TS spé Exercices sur les nombres premiers

TS spé Exercices sur les nombres premiers
1 Quelques curiosités
1°) Nombres premiers palindromes
Un nombre palindrome est un entier naturel dont l’écriture en base dix peut se lire dans les deux sens (comme
272, 10301, …).
Quels sont les nombres premiers palindromes inférieurs à 200 ?
2°) Nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers impairs consécutifs (comme 11 et 13 ou 17 et
19). Il s’agit de deux nombres premiers qui ont un écart de 2.
Quelles sont les paires de nombres premiers jumeaux inférieurs à 200 ?
Information :
 Les Français Lifchitz et Gallot ont démontré en 1998 que les nombres suivants forment des paires de
nombres premiers jumeaux :
a) 3 356
40 883 037 2 1
et 3 356
40 883 037 2 1
;
b) 3 356
361 700 055 2 1
et 3 356
361 700 055 2 1
.
 Le 25 décembre 2011, on a trouvé deux nombres jumeaux qui constituent le record actuel :
666 669
3 756 801 695 685 2 1
et 666 669
3 756 801 695 685 2 1
.
3°) Nombres premiers circulaires
Un tel nombre est tel que, si l’on fait tourner ses chiffres, on obtient d’autres nombres premiers (exemple : 197,
719 et 971 sont premiers). Entre 2 et 200, il existe 12 nombres premiers circulaires.
Lesquels ?
Par convention, les nombres premiers qui s’écrivent avec un seul chiffre en base 10 sont circulaires.
2 Nombres de Mersenne
On nomme ainsi les entiers de la forme
2 1
n
(n entier naturel) en l’honneur du père Marin Mersenne, qui les
étudia en 1644.
1°) Vérifier que ces nombres sont premiers pour
2, 3, 5, 7,13
n.
2°) Étudier le cas
11
n
.
3 1°) Soit p un entier naturel strictement supérieur à 3.
Démontrer que si p est premier, alors p est de la forme
3 1
k
ou
3 –1
k
avec
*
k
.
2°) La réciproque est-elle vraie ?
4 Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.
Démontrer que si
8 1
p
est premier, alors
8 1
p
n’est pas premier.
Indication : raisonner en congruence modulo 3.
5 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On pose 2
2 3
a n n
.
Existe-t-il des valeurs de n telles que a soit un nombre premier ? Si oui, donner toutes les valeurs possibles de
n.
6 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On pose 2
3 2
a n n .
Existe-t-il des valeurs de n telles que a soit un nombre premier ? Si oui, donner toutes les valeurs possibles de
n.
7 1°) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3.
Déterminer le(s) couple(s)
;
x y
d’entiers naturels tels que 2 2
x y p
.
2°) Application : Déterminer les couples
;
x y
d’entiers naturels tels que 2 2
173
x y  .
8 Décomposer en produit de facteurs premiers chacun des nombres suivants :
A 8820
;
B 73205
;
C 24 14
;
D 48 17
.
9 En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, déterminer le PGCD et le PPCM de 1400 et
10780.
10 1°) Démontrer que 324 est un carré parfait en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
2°) Démontrer que 216 est un cube parfait en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
3°) Quel est le plus petit entier naturel non nul :
a) qui, multiplié par 2000, donne un carré parfait ?
b) qui, multiplié par 2100, donne un cube parfait ?
11 Nombres premiers d’Euler
Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa
vie en Russie et en Allemagne.
Pour tout entier naturel n, on pose
2
41
P n n n .
1°) Vérifier que pour tous les entiers n de 0 à 39,
P n
est un nombre premier.
2°) Justifier que le nombre
40
P n’est pas premier.
12 Écrire chacun des nombres suivants sous la forme ba où a et b sont des entiers naturels, b le plus petit
possible, en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.
A 24200
B 66150
13 En utilisant la décomposition en facteurs premiers, déterminer l’écriture irréductible de chacune des
fractions suivantes :
84
A
150
 ;
2214
B
2829
 ;
15 25
C
50 22
;
2
4
10
D
25
 ;
2 3
2
8 15
E12 5 .

14 En utilisant la décomposition en facteurs premiers et un arbre de possibilités, déterminer la liste des
diviseurs positifs de 84.
15 1°) Décomposer 60 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de diviseurs positifs de 60.
2°) Même question avec 90.
16 Conjecture de Goldbach
« Tout nombre entier pair autre que 2 peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. »
Cette conjecture, formulée au XVIIIe siècle, n’a pas encore été démontrée.
Christian Goldbach (18 mars 1690 à Königsberg, Prusse - 20 novembre 1764 à Moscou) est un
mathématicien allemand surtout connu pour cette conjecture.
