I. Lois de probabilité à densité 1. Variable aléatoire à densité Dans

Chapitre XI : Lois continues
Extrait du programme :
I.
Lois de probabilité à densité
1. Variable aléatoire à densité
Dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre, du
moins théoriquement, toute valeur d’un intervalle I de .
Ces variables aléatoires sont dites continues.
Exemple : On veut définir la variable aléatoire X qui, a tout téléviseur, associe sa
durée de bon fonctionnement exprimée en heures.
Cette durée peut prendre toute valeur de l’intervalle I = [0 ; 50000]. On va alors
chercher à calculer des probabilités de la forme P X    ou P X   .
Pour cela, on utilise une fonction f définie sur I, donc cf est la courbe représentative
dans un repère orthogonal : la probabilité Pa  X b est définie comme l’aire
(exprimée en unités d’aire) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe
cf et les droites d’équations xa et xb.
Définitions :
On appelle fonction de densité de probabilité sur l’intervalle I, toute fonction f définie, continue et
positive sur I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1.
Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est définie par la donnée d’une fonction de
densité de probabilité f définie sur I. La probabilité pour que X appartienne à un intervalle [a ;b] de I
est égale à l’aire sous la courbe de f sur [a ;b].
Pa  X  b  
 ftdt
b
a
On en déduit que le domaine compris entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses a pour
aire P(XI) c’est-à-dire 1.
Propriétés : Pour tous réels a et b appartenant à l’intervalle I :
(1) PXa)  
 ftdt=0
a
a
(2) Pa  X  b  P a  X  b  Pa  X  b P a  X b
2. Espérance mathématique
Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction densité f sur l’intervalle [a ;b], alors
l’espérance mathématique de X est le réel défini par :
EX = 
 tftdt
b
a
Point méthode 61 : Utiliser une loi à densité
La production quotidienne X d’un produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui
prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ;10] avec la densité de probabilité f définie par :
fx  ,x  x 
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité sur [0 ;10]
2. a. Calculer les probabilités des événements A : « X 7 » et B : « la production quotidienne
dépasse 6 tonnes ».
b. Calculer PB(A) à 0,001 près.

Solution :
1. pour vérifier si une fonction est une densité de proba sur un intervalle, il faut vérifier :
- Que f est bien continue et positive sur I
- Que l’intégrale de f sur [0 ;10] vaut bien 1
f est une fonction polynôme du second degré, donc f est continue sur [0 ;10].
Pour tout réel x, fx  ,x  x   ,x  x  ,x  ,x
Donc les racines de f sont 0 et 10.
Par conséquent, f est positive entre les racines (car a=  0,006 négatif), soit f positive sur [0 ;10].


De plus,
10
  ,xx²dx = 0,006   xx²dx = 0,006 [5𝑥² − 𝑥 ] = 0,006  0 =1
3 0





3

f est donc continue, positive sur [0 ;10] et  ftdt = 1 c’est donc bien une fonction densité.

2. a. P(A)= P (X 7) =  fxdx = F(7 F(0)=0,006  –  = 0,784

 



P(B)= P (X > 6) = 1 P(X  6) = 1  fxdx = 1 (FF)

= 10,006 ( ) = 0,352

b. PB(A) = PBA = PX et X  = P X   =   fxdx = , – ,  0,386

PB
PB
PX 
, 
,
II.
Loi uniforme sur [a ;b]
1. Définition et propriétés
Définition : a et b désignent deux nombres réels distincts.
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ;b] signifie que la densité de
probabilité de la loi X est une fonction constante sur [a ;b].
Propriété : la densité de probabilité de la loi uniforme sur [a ;b] est la fonction f définie sur [a ;b] par :
fx  
ba
Démonstration : On sait que l’aire sous la courbe entre a et b soit être égale à 1
donc : si fx  k on a :
kb  a   donc k  
ba
CQFD
Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ;b].
Pour tout intervalle [c ;d] inclus dans [a ;b] on a : P(c  X  d ) = d  c
ba
 dx =   d dx =  [x]d = dc
c
ba c
ba
ba
c ba

Démonstration : P(c  X  d) = 
 fxdx = 
d
c
d
CQFD
Remarques :
 Par convention, choisir un nombre au hasard dans un intervalle [a ;b] c’est le choisir selon la
loi uniforme sur l’intervalle [a ;b].
 En particulier, pour la loi uniforme sur [0 ;1] et pour tous nombres réels c et d de [0 ;1] :
P(c  X d) = dc = dc

