Club de math

Club de math
par Ghlslain Desmeules
Séminaire de Métabetchouan
le dernier d'une série de quatre feuillets
c- les nombres de Fermât:
A la même époque que Mersenne, un autre mathématicien français, Pierre
Fermât proposa une autre formule pouvant générer des nombres premiers; il laissa
même à ces nombres son nom: les nombres de Fermât.
Les nombres ite Fermât sont de la forme:
P
Fp = 2^+ 1
OÙp = 0. 1 . 2 . 3 . .
Fermât, Pierre de ( 1601 - 1665 )
Mathématicien français qui itéploya son activité
créatrice dans divers domaines ites mathématiques. 11
v K u t en province bien loin des grands centres
Intellœtuels de son époque: c'était un m ^ i s t r a t de
profession qui s'amusait à Inventer (tes mathématiques
pour son plaisir personnel et dont les travaux ne
furent pas publier de son vivant; c'est grâce aux
lettres qu'il adressait à ses amis mathématiciens et
celles qu'il r«:eva1t d'eux qu'il demeurait en contact
avec les grands esprits scientifiques d'alors. 11 énonça
(te nombreux théorèmes très excitants qui ne furent
démontrés complètement qu'après sa mort.
On disait de lui qu'il était le meilleur ^ m è t r e de
son temps et, en même temps que René Descartes, en
employant toutefois une appr(H:he différente, 11 fit
ressortir les principes essentiels de la gàimétrie
analytique. On fait état d'une polémique entre les deux
savants sur la pertinence du procédé utilisé par
chœun ce qui amena les (teux protagonistes à
perfectionner leur méthode; c'est à partir des travaux
de chacun d'eux qu'est né, un siècle plus tard, le
calcul différentiel raffiné par Leibniz et Newton.
GRMS 56-8
Avec Biaise Pascal, il fut l'un des inventeurs du
calcul des probabilités; c'est grâce à la correspondance entre les deux hommes qu'ils mirent en place les
principaux éléments de cette nouvelle science; leurs
résultats permirent un important déblocage dans le
développement des Sciences: on a commencé à
comprendre le rôle du hasard dans la prévision des
résultats d'une expérience qui est tentée un grand
nombre de fois. On a aussi donné le nom de Loi des
erands Nombres^ cette théorie.
C'est principalement dans le domaine de la Théorie
des Nombres qui traite des propriétés des nombres
entiers que Fermât s'est fait connaître; c'est lui qui
depuis cette époque a fait les découvertes les plus
nombreuses et les plus sensationnelles. Lorsqu'on
parle de lui on mentionne:
I - les nombres de Fermât ( l'objet de notre chapitre )
ii-
le théorème de Fermât: pour tout nombre ^ non
divisible par p, l'expression aP~ ^ - / est toujours
divisible par ^ s i >7 est premier.
I I I - l'équation de Fermât: l'égalité x ^ = A y ^ * /
a. pour n'importe lequel A entier positif qui n'est
pas un carré parfait, une infinité de solutions dans
l'ensemble des entiers relatifs.
I V - l'hypothèse de Fermât ou du Brand Théorème de
Fermât: pour n un nombre entier supérieur à 2
l'égalité suivante est impossible x ^ * y ^ =
Cette
hypothèse n'est toujours pas démontrée aujourd'hui: 11
s'agit du plus célèbre problème non résolu des
mathématiques modernes.
Fermât lui-même avait annoté en marge d'une
traduction de Bachet d'une oeuvre du grec Diophante
d'Alexandrie:'J'ai découvert une démonstration assez
remarquable de cette proposition mais elle ne
tiendrait pas dans cette marge."
Aujourd'hui on hésite à croire que Fermât ait
vraiment été en mesure de démontrer sa célèbre
hypothèse ( on croit plutôt qu'il s'est aperçu d'une
erreur dans son raisonnement et qu'il n'a pas repris
ailleurs sa démonstration ).
De nombreux et célèbres mathématiciens ont tenté
de prouver cette hypothèse mais sans succès: le plus
connu est sans doute le mathématicien suisse Euler.
