Algèbre (linéaire) et graphes

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Algèbre (linéaire) et graphes
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16 octobre 2007
Je ne connais malheureusement pas les ouvrages en français qui parlent de théorie spectrale (ou algébrique) des
graphes. Ce résumé est basé sur les livres suivants : D. West, “Introduction to Graph Theory”; N. Biggs, “Algebraic
Graph Theory” ; D. Cvetkoviˇ c, M. Doob et H. Sachs, “Spectra of Graphs : Theory and Applications”.
On utilisera souvent des résultats d’algèbre linéaire. Sur ce sujet les livres sont inépuisables, vous en trouverez
certainement un de votre goût.
Quelques notations : ˜n={1,2,...,n−1,n}, Idnest la matrice identité de taille n×n(parfois nsera sous-entendu),
Jnm dénote la matrice n×mdont tous les coefficients sont des 1.
1 Le pourquoi de l’algèbre en graphes.
Définition 1.1: Un morphisme fdu graphe G1= (X1,U1)vers G2= (X2,U2)est une fonction f:X1→X2telle
que la l’application ¯ finduite sur les arêtes par ¯ f((a,b)) = ( f(a),f(b)) ∈X2×X2soit d’image contenue dans U2,
i.e. ¯ f(U1)⊂U2. Lorsque fest bijective et que ¯ f(U1) = U2on dit que fest un isomorphisme.
La relation donnée par G1RGG2⇔G1et G2sont isomorphes est une relation d’équivalence. En effet, lorsque
fest injective, ¯ fest injective ( ¯ f[a,b] = ¯ f[c,d]⇒f(a) = f(c)et f(b) = f(d)). Demander que fest bijective et
¯
fsurjective, revient donc à demander que fet ¯ fsoient bijectives. Ainsi, deux graphes G1= (X1,U1)et G2=
(X2,E2)sont isomorphes par fsi et seulement si fest bijective et (a,b)∈U1⇔(f(a),f(b)) ∈U2. Autrement dit,
en changeant les noms des sommets, G1et G2sont le même graphe, les relations de voisinages étant les mêmes.
RGa vraiment pour sens de dire que deux graphes sont les mêmes. Les graphes dans la même classe d’équivalence
auront exactement les mêmes propriétés.
Remarque 1.2:Un isomorphisme d’un graphe avec lui-même est appelé un automorphisme, ou plus communément
une symétrie, du graphe. Les automorphismes forment un groupe. Les graphes possèdant des groupes d’automor-
phismes non-triviaux ont aussi des propriétés intéressantes, mais on se restreindra ici à l’algèbre linéaire dans les
graphes, voir C. Godsil et G. Royle “Algebraic Graph Theory” pour des informations supplémentaires sur ce sujet.
Il est un autre objet qui concentre tout ce qu’est un graphe, c’àd. des points et une notion d’adjacence, c’est la
matrice d’adjacence. On rappelle que pour un graphe G= (X,U)et une bijection τ:X→˜n, la matrice d’adjacence
Aτ(G)est une matrice de taille n×noù |X|=n. On définit son facteur aij par
aij =(1 si (τ−1(i),τ−1(j)) ∈E
0 si (τ−1(i),τ−1(j)) /∈E.
Cette matrice contient toute l’information du graphe, seul le choix de la bijection τn’est pas canonique.
Remarque 1.3:Lorsqu’on ne se restreint pas aux graphes simples (qui ont au plus une arête entre deux sommets), il
est nécessaire d’introduire la matrice d’incidence pour décrire complètement un graphe, on la décrira ultérieurement.

2On dénote l’ensemble des permutations sur néléments par Sn:={σ: ˜n→˜n|σest bijective}. La composition
forme une loi de groupe sur cet ensemble, avec pour identité, l’identité Id : i7→ i. On peut associer une matrice Pσà
σ∈Sn: pour la base usuelle eide Rn, elle est définie par Pσei=eσ(i). Cette matrice Pσest de déterminant ±1 (par
définition du déterminant c’est le signe de σen fait) et elle n’a qu’une seule entrée non-nulle (qui est égale à 1) sur
chaque ligne et chaque colonne.