Donc la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la longueur de
[c ;d].
2. Espérance
Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ;b].
Son espérance est : EX)= ab

Démonstration : On sait que l’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur [a ;b] est donnée
par : EX = 
 tftdt
b
a
Or ici, X suit une loi uniforme donc fx 

ba
b
b


 (b  a)  b  ab  a  b  a
Ainsi, E(X)=   tdt =   t² =  b  a  
ba a
ba  a b  a
  b  a
b  a

CQFD
Point méthode 62 : Calcule une probabilité avec une loi uniforme
Caroline a dit qu’elle passait voir Julien à un moment quelconque entre 18h30 et 20h45. Quelle est la
probabilité qu’elle arrive pendant le feuilleton préféré de Julien qui dure de 19h à 19h30 ?
Solution : Choisir l’heure d’arrivée de Caroline, c’est choisir un nombre au hasard dans [18,5 ; 20,75].
Par convention, la loi de X est la loi uniforme sur cet intervalle.
X est la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Caroline chez Julien. Elle prend ses valeurs dans
l’intervalle [18,5 ;20,75].
X suit une loi uniforme sur [18,5 ; 20,75] donc :
,
, 
P(19  X  19,5) =
=
=
,, , 
La probabilité que Caroline arrive pendant le feuilleton est de .

III.
Loi exponentielle de paramètre 
Contexte et modèle : La durée de vie d’un appareil (comme un
composant électronique) est une variable aléatoire X prenant ses valeurs
dans [ 0, +[. Si l’on suppose que cette durée de vie ne dépend pas du
temps pendant lequel l’appareil a déjà fonctionné (on dit que la durée
de vie est sans vieillissement).
X suit alors une loi exponentielle.
Définition : Soit  un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre  si sa densité de probabilité est la
  et si t  0
fonction f définie sur [0 ;+[ par : f ( t ) = 
si t < 0

On dit que X~ e()
Propriété :
Si X suit la loi exponentielle de paramètre , alors pour tous réels a et b tels que 0 ≤ a ≤ b :
P ( a ≤ X ≤ b ) = e − a − e − b
En particulier : P ( X ≤ b ) = 1 − e − b
P ( X > a ) = e − a
Démonstration : La fonction x  e
− x
est une primitive de f sur [0 ;+[

a
b
On en déduit que P ( a ≤ X ≤ b ) =   e
− x
− x
dx = [ e
= e − a − e − b
En particulier : P ( X ≤ b ) = P ( 0 ≤ X ≤ b ) = 1 − e
Et donc : P ( X > a ) = 1 − P ( X ≤ a ) = e − a
]ab = e
− b
−(e
− a
)
− b
CQFD
Définition : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X suivant une loi de paramètre  est

définie par : E ( X ) = lim  xf ( x ) dx avec f ( x ) =  e
b  + 
0
b
− x
.
Propriété :
E(X)=
1

Démonstration : (BAC)
Soit g la fonction définie sur [0 ;+[ par : g ( x ) = xf ( x ) = x e − x
On cherche une primitive G de g de la forme G ( x ) = ( Ax + B ) e − x avec A et B réels.
Pour tout nombre réel positif x : G’ ( x ) = A e − x + ( Ax + B ) ( −  e − x )
= ( −  Ax + A −  B ) e − x
G est une primitive de g sur [0 ;+[ si et seulement si G’ ( x ) = g ( x ) pour tout réel positif x, c’est-àdire : ( −  Ax + A −  B ) e − x = x e − x
Pour que cette égalité soit vrai, on doit donc avoir :
 A = − 1
−A=
1

 B = − 1 d’où G ( x ) =  − x −  e − x .
A −  B = 0






Alors pour tout réel positif b :  xf ( x ) dx = G ( b ) − G ( 0 )
0
b
=−b−

1
e

− b
+
1

1
( −  be − b − e − b + 1 )