Écrire chacun des nombres 8, 18, 24 comme somme de deux nombres premiers.
17 1°) Le but de cette question est de caractériser les entiers naturels qui admettent exactement qui admettent
exactement 15 diviseurs positifs.
Soir n un entier naturel qui admet exactement 15 diviseurs positifs.
a) Justifier que
2
n
.
Dans la suite, on note r le nombre de diviseurs premiers de n. On note également
1
p
,
2
p
, …,
r
p
les diviseurs
premiers de n.
Ainsi n peut s’écrire sous la forme 1 2
1 2 ...
r
r
n p p p
    où
1
,
2
, …
r
désignent des entiers naturels
supérieurs ou égaux à 1.
b) À l’aide de la formule donnant le nombre de diviseurs positifs d’un entier naturel,
 démontrer que
2
r
(autrement dit
1 2
1 2
n p p
  ) ;
 déterminer les valeurs possibles de
1
et
2
.
c) Faire une conclusion claire sur le modèle suivant à recopier et compléter : « Les entiers naturels qui
admettent exactement 15 diviseurs positifs sont les entiers de la forme…. ».
2°) À l’aide du résultat de la question 1°), déterminer le plus petit entier naturel qui admet exactement 15
diviseurs positifs.
18 Soit n un entier relatif quelconque.
On pose : 5
a n n
.
Le but de l’exercice est de démontrer que a est divisible par 30.
On pourrait raisonner en effectuant un tableau de congruences modulo 30 mais ce serait fastidieux car il y aurait
30 cas à envisager pour n et beaucoup de calculs (n congru à 0 modulo 30, n congru à 1 modulo 30, … n congru
à 29 modulo 30).
La méthode proposée ici est beaucoup plus courte (surtout plus économe en calculs).
1°) Démontrer que a est divisible par 3
n n
.
2°) Démontrer que a est divisible par 30.
Indications :
 Démontrer successivement que a est divisible par 2, 3 et 5.
 Utiliser le corollaire du petit théorème de Fermat.
19 Démontrer que pour tout entier relatif n, le nombre 7
n n
est divisible par 42.
20 Représentation des diviseurs positifs d’un entier naturel dans l’espace
1°) Dans cette question, on s’intéresse au nombre 60. On a : 2
60 2 3 5
.
Comprendre et reproduire la figure suivante où l’on a représenté les diviseurs positifs du nombre 60 à l’aide de
leur décomposition en facteurs premiers.
1 2 4
36 12
5 10 20
15 30 60
Indications :
On se réfèrera aux repères de l’espace.
Chaque flèche vers la droite représente une multiplication par 2.
Chaque flèche vers la droite représente une multiplication par 3.
Chaque flèche vers la droite représente une multiplication par 5.
2°) Représenter de la même façon l’ensemble des diviseurs positifs de 1800.
21 Démontrer que tout nombre premier p strictement supérieur à 3 est de la forme
6 –1
k
ou
6 1
k
avec
k
.
22 1°) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour tout entier naturel k tel que 1
k n
, on pose
!
k
u n k
et on note
k
c
le produit de tous les entiers
naturels compris entre 1 et n (1 et n étant compris) sauf k. On peut écrire
1
k
i n
i k
c i
.
Démontrer que pour tout entier naturel k tel que 1
k n
,
k
u
peut s’écrire comme produit de k par un autre
entier naturel que l’on précisera à l’aide de
k
c
.
En déduire que
2
u
,
3
u
, …,
n
u
ne sont pas premiers.
2°) Application concrète :
En utilisant le résultat de la question 1°), donner un exemple de dix entiers naturels consécutifs non premiers.
23 Les nombres entiers dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ?
Pour tout entier naturel
2
p
, on pose
N 1...1
p où le chiffre 1 apparaît p fois.
On rappelle dès lors que
1 2 0
N 10 10 +... 10
p p
p 
   .
1°) Les nombres 2
N 11
, 3
N 111
, 4
N 1111
 sont-ils premiers ?
2°) Démontrer que
10 1
p
est divisible par 9.
3°) On se propose de démontrer que si p n’est pas premier alors
N
p
n’est pas premier.
On suppose que p n’est pas premier et on pose
p kq
, où
*
q
et
*
k .
En déduire que
N
p
est divisible par
N
k
.
4°) Énoncer une condition nécessaire pour que
N
p
soit premier.
Cette condition est-elle suffisante ?

26 1°) Les nombres premiers de Sophie Germain
Soit p un nombre premier. Si
2 1
p
est un nombre premier, alors on dit que p est un nombre premier de Sophie
Germain.
Par exemple, le nombre 5 est un nombre de Sophie Germain car 5 est premier et
2 5 1 11
est aussi premier.
