TD 5 - Free

IUT RT La Rochelle 2009-2010
Statistiques - Probabilités 2ère année
TD n°6 : Approximations de lois
Exercice 1 :
Un électricien effectue un contrôle de toutes les piles qu'il vend.
Il constate que, sur un modèle, deux piles sur cent en moyenne sont mauvaises.
1°) Déterminer la loi de la variable aléatoire X : "nombre de piles mauvaises sur une commande de 300"
2°) Calculer la probabilité pour que sur une commande de 300 piles, il y en ait 5 mauvaises.
3°) Montrer que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson dont vous préciserez le paramètre.
4°) Recalculer avec cette approximation la probabilité pour que sur 300 piles, il y en ait 5 mauvaises.
Exercice 2 :
Une entreprise de transports possède 80 camions.
Chaque camion a une probabilité constante p d'être hors service dans une journée.
L'entreprise estime que, pour appliquer son planning, elle ne doit pas avoir plus de 3 camions hors service.
1°) Déterminer la loi de la variable aléatoire X :"nombre de camions hors service dans une journée".
Supposons que l'on puisse approcher cette loi par une loi de Poisson de paramètre m.
2°) Montrer que dans ce cas, la probabilité de n'avoir pas plus de trois camions hors service est supérieure à
0,95 lorsque l’on a m < 1, 366.
3°) En déduire la valeur maximale que peut atteindre p.
4°) Justifier a posteriori l'emploi de cette loi de Poisson.
Exercice 3 :
Une étude statistique a permis d'estimer que la probabilité pour qu'une personne choisie au hasard dans la
clientèle d'un supermarché effectue un achat au rayon crémerie est de 0,45.
Un observation est faite sur 100 clients effectuant leurs achats de façon indépendante.
On désigne par X la v.a. comptant le nombre de personnes effectuant un achat au rayon crémerie.
1°) Déterminer la loi de X.
2°) Calculer E(X) et s(X).
3°) Montrer qu'on peut approcher la loi de X par une loi normale, dont les paramètres sont à définir.
4°) En déduire P( 30 ≤ X ≤ 60) (qu'on estimera avec la loi normale par P( 29,5 ≤X ≤ 60,5 ) )
et P( X ≥ 50) (qu'on estimera avec la loi normale par P( X ≥ 49,5) )
Exercice 4 :
Une agence de ventes propose aux personnes intéressées, de leur fournir une documentation complète sur le
produit qui les intéresse. En moyenne une personne sur 10 passe une commande.
Le nombre de demandes ayant été de 600, quelle est la probabilité pour qu’il y ait au moins 70 commandes ?
plus de 50 commandes ?