Correction du DM : no I

—- Le Lundi 12 octobre 2015
Correction du DM : no I
Exercice 1
Étude du déficit d’une multinationale
Le déficit d’une multinationale a été de 15 millions d’euros en 2014.
Devant l’ampleur de ce déficit, l’équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel
à moins de 5 millions d’euros.
Jusqu’à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s’engage à ce que le déficit baisse de 8,6 % tous les ans.
On définit la suite (un ) de la manière suivante : on note un le déficit en million d’euros de cette multinationale lors de
l’année 2014 + n. Ainsi u0 = 15.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3 .
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a. Montrer que u1 = 0, 914u0 .
En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit
u1 = u0 − 8, 6 %u0 = u0 (1 − 0, 086) = 0, 914u0
Ainsi u1 = 0, 914u1
b. Si l’équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de :
u2 = 15 × 0, 914 × 0, 914 ≈ 12, 531
En 2016, le déficit serait d’environ 12,531 millions d’euros. b. Pour
c. Démontrer que la suite (un ) est géométrique, puis exprimer un en fonction de n.
Pour tout entier n on a : un+1 = un × 0, 914 donc (un ) est une suite géométrique de raison 0,914.
(un ) est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0 = 15 donc :
pour tout entier n, un = 15 × 0, 914n .
En effet d’après le cours un = qn × u0 .
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a. Résoudre l’inéquation suivante d’inconnue l’entier naturel n :
0, 914n 6
1
3
On programme la suite de terme général 0, 914n à l’aide d’une calculatrice :
les solutions entières de l’inéquation 0, 914n 6
1
sont les entiers n ≥ 13.
3
1
b. Quand l’engagement de l’équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous
des 5 millions d’euros, sera-t-il atteint ?
1
15 × 0, 914 ≤ 5 ⇐⇒ 0, 914 6 soit n ≥ 13.
3
Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d’euros à partir de 2027.
3 On considère l’algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente.
a. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l’algorithme renvoie l’année à partir de laquelle le
déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de 5 millions d’euros.
Variables
N un entier naturel
Q et U deux nombres réels.
Début
N prend la valeur 0
Q prend la valeur 0,914
U prend la valeur 15
Tant que U > 5 faire
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur 0, 914 × U
Fin Tant que
Afficher 2014 + N
Fin
b. On suppose l’algorithme complété.
Proposer une modification de l’algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu’à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d’euros.
Variables
N un entier naturel
Q et U deux nombres réels.
Début
N prend la valeur 0
Q prend la valeur 0,914
U prend la valeur 15
Tant que U > 5 faire
N prend la valeur N + 1
U prend la valeur 0, 914 × U
Afficher « Déficit en 2014+ »N « = »U
Fin Tant que
Afficher 2014 + N
Fin
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a. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l’année 2014 comprise, c’est-à-dire :
u0 + u1 + u2 + · · · + u10
(un ) est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0 = 15 donc la somme des 11 premiers
(1 − q10+1 )
(1 − 0, 91411 )
termes de cette suite est : u0 + u1 + u2 + . . . + u10 =
u0 =
× 15 ≈ 109, 555
1−q
1 − 0, 914
On rappelle le résultat du cours : Somme S de N termes successifs si q , 1 sinon S = N P :
S=
(1 − qN )
P
1−q
N = nombre de termes de la somme
P = premier terme de la somme ;
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q = raison
En 11 ans, le déficit cumulé est d’environ 109,555 millions d’euros.
b. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
Variables
N un entier naturel
S et U deux nombres réels.
Début
N prend la valeur 0
U prend la valeur 15
S prend la valeur 15
Pour N allant de 1 à 10 faire
U prend la valeur 0, 914 × U
S prend la valeur S + U
Fin Pour
Afficher S
Fin
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