Déterminer les nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à 50.
Marie-Sophie Germain (1776-1831) fut une des premières femmes mathématiciennes françaises reconnues.
Cette autodidacte fut reconnue pour ses travaux sur le dernier théorème de Fermat que vérifient les nombres
qui portent désormais son nom.
2°) On appelle chaîne de Cunningham de première espèce une suite finie
1 2
, ,...,
r
p p p
de nombres premiers
vérifiant la relation 1
2 1
i i
p p .
On notera qu’une chaîne de Cunningham de première espèce est constituée uniquement de nombres premiers.
Par exemple,
2,5,11, 23,47
est une chaîne de Cunningham de première espèce.
À l’aide de la question 1°), déterminer une autre chaîne de Cunningham de première espèce.
25 Crible de Matiyasevich
Yuri Matiyasevich est aujourd’hui directeur du laboratoire de logique mathématique de l’Institut mathématique
de Saint-Pétersbourg.
On se propose de découvrir dans cet exercice la multiplication de Yuri Matiyasevich et d’observer la nature des
nombres qu’il met en évidence dans son crible géométrique.
1°) Conjectures
a) À l’aide du logiciel Geogebra, tracer la représentation graphique de la fonction « carré ».
Créer un curseur m de 2 à 20 avec pour incrément 1.
Dans la zone de saisie, taper Séquence[(i,i²),i,2,m] et Séquence[(–i, i²),i,2,m] pour obtenir les points à
coordonnées entières de la parabole.
b) Pour relier deux à deux les points des Liste 1 et Liste 2, taper :
Séquence[Séquence[Segment[(i,i²),(-j,j²)],i,2,m],j,2,m]. Déplacer le curseur m.
c) Conjecturer l’ordonnée du point d'intersection du segment reliant les points de coordonnées (i,i²) et (-j,j²)
avec l’axe des ordonnées.
d) Par certains points de coordonnées
0;
k
, avec
k
, ne passe aucun de ces segments. Conjecturer une
propriété de ces nombres k.
2°) Quelques justifications
On se place dans un repère
O, ,
i j
du plan. Sur la parabole C d’équation
2
y x
, on considère les points M et
N d’abscisses respectives les nombres entiers m et – n (avec
2
m
,
2
n
).
a) Déterminer une équation de la droite (MN).
b) En déduire les coordonnées du point d’intersection K de la droite (MN) et de l’axe des ordonnées.
Le crible de Matyassevitch permet de multiplier des nombres de manière géométrique (sans faire de calcul).

Corrigé
1 Quelques curiosités autour des nombres premiers
1°) Nombres premiers palindromes inférieurs à 200
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 101 ; 131 ; 151 ; 181 ; 191
2°) Nombres premiers jumeaux inférieurs à 200
Les paires de nombres premiers jumeaux inférieurs à 200 sont :
(3 ; 5), (5 ; 7), (11 ; 13), (17 ; 19), (29 ; 31), (41 ; 43), (59 ; 61), (71 ; 73), (101 ; 103), (107 ; 109), (137 ; 139),
(149 ; 151) ; (179 ; 181), (191 ; 193), (197 ; 199).
3°) Nombres premiers circulaires inférieurs à 200
On enlève déjà dans la recherche tous les nombres qui contiennent au moins un chiffre pair dans leur écriture
décimale.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 31 ; 37 ; 71 ; 73 ; 79 ; 97 ; 113 ; 131 ; 197 ; 199
Tiré de l’article de Jean-Paul Delahaye « Les chasseurs de nombres premiers » :
Les seuls nombres premiers circulaires connus sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193,
3779, 11939, 19937, 193939, 199933, 11...1 (19 fois le "1"), 11...1 (23 fois le "1") 11...1 (317 fois le "1")
11...1 (1 031 fois le "1").
On pourrait faire un programme permettant de déterminer les nombres premiers circulaires inférieurs ou égaux
à 1000 (cf. document « Marche aléatoire, tri par insertion, et nombres premiers circulaires »).
2 Nombres de Mersenne (tous les entiers de la forme
2 1
n
avec n entier naturel)
1°) Vérifions que ces nombres sont premiers pour n  {2, 3, 5, 7, 13}.
2
2 1 3
3
2 1 7
5
2 1 31
7
2 1 127
13
2 1 8191
Tous ces nombres sont premiers
2°) Étudions le cas n = 11.
11
2 1 2047
2047 est divisible par 23 (
2047 23 89
) donc ce nombre n’est pas premier.
11 est la plus petite valeur de n telle que n soit premier et
2 1
n
ne soit pas premier.
