Suivi de véhicule par modes glissants pour l`automatisation basse

Suivi de v´ehicule par modes glissants pour
l’automatisation basse vitesse des v´ehicules
Ahmed Cha¨ıbet1, Sa¨ıd Mammar1, 2, Lydie Nouveli`ere1, Mariana Netto2
1Universit´e d’´
Evry val d’Essonne, France.
LSC/CNRS-FRE 2494, 40 rue du Pelvoux CE1455, 91025, Evry, Cedex
2INRETS/LCPC - LIVIC
Laboratoire sur les Interactions v´ehicule-Infrastructure-Conducteur
14, route de la Mini`ere, Bˆat 824, 78000 Versailles, France.
{mammar, chaibet, nouveli`ere}@iup.univ-evry.fr , net[email protected]
R´esum´e—Cet article propose et ´evalue des lois de commande pour le
mode lat´eral d’un v´ehicule routier en automatisation `a basse vitesse
dans une situation de congestion en trafic p´eri-urbain. Sur la base
de mod`eles simples des modes longitudinal et lat´eral du v´ehicule nous
pr´esentons une solution au cas de suivi de v´ehicule par le biais de
commandes par modes glissants d’odre 1 et 2. Les performances des
lois de contrˆole sont finalement mises en ´evidence par quelques ´etudes
en simulations dans diff´erentes situations.
Mots-cl´es— Dynamique Lat´erale, Suivi de v´ehicule, Com-
mande par modes glissants, Reticence, Twisting Algorithm.
I. Introduction
L’intense urbanisation de ces 40 derni`eres ann´ees a
conduit `a une large extension p´eriph´erique des anciennes
m´etropoles europ´eennes mais aussi au d´eveloppement de
zones d’activit´es et de zones d’habitations de plus en plus
distantes. Ceci a engendr´e simultan´ement l’accroissement
des d´eplacements interurbains et des distances parcourues.
Les moyennes actuelles se situent aux alentours de 40 km et
1 heure par trajet [1]. Malgr´e les mesures prises pour limiter
les d´eplacements, notamment `a l’int´erieur des villes, la voi-
ture demeure le moyen de transport le mieux adapt´e. Les
zones p´eri-urbaines peu denses sont en effet peu propices `a
la desserte par des transports collectifs lourds. Une autre
id´ee pour mieux g´erer les congestions r´ecurrentes serait de
permettre une automatisation `a basse vitesse des v´ehicules.
On apporte par ce biais au conducteur une assistance ac-
tive qui permettra de supprimer les ph´enom`enes dangereux
d’inattention, de relˆacher l’attention inutile du conducteur
et de le d´echarger des tˆaches rep´etitives et ennuyeuses [4].
Le conducteur pourra alors consacrer le temps gagn´e `a la
d´etente ou au travail. Cette automatisation permettra aussi
une meilleure homog´en´eisation du trafic et limitera par l`a
mˆeme l’effet des congestions [2].
Dans cet article, nous nous int´eressons au contrˆole lat´eral
d’un v´ehicule dans le cas du suivi d’un v´ehicule de tˆete. Il
est organis´e comme suit : dans un premier temps, nous don-
nons les ´equations de mod`ele du v´ehicule et les ´equations
de positionnement longitudinal et lat´eral par rapport au
v´ehicule qui pr´ec`ede. Nous synth´etisons alors une premi`ere
commande par modes glissants d’ordre 1 [7]. Les perfor-
mances de la commande, notamment les effets de r´eticence,
sont alors am´elior´ees par le d´eveloppement d’une com-
mande par modes glissants d’ordre 2 [6], [3]. Cette com-
mande est finalement test´ee dans diff´erents sc´enarios per-
mettant de mettre en ´evidence sa robustesse.
II. Mod´ elisation du v´ ehicule
Le mod`ele de v´ehicule consid´er´e est restreint aux mou-
vements de translations longitudinale et lat´erale et au la-
cet. Le mouvement longitudinal est command´e par l’in-
term´ediaire du couple composite Tc, r´ealis´e selon le signe
par un couple moteur ou un couple de freinage. Le contrˆole
du mouvement lat´eral est r´ealis´e par action sur l’angle de
braquage des pneumatiques.
