Correction du DM : no I

—- Le Lundi 12 octobre 2015
Correction du DM : noI
Exercice 1
Étude du déficit d’une multinationale
Le déficit d’une multinationale a été de 15 millions d’euros en 2014.
Devant l’ampleur de ce déficit, l’équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel
à moins de 5 millions d’euros.
Jusqu’à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s’engage à ce que le déficit baisse de 8,6 % tous les ans.
On définit la suite (un)de la manière suivante : on note unle déficit en million d’euros de cette multinationale lors de
l’année 2014 + n. Ainsi u0= 15.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3.
1a. Montrer que u1= 0,914u0.
En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit
u1=u0−8,6%u0=u0(1 −0,086) = 0,914u0
Ainsi u1= 0,914u1
b. Si l’équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de :
u2= 15 ×0,914 ×0,914 ≈12,531
En 2016, le déficit serait d’environ 12,531 millions d’euros. b. Pour
c. Démontrer que la suite (un)est géométrique, puis exprimer unen fonction de n.
Pour tout entier n on a : un+1 =un×0,914 donc (un)est une suite géométrique de raison 0,914.
(un)est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0= 15 donc :
pour tout entier n,un= 15 ×0,914n.
En effet d’après le cours un=qn×u0.
2a. Résoudre l’inéquation suivante d’inconnue l’entier naturel n:
0,914n61
3
On programme la suite de terme général 0,914nà l’aide d’une calculatrice :
les solutions entières de l’inéquation 0,914n61
3sont les entiers n≥13.
1

b. Quand l’engagement de l’équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous
des 5 millions d’euros, sera-t-il atteint ?
15 ×0,914 ≤5⇐⇒ 0,914 61
3soit n≥13.
Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d’euros à partir de 2027.
3On considère l’algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente.
a. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l’algorithme renvoie l’année à partir de laquelle le
déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de 5 millions d’euros.
Variables
Nun entier naturel
Qet Udeux nombres réels.
Début
Nprend la valeur 0
Qprend la valeur 0,914
Uprend la valeur 15
Tant que U > 5faire
Nprend la valeur N+ 1
Uprend la valeur 0,914 ×U
Fin Tant que
Afficher 2014 + N
Fin
b. On suppose l’algorithme complété.
Proposer une modification de l’algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multina-
tionale chaque année jusqu’à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d’euros.
Variables
Nun entier naturel
Qet Udeux nombres réels.
Début
Nprend la valeur 0
Qprend la valeur 0,914
Uprend la valeur 15
Tant que U > 5faire
Nprend la valeur N+ 1
Uprend la valeur 0,914 ×U
Afficher « Déficit en 2014+ »N«=»U
Fin Tant que
Afficher 2014 + N
Fin
4a. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l’année 2014 comprise, c’est-à-dire :
u0+u1+u2+···+u10
(un)est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme u0= 15 donc la somme des 11 premiers
termes de cette suite est : u0+u1+u2+...+u10 =(1 −q10+1)
1−qu0=(1 −0,91411) 1−0,914 ×15 ≈109,555
On rappelle le résultat du cours : Somme Sde Ntermes successifs si q,1 sinon S=N P :
S=(1 −qN)
1−qP
N= nombre de termes de la somme
P= premier terme de la somme ;
2

q= raison
En 11 ans, le déficit cumulé est d’environ 109,555 millions d’euros.
b. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
Variables
Nun entier naturel
Set Udeux nombres réels.
Début
Nprend la valeur 0
Uprend la valeur 15
Sprend la valeur 15
Pour Nallant de 1 à 10 faire
Uprend la valeur 0,914 ×U
Sprend la valeur S+U
Fin Pour
Afficher S
Fin
3