Analyse du TP

La loi géométrique tronquée : analyse du TP
Ce T.P. est très largement inspiré de l’exercice 23 p.290 du manuel « hyperbole de 1èreS ». Il n’a été testé
qu’une seule fois pendant l’année 2012-2013 avec la version 1.
La différence entre les versions 1 et 2 se trouve dans l’algorithme 1.
On peut penser que pour une bonne appropriation du problème, il soit pertinent de simuler totalement le
jeu et donc d’afficher les différents numéros tirés puis enfin la valeur de la variable c comme dans la
version 2.
Dans la version 1, on se contente d’afficher la valeur de la variable c. Si l’utilisateur ne voit pas réellement
la partie se jouer sous ses yeux comme dans la version 2, l’avantage est alors que le passage de
l’algorithme 1 à l’algorithme 2 est quasi immédiat.
Avec la toute première question du T.P. les élèves passent 5 minutes à réfléchir sur l’algorithme. Celui-ci
étant presque une paraphrase des règles du jeu, les élèves le comprennent bien et la valeur de c affichée à
l’écran prend le sens qu’il faut dans leur esprit.
On peut donc opter pour la version 1 qui facilite le passage à l’algorithme 2.
Remarques.
1) Les situations de références menant à la loi géométrique (tronquée ou non) sont nombreuses :
pile ou face : première apparition du pile, lancer d’un dé à 6 faces : première apparition du 6, tirages avec
remise (ou assimilé avec une grande population) première apparition du caractère recherché, …
2) L’objectif principal du T.P. est l’étude de l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi
géométrique tronquée. Il faut bien se rappeler que le statut de variable aléatoire accordé au rang du
premier succès est artificiel. Le zéro attribué lorsqu’il n’y a aucun succès est une convention. En
conséquence, l’espérance calculée ne prend le sens qu’on lui veut que si le poids de ce zéro dans
l’expérience est faible.
Pour cela, le nombre maximal d’expériences ne doit pas être trop petit, et la probabilité de succès ne doit
pas être trop faible.
D’un autre côté, avec une probabilité de réussite trop forte l’expérience risque de tourner au flop lorsque
la première réussite arrive trop souvent avant la troisième tentative.
Pour trouver le bon compromis il est bon d’avoir en tête que l’espérance de la loi géométrique (non
tronquée) de paramètre p est 1/p.
Les choix d’une probabilité de réussite p = 1/9 et d’un nombre maximal d’essais n = 20 m’ont semblé
raisonnables pour que l’espérance conjecturée ait du sens.
3) Dans les dernières versions de xcas, l’affichage de la valeur d’une variable est accompagné du nom de
cette variable. Avec un autre logiciel, l’algorithme 1 de la version 2 peut nécessiter par exemple l’ajout
d’une instruction d’affichage du texte « c= » avant d’afficher la valeur de c.