Tccouple composite moteur ou freinage
Trr couple de r´esistance au roulement
δfangle de braquage des roues avant
cf/crcoefficient de raideur du pneu avant/arri`ere
Fyf /F yr
forces lat´erales appliqu´ees sur
les pneumatiques avant/arri`ere
lf/lrdistance du centre de gravit´e `a l’essieu avant/arri`ere
αf/αrangle de d´erive de pneumatique avant/arri`ere
Izmoment d’inertie suivant l’axe vertical
Ief f Inertie effective
mmasse totale du v´ehicule
Cx/Cy
coefficient de p´en´etration dans l’air
longitudinal / lateral
Tableau 1 : Param`etres du v´ehicule
Par la suite, les indices (l, s, r) d´esigneront respective-
ment les grandeurs li´ees au v´ehicule de tˆete, au v´ehicule
suiveur et aux grandeurs relatives.
La route ´etant suppos´ee plane sans pente ni cˆote et sans
d´evers, le mod`ele dynamique simplifi´e du v´ehicule suiveur
est donn´e par les trois ´equations suivantes [5] :
˙vxs=Tc−Trr
Ieff −Cxv2
xs
m+vys˙
ψs
˙vys=Fyf+Fyr−Cyv2
ys
m−vxs˙
ψs
¨
ψs=1
IzlfFyf−lrFyr
La premi`ere ´equation repr´esente la dynamique de transla-
tion longitudinale, la seconde, la dynamique de translation
lat´erale et la derni`ere le mouvement de lacet. Les quan-
tit´es vys˙ ψset vxs˙ ψsrepr´esentent les termes de couplage
des modes. Pour le mode longitudinal, le mod`ele consid`ere
un roulement sans glissement, l’entr´ee de commande est di-
rectement le couple Tc. Les forces lat´erales sur les essieux
avant et arri`ere du v´ehicule sont suppos´ees proportionnelles
aux angles de d´erive des pneumatiques :
Fyf= 2cfαf
Fyr = 2crαr

y
x
Rs
c
Rs
c
dxr
Rl
Ψ
xl
c
Leader
Suiveur
C
C
yl
xsysΨ
dyr
Fig. 1. Positionnement relatif du v´ehicule suiveur par rapport au
v´ehicule de tˆete
Les angles de d´erive des pneumatiques s’´ecrivent en calcu-
lant l’angle du vecteur vitesse au point de contact entre la
roue et la chauss´ee. En faisant l’hypoth`ese d’angles faibles,
ils peuvent ˆetre exprim´es comme suit :
αf=δf−vys+lf˙
ψs
vxs
αr=−vys−lr˙
ψs
vxs
Le mod`ele peut ˆetre mis finalement sous la forme canonique
ci-dessous :
˙vxs=f0
˙vys=f1+g1δf
¨
ψs=f2+g2δf
(1)
avec :
f0=Tc−Trr
Ieff −Cxv2
xs
m+vys˙
ψs
f1=−2cf
m
vys+lf˙ ψs
vxs−2cr m
vys−lr˙ ψs
vxs−Cyv2
ys
m−vxs˙
ψs
g1=2cf
m
f2=−lf
Iz2cf
vys+lf˙ ψs
vxs+lr Iz2crvys−lr˙
ψs
vxs
g2=lr
Iz2cf
(2)
Notons que ces ´equations sont donn´ees dans le rep`ere
propre au v´ehicule suiveur. Le mˆeme type d’´equations
peut ˆetre d´evelopp´e pour le v´ehicule leader ou tout autre
v´ehicule dans le cas d’un peloton de plusieurs v´ehicules.
III. Positionnement absolu et relatif du
v´ ehicule
Le v´ehicule suiveur est initialement localis´e `a l’origine du
rep`ere absolu avec un cap initial ψs(0). Sa position (xs, ys)
et son orientation ψsabsolues au cours du temps sont ob-
tenues en int´egrant les vitesses dans ce mˆeme rep`ere :
ψs=Rt
0˙
ψsdτ +ψs(0)
xs(t) = Rt
0(vxscos ψs−vyssin ψs)dτ
ys(t) = Rt
0(vxssin ψs+vyscos ψs)dτ
En proc´edant de la mˆeme mani`ere avec le v´ehicule suivi,
on obtient le triplet (xl, yl, ψl). L’objectif maintenant est
d’exprimer l’´ecart lat´eral et la distance longitudinale entre
l’avant du v´ehicule suiveur et l’arri`ere du v´ehicule suivi,
comme illustr´e sur la figure 1. Ces grandeurs sont not´ees
respectivement dxr et dyr, elle sont obtenues en exprimant
la position relative du v´ehicule suiveur :
dxr
dyr =R(ψl) xs+lfcos ψs ys+lfsin ψs−xl−lrcos ψl yl−lrsin ψl
o`u R(ψl) est la matrice de rotation d’angle ψl.