Proposition 1.4:
Soit G1 et G2 deux graphes, alors leurs matrices d’adjacences sont conjuguées par une permutation.
Démonstration. Lorsqu’on a un isomorphisme f:G1→G2, et si τi:Xi→˜n, où i=1,2, sont les bijections utilisées
dans l’écriture des matrices d’adjacences des graphes, alors u:=τ2◦f◦τ−1
1: ˜n→˜nest la permutation qui de la
numérotation des sommets de X1à celle des sommets des X2. Intuitivement, comme les graphes sont les mêmes, elle
fait correspondre deux numérotations d’un même graphe. Écrivons Aτi(Gi) = Ai, on prétend que A1=P−1
uA2Pu. Soit
eiles vecteurs formant la base standard de Rn. Alors
A1ei=
n
∑
j=1gjejoù gj=(1 si [τ−1
1(j),τ−1 1(i)] ∈E1
0 sinon
D’autre part
P−1
uA2Puei=P−1 uA2eu(i)=
n
∑
j=1fjejoù fj=(1 si [τ−1
2(j),τ−1
2(u(i))] ∈E2
0 sinon
Or P−1
u
n
∑
j=1fjej=n
∑
j=1fjeu−1(j). On réordonne en posant j=u(l)pour avoir P−1
uA2Puei=n
∑
l=1fu(l)ej. On a
fu(l)=(1 si [τ−1
2(u(l)),τ−1
2(u(i))] ∈E2
0 sinon
Cependant, τ−1
2◦u=f◦τ−1 1, d’où
[τ−1
2(u(l)),τ−1 2(u(i))] ∈E2⇔[f◦τ−1 1(l),f◦τ−1 1(i)] ∈E2
⇔[τ−1
1(l),τ−1 1(i)] ∈E1,
car fest un isomorphisme. On remarque alors que gl=fu(l), donc que les matrices sont bien les mêmes.
Ainsi les matrices d’adjacences (à conjugaison par une permutation près) représentent complètement un graphe
(à isomorphisme près). Or il est une autre donnée qui décrit à permutation près une matrice : ses vecteurs propres
(généralisés) et ses valeurs propres.
2 Polynôme caractéristique et graphes partiels.
Définition 2.1: Pour une matrice Ade taille n×n, on définit le polynôme caractéristique de Apar φ(A,λ) =
Det(λId−A) = ∏(λ−λi)mi,λi6=λj. Son degré est n. Les racines λide ce polynôme sont les valeurs propres, et
leur multiplicité algébrique est leur multiplicité mien tant que racines de ce polynôme. Ces données forment le
spectre de Aet s’écrira SpecA={λ(m1)
1,λ(m2) 2,...,λ(mk)
k}
Un vecteur propre vipour la valeur propre λide Aest un vecteur tel que Avi=λivi. La multiplicité géométrique
de λiest la dimension de son espace de vecteurs propres.
Rappel 2.2:
Deux vecteurs propres de valeurs propres différentes sont linéairement indépendants. Lorsque A est
symétrique, deux vecteurs propres de valeurs propres différentes sont orthogonaux.
Lorsqu’une matrice
A de taille n×n a n vecteurs propres linéairement indépendants, alors Ak a les mêmes
vecteurs propres
vi de valeurs propres λk
i
.

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Démonstration. Soit v1et v2deux vecteurs propres de valeurs propres λ16=λ2. Si v1=kv2pour kun scalaire,
alors λ1v1=Av1=Akv2=kAv2=kλ2v2=λ2v2et donc λ1=λ2. Si par surcroît Aest symétrique, alors λ1v†
1v2=
(Av1)†v2=v†
1A†v2=v†
1Av2=v1†λ2v2=λ2v†
1v2. Comme λ16=λ2il faut que v†
1v2=0.