=0
donc lim −  be − b = 0
=
b
lim
−b =−
 +
b
lim
−b =−
 +
D’où
b
lim
(−be
 +
et
et
− b
X
X
lim
Xe X
 −
lim
e
 −
−e
− b
X
=0
b
 +
donc lim
b
 +
e
− b
=0
+1) =1

lim  xf ( x ) dx = 1, soit E ( X ) = 1
b  + 


0
b
Et ainsi,
CQFD
Point-méthode 63 : Utiliser une loi exponentielle
La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une station, de sports
d’hiver est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre  = 0,05.
1. Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente au départ de cette remontée mécanique.
2. Calculer, à 10-2 près, la probabilité d’attendre au départ de cette remontée mécanique :
a. Moins de 30 minutes.
b. Entre 10 et 30 minutes.
3. Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d’attente est d’au
moins 10 minutes. Calculer à 10-2 près la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
Solution :
1. Le temps moyen d’attente en minutes est E ( T ) =
1
1
=
soit 20 minutes.
 0,05
2. a. On utilise : P ( X ≤ b ) = 1 − e − b
P ( T < 30 ) = 1 − e − 0,05 × 30 = 1 − e 1,5  0,78
b. On utilise : P ( a ≤ X ≤ b ) = e
P ( 10 < X < 30 ) = e − 10 × 0,05 − e
− a
−e
− 30 × 0,05
− b
=e
− 0,5
−e
− 1,5
 0,38
3. C’est une probabilité conditionnelle et l’intersection de l’événement « T > a » et « T < b » est
l’événement « a < T < b »
P ( 10 ≤ T < 30 ) e − 10 × 0,05 − e − 30 × 0,05
PT≥10 (T < 30) =
=
= 1 − e − 20 × 0,05 = 1 − e  0,63
e − 10 × 0,05
P ( T ≥10 )
Point-méthode 64 : Calculer le paramètre d’une loi exponentielle
La variable aléatoire X égale à la durée de vie d’un atome radioactif d’iode 131 avant désintégration
suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à deux jours
est égale à 0,160 à 10-3 près.
1. Calculer, à 10-3 près, le paramètre  de cette loi exponentielle.
2. La demi-vie d’une substance radioactive est le temps t au bout duquel la moitié des atomes
initiaux sont désintégrés. Calculer, à 0,1 près, la demi-vie de l’iode 131.
Solution :
1. Pour calculer le paramètre d’une loi exponentielle, il faut résoudre un équation.
On sait que P ( X < 2 ) = 0,160
Or P ( X < 2 ) = 1 − e − 2
Donc 1 − e − 2 = 0,160
e − 2 = 0,840
− 2 = ln ( 0,840 )
− ln ( 0840 )
=
 0,087
2
2. D’après la définition de la demi vie, on cherche t tel que P ( X < t ) = 0,5
Soit 1 − e − 0,087t = 0,5
e − 0,087t = 0,5
− 0,087t = − ln 2
ln 2
t=
8
0,087
La demi-vie est de 8 jours environ.
Propriété : Durée de vie sans vieillissement
Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tout réels positifs t et h :
PT ≥ t(T≥ t + h) = P ( T ≥h )
Démonstration : Soit A l’événement « T ≥ t + h » et B l’événement « T ≥ t ». AB donc A∩B = A.
Ainsi, PB ( A ) =
P ( A∩B )
P(A)
=
P(B)
P(B)
=
P ( T≥ t + h ) e −  ( t + h ) e
=
=
e − t
P ( T≥ t )
− t
×e
e
− t
− h
=e
− h
= P ( T≥h )
CQFD
Remarque : Cela signifie que si T est la variable aléatoire donnant le durée de vie d’un élément
(appareil, noyau d’atome…), telle que T suit une loi exponentielle, alors sachant que cet « élément » a
déjà une durée de vie de t année, sa probabilité de fonctionner encore h année ne dépend pas de t.
Point-méthode 65 : Utiliser la durée de vie sans vieillissement.
La durée de vie (exprimée en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est une variable
aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre = 0,002.
Calculer, à 10 − 3 près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type :
a. N’ait pas de défaillance avant 100h
b. Fonctionne encore au bout de 600h sachant qu’elle fonctionnait encore au bout de
500h.
Solution :
a. P(T ≥ 100) = e − 0,002 × 100 = e − 0,2  0,819
b. Avec la loi exponentielle, lorsqu’on calcule une probabilité conditionnelle, il faut penser à
utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement. Le calcul normal fonctionne aussi (cf
PM63 mais est souvent plus long.
PT ≥ 500(T ≥ 600) = PT ≥ 500(T ≥ 500 + 100 ) = P(T ≥ 100) 0,819