La d´erivation de l’´equation pr´ec´edente donne les varia-
tions de dxr et dyr :
˙
dxr =−vxl+dyr ˙ ψl+vxscos ψr+vys+˙ ψslfsin ψr
˙
dyr =−vyl+ (lr−dxr)˙ ψl−vxssin ψr+
(vys+˙ ψslf) cos ψr
A ce stade, il est n´ecessaire de d´eriver une deuxi`eme fois
l’´ecart lat´eral pour faire apparaˆıtre le signal de commande
δf.
¨
dyr =C+Dδf
avec
C=−˙ dxr ˙ ψl−dxr ¨ ψl−( ˙vyl−¨ ψllr)−f0sin ψr−
vys +lf˙
ψs˙ ψrsin ψr+ (f1+f2lf−vxs˙ ψr) cos ψr
D= (g1+g2lf) cos ψr
IV. Commande par modes glissants d’ordre 1
Nous d´eveloppons, au travers de cette section, des com-
mandes par modes glissants d’ordre 1 et 2 permettant
un suivi lat´eral des manoeuvres du v´ehicule de tˆete.
La proc´edure suppose l’existence de moyens de percep-
tion, voire de communication permettant l’obtention des
diff´erentes grandeurs n´ecessaires au calcul de la commande
[11], [12]. La proc´edure adopt´ee doit ˆetre robuste aux va-
riations de l’inter-distances entre les deux v´ehicules. Cette
interdistance est suppos´ee ˆetre contrˆol´ee par ailleurs.
A. Expos´e de la m´ethode
L’objectif de la commande est de minimiser un crit`ere
mixte associant ´ecart lat´eral et erreur de cap σlat =dyr+
λψr. Le coefficient de pond´eration λpermet de prendre
plus ou moins en compte l’erreur en position lat´erale ou
bien l’erreur en angle de cap.
On associe au crit`ere σlat la surface de glissement :
Slat = ˙σlat +a1σlat +a2Zt
0
σlatdτ (3)
Nous devons dans un premier temps d´eterminer la dyna-
mique du glissement en calculant le contrˆole ´equivalent δfeq
obtenu par l’´equation ˙ Slat = 0. Ainsi, par d´erivation de
Slat, nous obtenons :
˙
Slat=¨ dyr+λ¨ ψr+a1˙ dyr+λ˙ ψr+a2(dyr+λψr) (4)
L’utilisation des ´equations du mod`ele, de l’expression dyr
et de ses d´eriv´ees permet d’aboutir `a :
δfeq =
−C+λf2−¨ ψl−a1(˙ dyr+λ˙ ψr)−a2(dyr+λψr)
D+λg2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 2. Manoeuvre de changement de voie : Trajectoires du v´ehicule
de tˆete (*,-.) et du v´ehicule suiveur (o,-)
En consid´erant une loi d’atteinte constante et proportion-
nelle, l’expression finale de la commande prend la forme
suivante :
δf=δfeq −k1sign(Slat)−k2Slat (5)
Comparativement `a la loi d’atteinte constante, celle-ci in-
troduit un degr´e de libert´e suppl´ementaire puisque la dy-
namique du syst`eme est domin´ee par le terme en k2lors-
qu’on est loin de la surface de glissement, elle est par la
suite domin´ee par le terme en k1`a l’approche de la sur-
face. Un choix judicieux de k1et k2permet donc d’obtenir
un temps d’atteinte r´eduit tout en limitant le ph´enom`eme
de r´eticence `a l’approche de la surface.
B. Tests en simulation
Rappelons ici que le suivi de v´ehicule est destin´e `a l’au-
tomatisation basses vitesses. Le suivi lat´eral du v´ehicule
de tˆete doit couvrir l’ensemble du domaine op´eratoire et
de variations de param`etres. Les manoeuvres du v´ehicule
de tˆete peuvent ˆetre tr`es diverses et associent acc´el´eration,
freinage et changement de voie ou ´evitement.