Une matrice a au plus nvecteurs propres différents. Soit A(pas forcément symétrique) une telle matrice, soient
v1,...vnses vecteurs propres, et soient λ1,...,λnses valeurs propres. Alors Akvi=Ak−1Avi=Ak−1λivi=λiAk−1vi=
···=λk
ivi. Ainsi Aka les mêmes vecteurs propres (puisqu’on lui en a trouve non les a tous déterminés) et leur
valeurs propres sont λk
i
On raccourcira fréquemment φ(A(G),λ) = φ(G,λ). La différence entre multiplicité géométrique et multiplicité
algébrique complique souvent les choses et nécessite l’introduction des vecteurs propres généralisés. Il est des cas
où ce n’est pas nécessaire :
Exemple 2.3:Soit Znle circuit d’ordre n(le graphe orienté où les nsommets sont disposés sur un cercle et relié à
leur successeur dans le sens horaire), sa matrice d’adjacence est
A(Zn) = 
0 1 0 ··· 0 0
0 0 1 ··· 0 0
0 0 0 ··· 0 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
0 0 0 ··· 0 1
1 0 0 ··· 0 0
et λId−A(Zn) = 
λ−1 0 ··· 0 0
0λ−1··· 0 0
0 0 λ··· 0 0
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
000··· λ−1
−1 0 0 ··· 0λ
Pour calculer le déterminant de λId−A(Zn)on fait l’expansion sur la première colonne. Le cofacteur du coefficient
en haut à gauche est le déterminant d’un matrice diagonale, tout comme celui du coefficient en bas à gauche. On
trouve que Det(λId−A(Zn)) = λn−1. Les valeurs propres sont donc λk=e2πik/noù k∈˜net i=√−1. Elles sont
toutes distinctes, ainsi, exceptionellement pour une matrice non-symétrique, il y a nvecteurs propres linéairement
indépendants.
Exemple 2.4:Soit Cnle cycle d’ordre n(le graphe non-orienté où les nsommets sont disposés sur un cercle et
reliés à leur successeur et leur antécédent). On rappelle que le spectre du circuit permet d’obtenir celui du cycle :
la matrice cycle d’ordre ns’obtient de celle du circuit en rajoutant un arc dans le sens inverse. Or A(Zn)kcompte le
nombre de chemins de longeur k. Un chemin de longueur n−1 dans Znrelie chaque sommet à son prédécesseur,
d’où A(Cn) = A(Zn) + A(Zn)n−1. Comme A(Zn)n−1partage les vecteurs propres de A(Zn)il en va de même pour
A(Cn):
A(Cn)vk=A(Zn)vk+A(Zn)n−1vk= (λk+λn−1
k)vk= (e2πik/n+e2πik(n−1)/n)vk= (e2πik/n+e−2πik/n)vk=2cos(2πk/n)vi
Ainsi Spec(Cn)est l’ensemble des 2cos(2πk/n). Lorsque nest pair ces valeurs propres sont toutes de multiplicité 2,
excepté −2 et 2 qui sont de multiplicité 1. Si nest impair, elles sont toutes de multiplicité 2 sauf la valeur propre 2
(de multiplicité 1).
Nous nous restreindrons dorénavant aux graphes non-orientés (voir D. Cvetkoviˇ c, M. Doob et H. Sachs, “Spectra
of Graphs : Theory and Applications” pour le cas orienté) car
Rappel 2.5:
(Théorème spectral) Soit A une matrice symétrique de taille n×n , alors les valeurs propres sont réelles,
et la multiplicité algébrique et géométrique d’une valeur propre sont identiques,
i.e. A possède n vecteurs propres
orthogonaux.
Idée de la démonstration. Il s’agit d’une preuve par récurrence, elle est ici décrite dans sa forme algorithmique. Une
matrice Aa toujours au moins un vecteur propre. Soit v1, ce premier vecteur propre et soit λ1sa valeur propre. Soit
U1la matrice dont la première colonne est v1et les autres colonnes choisies de sorte queU†
1U1=Id (c’àd. U est une
matrice unitaire). Soit T1=U−1
1AU1. La première colonne de T1est (λ1,0,...,0). On regarde ensuite A1la matrice
(n−1)×(n−1)constituée de T1privée de sa première ligne et colonne. On répète ce processus pour obtenir une

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matrice (n−1)×(n−1),T2=U−1
2A1U2dont la première colonne est (λ1,0,...,0)et A2une matrice (n−2)×(n−2).
