LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.

LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS.
Pour bien comprendre ce chapitre, vous devez connaître la partie Trigonométrie du document : "A
retenir de l’année de 1èreS".
I.
Fonctions sinus et cosinus.
Soit M un point du cercle trigonométrique associée au réel t
La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M dans le repère
(O; Åi ; Åj ) est la fonction cosinus. Elle est définie sur Ë par f (x)=cos(x)
La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M dans le repère
(O; Åi ; Åj ) est la fonction sinus. Elle est définie sur Ë par f (x)=sin(x)
II.
Propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Pour tout réel x, cos(-x)=................... On dit que la fonction cosinus
est ....................
Interprétation graphique : .
Pour tout réel x, sin(-x)=................... .On dit que la fonction sinus
est ...................
Interprétation graphique
Pour tout réel x, cos(x+2π)=................... et sin( x+2π)=................... On dit que les fonctions sinus et
cosinus sont ............................................................................................
Interprétation graphique :
Dans un repère (O; Å
i;Å
j ), les courbes des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par la translation de
vecteur 2π Å
i.
Remarque : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2kπ, pour tout entier k.
Conséquence : on étudie les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle [0 ; 2π] puis on trace la courbe par
translation de vecteur 2π Å
i.
III. Etude des fonctions sinus et cosinus.
Théorème (admis) :
La fonction cosinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ......................................
La fonction sinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ......................................
Variations sur ]­ π ; π] :
x
cos’(x)
cos(x)
-π
π
x
sin’(x)
sin(x)
-π
1
On peut alors représenter graphiquement les fonctions :
 On trace la courbe sur [0 ; π]
 On trace la courbe sur [­ π ; 0] par symétrie (par rapport à l’axe des ordonnées pour a fonction cosinus et
par rapport à l’origine pour la fonction sinus.
 On trace la courbe sur Ë par translations de vecteurs 2π Å
i.
Représentation graphique de la fonction cosinus :
Représentation graphique de la fonction sinus :
Ces courbes sont des ...................................
Remarque : pour tout réel x, on a cosx­ π  = ................... donc la courbe de la fonction sinus est l’image
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
de la courbe de la fonction cosinus par la translation de vecteur π Å
i.
2
IV.
Compléments sur les dérivées.
Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors les fonctions sin(u) et cos(u)
sont dérivables sur I et on a :................... ................... ................... ................... ...................
Conséquence : Pour tous réels a et b :
La fonction x→cos(ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→­a×sin(ax+b)
La fonction x→sin( ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→a×cosax+b)
Exemples : soient f et g les fonctions définies sur Ë par f (x)=cos(2x­1) et g(x)=sin(-3x+5).
Déterminer f ′(x) et g′(x).
π
Théorème :
Démonstration (à retenir) :
V. Equations trigonométriques.
Exemple 1 :
1.
2.
2 .
2
Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équation précédente.
Résoudre dans Ë l’équation cos(x)=­
Exemple 2 :
1.
Résoudre dans Ë l’équation 2sin²(2x)­3 sin(2x)=2.
2.
Résoudre dans ]­ π ; π] l’équation précédente.
VI.
Inéquations trigonométriques.
Résoudre dans [0 ; 2π[ l’inéquation cos3x­ π  < ­
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