LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.

LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
Pour bien comprendre ce chapitre, vous devez connaître la partie Trigonométrie du document : "A
retenir de l’année de 1èreS".
I. Fonctions sinus et cosinus.
Soit M un point du cercle trigonométrique associée au réel t
La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M dans le repère
( )
O;Å i;Å j est la fonction cosinus. Elle est définie sur Ë par f(x)=cos(x)
La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M dans le repère
( )
O;Å i;Å j est la fonction sinus. Elle est définie sur Ë par f(x)=sin(x)
II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Pour tout réel x, cos(-x)=................... On dit que la fonction cosinus
est ....................
Interprétation graphique : .
Pour tout réel x, sin(-x)=................... .On dit que la fonction sinus
est ...................
Interprétation graphique
Pour tout réel x, cos(x+2π)=................... et sin(x+2π)=................... On dit que les fonctions sinus et
cosinus sont ............................................................................................
Interprétation graphique :
Dans un repère ( ) O;Å i;Å j, les courbes des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par la translation de
vecteur 2㏠i.
Remarque : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2kπ, pour tout entier k.
Conséquence : on étudie les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle [0 ; 2π] puis on trace la courbe par
translation de vecteur 2㏠i.
III. Etude des fonctions sinus et cosinus.
Théorème (admis) :
La fonction cosinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ......................................
La fonction sinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ......................................

Variations sur ] π ; π] :
x -π
π x -π π
cos
’
(x) sin
’
(x)
cos(x)
sin(x) 1
On peut alors représenter graphiquement les fonctions :
 On trace la courbe sur [0 ; π]
 On trace la courbe sur [ π ; 0] par symétrie (par rapport à l’axe des ordonnées pour a fonction cosinus et
par rapport à l’origine pour la fonction sinus.
 On trace la courbe sur Ë par translations de vecteurs 2πÅ i.
Représentation graphique de la fonction cosinus :
Représentation graphique de la fonction sinus :
Ces courbes sont des ...................................
Remarque : pour tout réel x, on a cos x π
2 = ................... donc la courbe de la fonction sinus est l’image
de la courbe de la fonction cosinus par la translation de vecteur π
2 Å
i.
IV. Compléments sur les dérivées.
Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors les fonctions sin(u) et cos(u)
sont dérivables sur I et on a :................... ................... ................... ................... ...................
Conséquence : Pour tous réels a et b :
La fonction x→cos(ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→a×sin(ax+b)
La fonction x→sin(ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→a×cosax+b)
Exemples : soient f et g les fonctions définies sur Ë par f(x)=cos(2x1) et g(x)=sin(-3x+5).
Déterminer f ′(x) et g′(x).

Théorème :
Démonstration (à retenir) :
V. Equations trigonométriques.
Exemple 1 :
1. Résoudre dans Ë l’équation cos(x)= 2
2 .
2. Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équation précédente.
Exemple 2 :
1. Résoudre dans Ë l’équation 2sin²(2x)3sin(2x)=2.
2. Résoudre dans ] π ; π] l’équation précédente.
VI. Inéquations trigonométriques.
Résoudre dans [0 ; 2π[ l’inéquation cos 3x π
6 <  3
2