Si on note U′
k=Id 0
0Ukune matrice n×nobtenue de Uken complétant par l’identité, alors U′−1
2U′−1 1AU′
1U′ 2n’a que
des 0 sous la diagonale sur ses deux premières colonnes. En poursuivant, on a que B=U′−1
n···U′−1
1AU′
1···U′
nest
triangulaire supérieure. De plus, puisque A†=Aet U′†
k=U′−1
k, on a que B†=B. Donc Best une matrice diagonale
et le produit U′
1···U′
nest la matrice (orthogonale puisque son adjointe est son inverse) de ses vecteurs propres.
Lorsqu’on listera les valeurs propres réelles d’une matrice symétrique n×ncomme λ1≥λ2≥... ≥λnon sous-
entend que certaines peuvent être égales (le nombre de valeurs propres égales donne la multiplicité). Si on écrit
λ1>λ2> ... > λk, alors on veut que les valeurs propres λisoit distinctes.
Les vecteurs propres peuvent se “dessiner” sur un graphe de la façon suivante. Associer à chaque sommet une
valeur est essentiellement décrire un vecteur và l’identification par τprès; appelons vxla valeur au sommet x.vsera
un vecteur propre de la matrice d’adjacence A(G)si pour tout sommet xla somme de la valeur du vecteur sur les
voisins de xest λvx,i.e. ∑
y∈N(x)vy=λvx. Voici deux vecteurs propres, le premier (de valeur propre 1) sur le graphe de
Peterson et le second (de valeur propre 0) sur le 4-cycle.
0
0
1
1
−1−1−1
1
0
0
0
0−1
1
Rappelons aussi que le rang d’une matrice Ade taille n×n(par définition, le rang est la dimension de l’image
de A) est égal à nmoins la mutliplicité (géométrique) de la valeur propre nulle. Lorsqu’il n’y a pas de nuance
entre multiplicité géométrique et algébrique (e.g. quand Aest symétrique ou qu’elle possède nvecteurs propres
linéairement indépendants), le rang est aussi la somme des multiplicités des valeurs propres non-nulles. Soit S⊂˜n,
A|Sla matrice obtenue de Aen retirant toutes ses ièmes colonnes et lignes lorsque i/∈S. On appelle mineurs de Ales
déterminants des matrices A|S.
Remarque 2.6:Si on choisit une identification τ:X→˜n, le graphe induit par Y⊂Xa pour matrice d’adjacence
A(X)|τ(Y). Pour alléger la notation, τsera désorais implicite, ou alternativement, Xsera toujours supposé comme
étant ˜npour n∈Z>0.
En se servant du développement d’un déterminant par ses cofacteurs on a que
Rappel 2.7:
Écrivons φ(A,λ) = n
∑
i=1ciλn−i
. Alors c0=1 et lorsque i>0 , ci= (−1)i∑
|S|=iDetA|S
.
Ceci a plusieurs conséquences intéressantes :
Proposition 2.8: Soit G un graphe non-orienté, écrivons φ(A(G),λ) = n
∑
i=1ciλn−i
. Alors c1=0 , c2=−|E| et −c3
est deux fois le nombre de triangles. Comme c1=−∑miλi=0 , on voit entre autres qu’il y a toujours des valeurs
propres négatives.
Démonstration. Lorsque |S|=1, l’expression A|Sest le ième coefficient de la diagonale où S={i}.−c1est en fait
ce qu’on appelle la trace de la matrice. Comme les graphes sont supposés sans boucles, ces coefficients sont tous 0,
et leur somme aussi.
Lorsque |S|=2, c’àd. S ={i,j},A|Sest la matrice nulle si les sommets iet jne sont pas reliés, et A|S=0 1
1 0

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s’ils sont adjacents. Pour chaque arête, on a donc une contribution de −1 à c2.
Finalement, lorsque |S|=3, il y a six mineurs possibles :
0 0 0
0 0 0
0 0 0 
,
0 1 0
1 0 0
0 0 0 
,
0 0 0
0 0 1
0 1 0 
,
010
101
010
,
0 1 1
1 0 0
1 0 0 
et 
0 1 1
1 0 1
1 1 0 
Seulement le dernier a un déterminant non-nul ; il vaut 2. Comme il correspond à la présence d’un triangle, la
conclusion s’effectue grâce au rappel 2.7.