Direct Matin du mardi 26-1-2016 :
Le nouveau plus grand nombre premier est long de 22 338 618 chiffres. Il bat le précédent de 5 millions de
chiffres. Les nombres premiers sont divisibles seulement par 1 et eux-mêmes, comme 2, 3, 5, 7, 11, 13... Selon
The New Scientist, le petit nouveau ( 74 207 281
2 1
) a été découvert par Curtis Cooper de l’université Central
Missouri à Warrensburg, membre du Great Internet Mersenne Prime Search, un projet de calcul partagé. Cette
quête incessante des mathématiciens pour les plus grands nombres premiers possible permet de tester le
matériel informatique, comme des microprocesseurs, et d’apprendre beaucoup de choses sur la distribution des
nombres premiers.
3
1°) p  , p premier,
3
p
Démontrons que p est de la forme
3 1
k
ou
3 1
k
avec
*
k .
Tout nombre entier est congru à 0, 1 ou 2 modulo 3.
 1er cas :
0
p
[3] impossible (sinon 3 diviserait p et p est premier)
 2e cas :
1
p
[3]
Dans ce cas, p peut s’écrire sous la forme
3 1
k
avec
*
k
.
 3e cas :
2
p [3]
Or 2 est congru à – 1 modulo 3 donc
1
p
[3].
Dans ce cas, p peut s’écrire sous la forme
3 –1
k
avec
*
k
.
2°) La réciproque est-elle vraie ?
La réciproque est fausse.
4 est de la forme
3 1
k
mais n’est pas premier (on peut aussi prendre 10).
8 est de la forme
3 –1
k
mais n’est pas premier.
4
p nombre premier,
3
p
Démontrons que si
8 –1
p
est premier, alors
8 1
p
n’est pas premier.
Raisonnons en congruence modulo 3.
D’après l’exercice précédent, p est congru soit à 1 soit à 2 modulo 3.
1er cas :
1
p
[3]

On a alors
8 2
p
[3]
D’où
8 1 1
p
[3] et
8 1 0
p
[3].
Donc
8 1
p
n’est pas premier.
2e cas :
2
p
[3]
On a alors
8 1
p
[3]
Donc
8 1 0
p
[3] et
8 1 2
p
[3]
D’après l’étude, si
8 –1
p
est premier, alors
1
p
[3] et nous avons vu que dans ce cas,
8 1
p
n’est pas
premier.
Donc si
8 –1
p
est premier, alors
8 1
p
n’est pas premier.
0
p
[3] n’est pas à envisager car
5
p
donc p n’est pas divisible par 3.
Méthode de Thomas Mordant :
On utilise un tableau de congruences.
p 0 1 2
8p 0 2 1
8 –1
p
– 1
1 0
8 1
p
1 0 2
5
3
n
2
2 3
a n n
Déterminons s’il existe des valeurs de n telles que a soit un nombre premier.
Le polynôme
2
2 3
P x x x
(trinôme du second degré en x) s’annule en – 1 et en 3.
Donc
x
1 –3
P x x x  .
On en déduit que
1 – 3
a n n  .
Si
5
n ,
–3 2
n et
1 6
n donc a est le produit de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
Il reste deux cas à examiner :
Si n = 3, alors
0
a
et a est n’est pas premier.
Si n = 4, alors
5
a
et a est premier.
Conclusion : a est premier si et seulement si
4
n
.
Le 13-1-2016
Charlotte Delamarre : Pourquoi commencer par
5
n ?
Car pour
3
n
et
4
n
0
a
ou
5
a
et que pour des nombres supérieurs, on n’a aucun des facteurs égal
à 0 ou 1. On peut donc regrouper les nombres supérieurs ou égaux à 5 dans un même cas.
Le 14-1-2016
3 1
a n n
On sait que
3
n
. On a alors
3 0
n
et
1 4
n
.
Il est intéressant de chercher pour quelles valeurs de n on a
3 1
n
et
1 1
n
.
On obtient
4
n
et
0
n
c’est-à-dire
5
n
.
Le 17-1-2016
Plusieurs élèves m’ont dit qu’ils ne savaient pas comment démarrer.
On peut conjecturer en programmant les valeurs de a en fonction de n dans la calculatrice ;
Pour démontrer la conjecture, il faut penser à factoriser l’expression.
5
n
,
3
n
2
3 2
a n n
Le 13-1-2016
Geoffroy Lenoir
« Testons plusieurs valeurs de n. »
Déterminons s’il existe des valeurs de n telles que a soit un nombre premier.
1ère méthode :
Le polynôme
2
3 2
P x x x (trinôme du second degré en x) s’annule en – 1 et en – 2.
Donc
x
1 2
P x x x
.
On a donc :
1 2
a n n .
Or on sait que
3
n
donc
1 4
n
et
2 5
n
.