B.1 Changement de voie
Nous consid´erons dans un premier temps que les deux
v´ehicules sont `a la vitesse stabilis´ee de 60km/h, la sec-
tion de route est une ligne droite. Le v´ehicule de tˆete est
sur l’axe de la voie de droite alors que le v´ehicule suiveur
est sur l’axe de la voie adjacente `a une distance de 3m.
La distance longitudinale est quant `a elle ´egale `a 20m. Le
v´ehicule suiveur entame `a t= 0 sec, une manoeuvre de
rabattement vers la voie de droite. Les positions lat´erales
des deux v´ehicules apparaissent sur la figure . L’erreur sta-
tique est tr`es faible, elle est de l’ordre de 2.5cm. La figure 3
montre l’´evolution de la surface de glissement dans le plan
de phase Slat,˙ Slat. On constate que la manoeuvre s’ef-
fectue aussi dans le respect du confort des occupants du
v´ehicule comme en attestent les figures 4 et 5 qui donnent
les trac´es de la vitesse et de l’acc´el´eration lat´erale. Notons
quand mˆeme l’existence d’oscillations hautes fr´equences
d’amplitude r´eduite qui pourraient ˆetre g´enantes pour le
confort.
Le signal de commande est limit´e mais pr´esente lui aussi
des ph´enom`enes de r´eticence comme cela apparaˆıt sur la
figure 6.
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Dérivée de Slat
Slat
Fig. 3. Manoeuvre de changement de voie : Variation de la surface
de glissement Slat en fonction de sa d´eriv´ee ˙ Slat
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Temps (sec)
Vitesse latérale (m/s)
Fig. 4. Manoeuvre de changement de voie : Vitesse lat´erale du
v´ehicule suiveur
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Temps (sec)
Accélération latérale (m/s2)
Fig. 5. Manoeuvre de changement de voie : Acc´el´eration lat´erale du
v´ehicule suiveur
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Temps (sec)
Angle de braquage (deg)
Fig. 6. Manoeuvre de changement de voie : Angle de braquage des
pneumatiques

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
2
4
6
8
10
12
14
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 7. Manoeuvre de changement de direction : Trajectoires du
v´ehicule de tˆete (*,-.) et du v´ehicule suiveur (o,-)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
2
4
6
8
10
12
14
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 8. Manoeuvre combin´ee de changement de voie et de changement
de direction : Trajectoires du v´ehicule de tˆete (*,-.) et du v´ehicule
suiveur (o,-)
B.2 Changement de cap
Les v´ehicules sont initialement sur la mˆeme voie de circu-
lation et espac´es de 20m. Lorsque le v´ehicule de tˆete atteint
la position 60m, il entame un changement de cap qui lui
conf`ere un angle de cap ψl= 0.1rad. On constate sur la
figure 7 que le v´ehicule suiveur r´eagit de mani`ere efficace
et l’erreur de positionnement lat´eral s’annule dans un d´elai
raisonnable. La figure 8 donne un aper¸cu de la combinaison
des deux manoeuvres de changement de voie et de cap. On
constate encore une fois un excellente r´eactivit´e du v´ehicule
suiveur.
V. Am´ elioration par modes glissants d’ordre 2
La m´ethode par modes glissants d’ordre 1 offre d´ej`a de
bonnes propri´et´es. Nous explorons ici l’am´elioration des
propri´et´es de la commande, principalement en ´eliminant
le ph´enom`ene de r´eticence. On utilise pour cela des modes
glissants d’ordre sup´erieur bas´es sur le Twisting Algorithm.
A. Expos´e de la m´ethode
Le Twisting Algorithm est appliqu´e non plus `a l’angle
de braquage δf, mais `a sa d´eriv´ee ˙ δf, ce qui permet, en
int´egrant ˙ δf, de r´ecup´erer une entr´ee de commande δfplus
adoucie. De ce fait, la r´eticence se trouve quasiment in-
0 50 100 150 200 250 300
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 9. Manoeuvre de changement de voie par modes glissants d’ordre
2 : Trajectoires du v´ehicule de tˆete (*, -.) et du v´ehicule suiveur
(o,-)
hib´ee. L’algorithme est le suivant :
˙
δf=
−δfsi |δf|>
δfeq 
−KMsign (Slat)si Slat ˙ Slat>0,|δf| ≤ 
δfeq 
−kmsign (Slat)si Slat ˙ Slat≤0,|δf| ≤ 
δfeq 
(6)
avec KMet kmqui v´erifient les in´egalit´es suivantes :
KM>km>0, km>4CM
s0
(7)
km>C0
cm
, KM>CM
cm
+2C0
cm
et CM,C0,cmet c0sont d´eduites des conditions permettant
l’application de l’algorithme [10].