Exemple 2.9:Soit Kn,mle graphe biparti complet (c’àd. n sommets non-adjacents tous reliés à msommets non-
adjacents). Sa matrice d’adjacence prend la forme A(Kn,m) = 0Jn,m
Jm,n0, où Jm,nest la matrice m×ndont toutes les
entrées sont égales à 1. Son rang est 2, et comme la somme desvaleurs propres donne 0, ses deux valeurs propres non-
nulles sont opposées : disons cet −c. Le polynôme caractéristique s’écrit donc comme φ(Kn,m,λ) = λN−c2λN−2, où
N=n+m. Or −c2est le nombre d’arêtes, soit mn. Le spectre est donc SpecA(Kn,m) = (√mn(1),0(N−2),−√mn(1)).
Les arguments de la proposition 2.8 s’étendent à des ensembles de plus grande cardinalité, et ils permettent
parfois de calculer plus rapidement φ(G,λ)que de passer directement par le calcul du déterminant. On rappelle
qu’un graphe Hde G= (X,E)est partiel (on dit aussi que c’est un sous-graphe couvrant) si les sommets de Hsont
les mêmes que G,i.e. H = (X,E′)où E′⊂E.
Théorème 2.10:
(Harary, 1962) Soit H l’ensemble des sous-graphes couvrants de G= (X,E) tels que chaque
composante connexe est un cycle élémentaire ou une arête. Soit
Cc(H) le nombre de composantes connexes de H et
Cy(H) le nombre de composantes connexes qui sont des cycles. Alors DetA(G) = ∑
H∈H
(−1)|X|−Cc(H)2Cy(H)
On obtient sans trop de mal que
Corollaire 2.11:
(Sachs, 1967) Soit G un graphe non-orienté, écrivons φ(A(G),λ) = n
∑
i=1ciλn−i
. Soit Hi l’ensemble
des sous-graphes à
i sommets dont les composantes connexes sont des cycles ou des arêtes. Alors,
ci=∑
H∈Hi
(−1)Cc(H)2Cy(H).
Démonstration. Grâce à 2.7, on exprime les coefficients en fonction des mineurs. Effectivement, la sous-matrice
principale A|Sn’est rien d’autre que la matrice de graphe induit par S,cf. remarque 2.6. On utilise alors le théorème
2.10 pour calculer les mineurs.
La preuve du théorème 2.10 requiert qu’on se penche un peu plus sur les permutations. Lorsque σn’est pas
l’identité, une écriture très commode pour σest sa décomposition en orbites (ou cycles).
Soit i∈˜n, et regardons la suite donnée par (i,σ(i),σ◦σ(i),σ◦σ◦σ(i),...). On raccourcira la notation en écrivant
σ◦nla fonction obtenue en composant nfois σavec elle-même, par convention σ◦0=Id. D’autre part, comme σest
une bijection, elle est inversible, et notons σ◦(−1)=σ−1et σ◦(−n)=σ−1◦n. Alors pour tout n,m∈Z,σ◦met σ◦n
sont définies et σ◦m◦σ◦n=σ◦(m+n)Avec ceci, montrons que la suite {σ◦n(i)}n≥0est constitué de valeurs qui se
répètent toutes périodiquement.
La suite (σ◦n(i))n≥0finit forcément par reprendre une valeur, disons j, car elle est infinie et ne peut prendre
qu’un nombre fini de valeur. Soit jla première valeur qui réapparaît une deuxième fois (on comprendra plus tard
que ce n’est autre que j). Soit n<n′les deux plus petits entiers tels que j=σ◦n(i) = σ◦n′(i). Comme σest une
bijection, elle-même et ses itérées sont inversibles. Ainsi i=σ◦(n′−n)(i)est bien la première valeur à réappaître une
deuxième fois (car n′−n<n′). De plus, on peut réitérer par σ◦kpour obtenir σ◦k(i) = σ◦(k+n′−n)(i). Ainsi la suite
{σ◦n(i)}est bien périodique.