aminata Sissoko.

Table des mati`eres
Introduction 7
Notations 9
1 Pr´eliminaires 11
1.1 Omission des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Probl`emes de d´ecidabilit´e dans les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Les groupes existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Les mod`eles ayant P19
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Les th´eories inductives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Les types ayant un nombre d´enombrable de variables . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Quelques conditions suffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Quasi-vari´et´es et mod`eles fortement e.c. 31
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Les mod`eles ayant Pdans les quasi-vari´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Les mod`eles fortement existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Les mod`eles d-fortement existentiellement clos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Les groupes fortement existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Remarques ........................................ 46
4 Les propri´et´es de la classe P(Tgp). 49
4.1 Les groupes de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Satisfaction des th´eories existentielles dans les groupes de pr´esentation finie 50
4.1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Les groupes qui ne sont pas forc´ement de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Les groupes Σ-g´en´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Les groupes ayant P................................... 74
4.3.1 Quelques propri´et´es simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2 Exemples ..................................... 77
4.4 Les groupes ayant Pdans la th´eorie des groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . 78
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