B. R´esultats de simulation
Les r´esultats de simulation obtenus pour les mˆemes ma-
noeuvres de changement de voie et de changement de cap
que pr´ec´edemment apparaissent sur les figures 9 `a 15. Ils
appellent aux remarques suivantes :
– Les performances dynamiques en termes de suivi de
trajectoire sont quasiment identiques pour l’ensemble
des manoeuvres consid´er´ees.
– Les erreurs en r´egimes statiques sont faibles et tr`es
comparables.
– On constate une nette diminution de l’acc´el´eration
lat´erale mobilis´ee
– Cette acc´el´eration lat´erale ne pr´esente pratiquement
plus d’oscillation. Ceci am´eliore nettement le confort
des manoeuvres puisque le jerk s’en trouve r´eduit.
– Le signal de commande est lui aussi pratiquement
exempt d’oscillation.
Ces r´esultats d´emontrent donc de fa¸con ´evidente
l’am´elioration apport´ee par l’utilisation des modes glissants
d’ordre 2. Nous examinons maintenant la robustesse de la
loi de commande.
VI. Robustesse de la loi de commande
La robustesse de la loi de commande par modes glis-
sants d’ordre 2 est test´ee dans diff´erentes configurations de
variations param´etriques et de changement de conditions
op´eratoires. La trajectoire choisie est constitu´ee d’une por-
tion d’arc de cercle de rayon 200m suivie d’une ligne droite.
Le suivi de trajectoire dans le cas nominal apparaˆıt sur la
figure 16.

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Dérivée de Slat
Slat
Fig. 10. Manoeuvre de changement de voie par modes glissants
d’ordre 2 : Courbe ( ˙ Slat , Slat)
0 5 10 15
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps (sec)
Vitesse latérale (m/s)
Fig. 11. Manoeuvre de changement de voie par modes glissants
d’ordre 2 : Vitesse lat´erale du v´ehicule suiveur
0 5 10 15
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Temps (sec)
Accélération latérale (m/s2)
Fig. 12. Manoeuvre de changement de voie par modes glissants
d’ordre 2 : Acc´el´eration lat´erale du v´ehicule suiveur
0 5 10 15
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Temps (sec)
Angle de braquage (deg)
Fig. 13. Manoeuvre de changement de voie par modes glissants
d’ordre 2 : Angle de braquage des roues avant
0 50 100 150 200 250 300
0
5
10
15
20
25
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 14. Manoeuvre de changement de direction par modes glissants
d’ordre 2 : Trajectoires du v´ehicule de tˆete (*, -.) et du v´ehicule
suiveur (o, -).
0 50 100 150 200 250 300
0
5
10
15
20
25
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 15. Manoeuvre combin´ee de changement de voie et de change-
ment de direction par modes glissants d’ordre 2 : Trajectoires du
v´ehicule de tˆete (*, -.) et du v´ehicule suiveur (o, -)
A. Variation de l’adh´erence
Nous r´eduisons les raideurs de pneumatiques cfet cr
`a 70% de leurs valeurs. Ceci ´equivaut par rapport au cas
nominal `a un coefficient d’adh´erence commune de 0.7 au
lieu de 1. La commande est calcul´ee donc avec l’hypoth`ese
d’une adh´erence nominale, mais le mod`ele de v´ehicule sui-
veur est simul´e avec l’adh´erence r´eduite. Les trajectoires
apparaissent sur la figure 17. Le suivi de v´ehicule est encore
satisfaisant. Une diminution plus grande de l’adh´erence en-
traine une nette d´egradation des r´esultats. Pour couvrir
l’ensemble du domaine de variation de l’adh´erence, il appa-
rait n´ecessaire de disposer d’une estimation mˆeme grossi`ere
0 50 100 150 200 250
−20
0
20
40
60
80
100
120
Position longitudinale (m)
Position latérale (m)
Fig. 16. Suivi de v´ehicule dans le cas nominal par modes glissants
d’ordre 2