Maths -Sequence-07

Sommaire de la séquence 7
Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.découvre.une.propriété.du.triangle.rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.découvre.la.propriété.réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices.de.synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices.de.synthèse.-fin- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.découvre.le.cosinus.d’un.angle. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.calcule.le.cosinus.d’un.angle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.calcule.des.mesures.d’angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 8
J’effectue.des.exercices.de.synthèse. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices.de.synthèse.-fin-. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que
par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute
reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours
ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits.
©Cned-2009
Objectifs
Ë Savoir.calculer.des.longueurs.de.côtés.d’un.triangle.rectangle
Ë Être.capable.de.démontrer.qu’un.triangle.est.rectangle.à.l’aide.d’une.nouvelle.propriété
Ë .Savoir.déterminer.une.valeur.approchée.de.la.mesure.d’un.angle.aigu.d’un.triangle.rectangle
t
© Cned – Académie en ligne

Cned, Mathématiques 4e –
141
Séquence 7
SEANCE 1
Je découvre une propriété du triangle rectangle
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°7.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE REVISE LES ACQUIS DE LA 5e
1- Dans un triangle ABC, la droite passant par A
et par le milieu de [BC] est une :
 médiatrice.
 bissectrice.
 hauteur.
 médiane.
2- Pour construire le cercle circonscrit à un
triangle, on trace :
 deux médianes du triangle.
 les bissectrices de deux angles du triangle.
 les médiatrices de deux côtés du triangle.
 deux hauteurs du triangle.
3- - Observe la figure ci-dessous.
 Le cercle C 1 est circonscrit au triangle ABC.
 Le cercle C 2 est circonscrit au triangle ABC.
 C 1 est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
 C 2 est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
 Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C 1.
 Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C 2.
4- Observe la figure ci-dessous.
 L’hypoténuse du triangle ABC est [AB].
 L’hypoténuse du triangle CBD est [CD].
 L’hypoténuse du triangle ABC mesure 5 cm.
 L’hypoténuse du triangle ABC mesure 7 cm.
5- Sur la figure ci-dessous, l’angle
ACB
mesure :
 160°.
 70°.
 80°.
 On ne peut pas savoir.
6- Si on a : 0,7
5
x
, alors :
5 0,7
x
0,7
5
x
3,5
x
5
0,7
x
© Cned – Académie en ligne

– Cned, Mathématiques 4e
142
Séquence 7
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SEQUENCE 7 : COSINUS, CERCLE CIRCONSCRIT ».
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton livret. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter
à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les
commentaires du professeur ».
EXERCICE 1
Problème : Où se trouve le point qui est à égale distance des trois sommets A, B et C d’un triangle
ABC rectangle en A ?
1- Essaie de trouver par l’expérience une réponse à ce problème. Pour cela :
 Souviens-toi du nom du seul point qui se trouve à égale distance de trois points A, B et C, puis la
façon de l’obtenir par une construction géométrique.
 Utilise si tu le souhaites les triangles construits ci-dessous pour faire des essais.
 Utilise ensuite, si tu possèdes un ordinateur, le logiciel Geocned :
ouvre la figure sequence7exercice1, essaie de représenter à l’écran le
point qui se trouve à égale distance de A, B et C puis déplace les
points A et B pour faire des constatations.
2- Tu as établi une conjecture dans la question précédente. Quelle est cette conjecture ? Essaie pendant
5 minutes (et pas plus) de la démontrer.
© Cned – Académie en ligne

Cned, Mathématiques 4e –
143
Séquence 7
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
EXERCICE 2
Sur la figure ci-contre :
 ABC est un triangle rectangle en A
 O est le milieu de [BC]
 D est le symétrique du point A par rapport au point O.
1- Montre que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
2- Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ? Quel est son rayon ?
3- Enonce, avec tes mots, la propriété que tu viens de démontrer, en utilisant une structure « Si …
alors … » (il existe plusieurs formulations possibles).
Lis attentivement les deux formulations de la propriété directe et les illustrations ci-dessous puis
recopie-les sur ton cahier de cours. Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les
couleurs.
JE RETIENS
Propriété directe :
Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
Autre formulation :
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale
à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
© Cned – Académie en ligne

– Cned, Mathématiques 4e
144
Séquence 7
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
EXERCICE 3
ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AC = 5 cm ; BC = 8 cm.
I est le milieu du segment [BC].
1-
a) Ecris la propriété qui permet de construire rapidement le cercle circonscrit au triangle ABC :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b) Construis ce cercle.
2-
a)
Ecris la propriété qui permet de déterminer la longueur du segment [AI] :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b)
Calcule la longueur AI en cm :
……………………………………………………………………………………………………………
Mesure AI sur la figure et compare cette mesure avec le résultat de ton calcul.
Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.
JE COMPRENDS LA METHODE
Je démontre que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Je rédige la démonstration de la façon suivante :
Je sais que : ABC est un triangle rectangle en A
O est le milieu de [BC]
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit
à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
J’en déduis que : O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Je démontre que : OA = OB = OC
Je rédige la démonstration de la façon suivante :
Je sais que : ABC est un triangle rectangle en A
O est le milieu de [BC]
Or, si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de
l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
J’en déduis que : OA = OB = OC
© Cned – Académie en ligne