Aujourd'hui on sait que le théorème est vrai pour
tous les exposants premiers inférieurs à 125 000.
GRMS 56-9
Problème no 30
Etablir la valeur de Fq, F i, F2. F3 et F^
F2 =
>^3 =
Fa =
Fermât, puisque les moyens du temps ne lui permettaient pas les calculs fastidieux de
vérification des grands nombres premiers, croyait fermement que cette formule donnerait
toujours (tes nombres premiers. Ce fut le mathématicien suisse Euler qui montra que Fg soit
le nombre 4 294 967 297 est un nombre composé et qu'il peut s'exprimer sous la forme d'un
produit 641 X 6 700 417 et, par la suite, on n'a plus été en mesure, peu importe la valeur
donnée à n , de trouver un autre nombre premier pour autant que les calculs, souvent
colossaux, ont pu être faits
il est paradoxal, puisque l'ensemble des nombres premiers
est infini qu'une formule du type de celle de Fermât ait pu donner 5 nombres premiers pour
les 5 premières valeurs de n et que, par la suite, on soit incapable d'en trouver un seul autre,
( certains mathématiciens tendent à croire qu'il n'y en a pas d'autre ).
Sans doute que l'Histoire des Mathématiques aurait pu choisir d'oublier les nombres de
Fermât devant cet insuccès apparent s'ils n'avaient servi à résoudre un ancien problème tout à
fait différent: comment tracer à l'aide d'une règle et d'un compas des polygones
réguliers ? On était alors capable pour certaines figures mais on ignorait la généralisation
du procélé et jusqu'où on pouvait se rendre.
En 1801, un mathématicien allemand du nom de C.F. Gauss, en utilisant les résultats
de Fermât, obtint le résultat suivant: pour une valeur de n impaire, on peut,
avec une règle et un compas, construire
un polygone régulier
à n
sommets si. et seulement
si, n est un nombre de Fermât ou le
produit de nombres de Fermât
distincts.
Problême no 51
Trouvez, parmi ces valeurs de x, celles qui permettent de constater la
possibilité de tracer un polygone régulier avec une règle et un compas et
prouvez votre choix par les nombres de Fermât.
Exemple: soit x = 85; avec ce nombre on peut puisque 85 = 5 x 17
F ^ = 5 et F2 = 17 et que F1 * F2
5
7
9
13
15
17
19
21
25
51
255
OUI
NON
Pourquoi
d- les nombres parfaits:
il ne s'agit plus ici tte nombres premiers, mais nous verrons plus loin qu'ils en
sont des dérivés. On appelle nombres parfaits les nombres qui sont égaux à la somme de
leurs facteurs ( le nombre lui-même étant évidemment exclu de cette somme ).
Les Grœs de l'Antiquité connaissaient 4 nombres parfaits: 6, 28, 496 et
8128. Les facteurs de 6 étant 1, 2,3 et 6 on voit bien que 1 + 2 + 3 = 6. Les facteurs de 28
étant 1,2,4,7, 14 et 28 on voit bien que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
GRMS 56-10
Problème no 32
Montrez que 496 el 8128 sont, eux aussi, des nombres parfaits.
496
8128II est également possible d'exprimer ces nombres sous la forme suivante:
6 = 2X3 = 2 X ( 2 2 - 1 )
28 = 2^ x 7 = 2^ x ( 2^ - 1 )
496 = 2''x31 = 2 ' ' x ( 2^ - 1 )
8128 = 2^x 127 = 2 6 x ( 2"^- I )
* * * * remarque très intéressante: le nombre entre parenthèses est un nombre de
Mersenne. Pendant longtemps on ne connCK que 8 nombres parfaits; plus tard on a réussi è en
découvrir d'autres qui sont tous de très grands nombres découverts è l'aide d'ordinateurs.
Puisque nous connaissons jusqu'à présent 25 nombres de Mersenne ( Ils ont été mentionnés
dans la section consacrée aux nombres de Mersenne ) il existe au moins 25 nombres parfaits.
