FACTORISATION DE NOMBRES ENTIERS POUR LES ÉLÈVES 3
Méthode 4. Encore une variante. . . pour des nombres<1369 = 372
L’idée de base consiste à la fois à utiliser les critères de divisibilités par 2,3,5,7,11 et
les trois égalités suivantes : 13 ·17 = 152−22=221,19 ·23 = 212−22=437 et
29 ·31 = 302−1 = 899.
Prenons N= 857 : d’abord l’on voit que Nne vérifie pas l’un des critères ci-dessus.
Puis, par de simples calculs N= 22·221 + 33donc Nne peut être divisible par 13 ou 17.
De même N= 2 ·437 −17 donc non divisible par 19 et 23.
et enfin, N= 901 −22·11. Donc Nest premier ! En résumé, au maximum, trois petits
calculs permettent de factoriser relativement aisément tout entier <372
Méthode 5. Euler et la somme de deux carrés
En deux mots, elle permet de factoriser un nombre Nsi ce dernier peut s’écrire sous la
forme d’une somme de deux carrés de deux manières différentes. Supposons donc qu’un
nombre impair Npuisse s’écrire sous la forme a2+b2=N=c2+d2avec aet cpairs. On
en déduit deux fractions réductibles que l’on met sous forme réduite
a−c
d−b=d+b
a+c=u
v
D’où les entiers ket ltous deux pairs tels que a−c=ku,d−b=kv,d+b=lu et
a+c=lv. On exprime a,b,cet dpar rapport à k,l,uet v:2a=lv +ku,2b=lu −kv,
2c=lv −ku et 2d=lu +kv que l’on substitue dans
8N=(2a)2+ (2b)2+ (2c)2+ (2d)2= 2(l2v2+k2u2+l2u2+k2v2)
=2(l2(v2+u2) + k2(u2+v2)) = 2(u2+v2)(k2+l2)
D’où u2+v2(qui est plus grand que 8) divise 4N.
Exemples. 1) Dans une lettre datée du 2 août 1641, Frenicle soumet à Fermat le problème
de factoriser 221, sachant que 221 = 142+ 52= 102+ 112. Dans ce cas, l’on a alors :
14−10
11−5=4
6=2
3d’où u2+v2= 22+ 32= 13 qui divise bien 221.
2) Chez Euler [E228], on trouve l’exemple : 1000009 = 10002+ 32= 9722+ 2352que je
vous laisse le soin de factoriser à présent !
Remarque. L’inconvénient de la méthode précédente est que Ndoit être divisible par deux
nombres premiers distincts de la forme 4n+1, pour qu’il puisse s’écrire sous la forme d’une
somme de deux carrés de deux manières différentes.
Méthode 6. Encore Euler et la somme de deux carrés !
Dans E228 Euler démontre que si un entier impair non carré s’écrit de manière unique
sous la forme d’une somme de deux carrés premiers entre eux alors il est premier. Il
s’agit donc d’un critère de ’primalité’ et non une méthode de décomposition en facteurs
premiers.
Exemples. 1009 est premier car 1009 = 312+ 48 = 302+ 109 = 292+ 168 = 282+152=
272+ 280 = 262+ 333 = 252+ 384 = 242+ 433 = 232+ 480 = 222+ 525. Pour passer du
2e terme au 2e suivant dans la liste il suffit d’additionner des nombres impairs consécutifs
(décroissants). Il est évident que ceux qui se terminent par 2 ;3 ;7 ou 8 ne peuvent être
des carrés. De même un carré ne peut se terminer par un seul 0.
C. Aebi, Collège Calvin, CH-1211