Les transparents ici

Échantillonnage et vibration
corrélation améliorée par
le bruit
Cédric Duchêne
Laboratoire des Images et des Signaux
UMR CNRS 5083
INPG, Grenoble
Journée Franco-Suisse sur le bruit dans les systèmes non linéaires
Distribution rétinienne des photorécepteurs
 
Échantillonnage aléatoire de la rétine
 
Micro-saccades, mouvements aléatoires de l’œil
Quel est le lien entre l’échantillonnage particulier de la
rétine et les vibrations aléatoires de l’œil ?
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Positionnement mathématique
 
 
Restriction à 1 seule dimension
Influence des vibrations sur un échantillonnage régulier
signal stochastique centré, variance
Échantillonné par un peigne régulier de pas
Soumis aux fluctuations temporelles
Information mutuelle entre S et Se  Trop compliqué
Analyse à l’ordre 2  corrélation entre S et Se
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Corrélation ou cohérence entre S et Se
Ressemblance entre S et le nième échantillon de Se
en
si S et ξ stationnaire à l’ordre 2
On tombe sur un résultat connu depuis 1960 sur le jitter…
[ SHAPIRO & SYLVERMAN « Alias free sampling of random noise » J. Soc. Indust. Appl. Math., vol 8, n° 2, June 1960 ]
Convolution entre Γs et fξ
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Analyse de la cohérence Ce
On pose Cs(x) = Γs(x) / σs2 on obtient donc
Évolutions possibles de Ce(y) en fonction de σ dans un
cas général :
•  Quand σ  0
Ce(y, σ)
Ce(y) = Cs(y) , ∂Ce(y, σ) / ∂σ = 0 
tangente horizontale
Cs(y)
•  Quand σ  ∞
y=0
Ce(y) = 0  tangente horizontale
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0
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σ
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Scènes naturelles et fluctuations uniformes
Si
et
[ ATTICK « Could information theory provide an ecological theory of sensory
processing » Neural Computation vol 4, 196-210, 1992]
alors la cohérence Ce(y) devient :
β = 0.5"
β = 0.5"
Maximum en σopt "
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Recherche du maximum
La dérivée dans le cas uniforme :
•  Pour x > 0, tanh(x) < x, donc la dérivée est strictement positive sur
 pas d’extremum sur
•  Pour
possèdera une phase de décroissance sur
et donc la dérivée
Existence d’au moins un maximum, car Ce(y)/σ=0 > 0
Les positions sont les solutions de :
 Fonctions Wk de Lambert
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Fonctions Omega ou fonctions de Lambert
Soit f définie par :
Alors Wk , fonction réciproque de f est définie par :
•  f n’est pas injective  Wk est multiforme
•  Si z = x ∈ ℜ, alors il existe uniquement
2 branches de Wk
•  Branche principale W0
•  Branche seconadire W-1
[ CORLESS & GONNET « On the Lambert function » Adv. In Comput. Math., vol 5, 329-359, 1996 ]
 La solution de
est donnée par :
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Et si l’échantillonné est localement moyenné
Filtrage de Se par a :
Si a est une impulsion, alors
La cohérence entre S et Se,a devient la convolution de
Ce et a :
Attention : Le dénominateur de Ca n’est plus qu’un
facteur de normalisation
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Échantillonnée par une porte …
Si a est une porte de
largeur 2α
Alors
Si α  0, alors Ca = Ce
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Quel est l’influence de α ?
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Conclusions - Perspectives
•  Existence d’un maximum de la fonction d’autocorrélation
entre S et Se pour chaque y≠0
•  Cas uniforme, résultat théorique
•  Cas uniforme filtré, résultats partiels
•  Pousser investigation cadre général un peu plus loin
•  Voir l’influence d’autre loi, Laplacienne, Gaussienne …
•  Influence précise de β ? De α ?
•  Continuer dans le cas ou le peigne n’est pas régulier
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