ne modifient pas Cpuisque, en-dessous de C, ne se trouvent que des 0. Ces opérations re-
viennent à calculer
τp−1,n(Bp+1,q )◦. . . ◦τp−1,p+2(Bp+1,2)◦τp−1,p+1(Bp+1,1)(A)
De la même manière, on peut utiliser Cp−1,p−2= 1 pour "éliminer" les coefficients Bp−1,1à
Bp−1,q. Notons que ces opérations sur les colonnes n’altèrent par le travail déjà effectué, d’une
part parce que Cp−1,p−2est le seul coefficient non nul de la colonne p−2de C, d’autre part parce
que les opérations sur les lignes ne vont modifier que la ligne Lp−1. On poursuit par récurrence,
remplaçant ainsi, à la kieme étape, la ligne numéro p−k+ 1 de Bpar 0. Après p−1étapes, on
obtient une matrice de la forme souhaitée.
Chaque transformation τi,j (µ)revient à effectuer un changement de base dont la matrice de
passage est Ti,j (µ)(seul le jieme vecteur de base est changé, qui est remplacé par lui-même
plus µfois le iieme vecteur de base). Puisqu’à chaque fois, l’indice jest plus grand que p+ 1, ce
changement de base ne modifie pas les ppremiers vecteurs de la base, qui restent (e1, e2, . . . , ep).
Il existe donc (g1, g2, . . . , gq)telle que (e1, e2, . . . , ep, g1, g2, . . . , gq)forme une base de Eet telle
que, dans cette base, la matrice de usoit de la forme souhaitée.
5. Notons Fk= Vect(e1, e2, . . . , ek, g1, g2, . . . , gq). On a, pour 06k < p,u(Fk)⊂Fk+1, d’où
u(gk)∈βke1+F0⊂F1,
u2(gk)∈βke2+F1⊂F2,
. . . ,
uj(gk)∈βkej+Fj−1⊂Fj,
. . . ,
up(gk)∈βkep+Fp−1⊂Fp
Supposons l’existence de λ0àλp, non tous nuls, tels que λ0gk+λ1u(gk) + . . . +λpup(gk)=0.
Soit jle plus grand indice tel que λj6= 0 (j>1puisque gk6= 0). Alors on voit que uj(gk)∈
Vect(gk, . . . , uj−1(gk)) ⊂Fj−1, d’où, puisque uj(gk)∈βkej+Fj−1et βk6= 0,ej∈Fj−1: contra-
diction. Ainsi, la famille (gk, u(gk), . . . , up(gk)) est une famille libre. Ceci contredit la maximalité
de la dimension de F. Donc βk= 0.
6. Ainsi, la matrice de udans la base (e1, e2, . . . , ep, g1, . . . , gq)est composée de deux blocs diago-
naux, ce qui entraîne que G= Vect(g1, . . . , gp)est stable par u: c’est un supplémentaire stable
de F.
7. Par récurrence sur n= dim(E). Si F E, on applique l’hypothèse de récurrence à l’endomor-
phisme induit par usur le sous-espace stable Gmis en évidence ci-dessus.
8. Matriciellement, cela signifie que toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs
Diag(C1, C2, . . . , Cr), dont chaque bloc diagonal Cjest une matrice compagnon.