On ne connaît actuellement aucun nombre parfait impair et on a découvert à l'aide d'un
ordinateur que, s'il existe, il doit avoir plus de 36 chiffres.
Problème no 33
Puisque le cinquième nombre de Mersenne est 13, quel est le cinquième
nombre parfait ?
e- les nombres amiables:
ici aussi, il ne s'agit pas spécifiquement de nombres premiers; ce sont plutôt
des nombres dérivés, dans une certaine mesure, de nombres parfaits. Ce sont des nombres
parfaits deux à deux: la somme des facteurs de l'un est égale è l'autre nombre et
vice-versa.
Exemple: les Grecs de l'Antiquité ne connaissaient qu'un seul couple de nombres
amiables: 220 et 284.
F ( 220 ) = { 1, 2, 4, 5,10,11,20,22,44,55, 110,220 }
F( 2 8 4 ) = { 1,2,4,71, 142,284}
et on a 1 + 2 + 4 + 5 + 10+ 11+20 + 22 + 44+ 55+ 110 = 284
etona 1+ 2 + 4+ 71 + 142 = 220
Problème no 34
SI le nombre 1210 est un nombre amiable, quel est l'autre élément du couple?
Donnez la preuve qu'il s'agit d'un couple œniable.
Voici la table des couples amiables Inférieurs è 100 000.
220 et
284
x
et 1 210
2 620 et 2 924
5 020 et 5 564
6 232 et 6 368
10 744 et 10 856
12285 et 14595
17296 et 18416»»
63 020 et 76 084
66 928 et 66 992
67 095 et 71 145
69 615 et 87 633
79 750 et 88 730
»»Le couple 17 296 et 18 416 a été trouvé en 1636
par Fermât. Descartes, pour sa part, a déoMJvert en 1638 le couple 9 437 056 et 9 363 584.
GRMS 56-11
Euler a troivé, à lui seul, 64 couples de nombres amiables. Un mathématicien
nommé Dickson, en 1911, a trouvé le couple:
10 103x735 263et2''x 17x 137x2990 783
f - les grands nombres premiers:
la recherche du plus grand nombre premier fascine l'esprit humain surtout
depuis que l'homme possède à son service des ordinateurs à grande performance; actuellement,
on connaît la table des nombres premiers jusqu'à 10 millions. Au delà, on en connaît quelques
autres: ainsi le nombre 2^ ' - 1 = 2 305 843 009 213 693 951 est un nombre premier.
Pendant une bonne période de temps, le nombre 2 '
_ j=
170 H I 183 460 469 231731687 303 715 884 105 727
a été le plus groid nombre premier connu.
Actuellement en 1985, le plus grand nombre premier connu est 2^ '
' - 1 et
il s'agit d'un nombre de 6533 chiffres, il s'agit en fait du dernier nombre de Mersenne connu.
Fin
Réponses
Problème no 30
Fq = 3. F, = 5. F j = 17. F3 = 257. F^ = 55537
Problème no 31
si X = 5 oui car F ^ = 5
si X = 7 non
si X
= 9 non car Fq • Fq
s i X = 13 non
si X = 15oui carF^x F| = 3 x 5 = 15
si X = 17 oui c a r F 2 = 17
si x = 19 non
si X - 21 non
si X = 25 non car F ^ = F ^
si X = 51 WJi car Fq x F2 = 3 x 17 = 51
si X = 255 oui car Fq X F^ X F 2 = 3 X 5 X 17 = 255
Problème no 32
F ( 496 ) = ( 1. 2, 4. 8. 16. 31. 62. 124. 248. 496 )
et
1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 1 + 6 2 + 1 2 4 + 248 = 496
F ( 8128 ) = { 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 127. 254. 508. 1016. 2032. 4064. 8128 1
et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128
Problème no 33
2'2X(2'3- 1 )
4 096 x 8 191 = 33 550 336
Problème no 34
F ( 1210)= ( 1 . 2 . 5 . 10. 11.22.55. 110. 121.242.605. 1210)
et 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184
GRMS 56-12