LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS. Pour bien comprendre ce chapitre, vous devez connaître la partie Trigonométrie du document : "A retenir de l’année de 1èreS". I. Fonctions sinus et cosinus. Soit M un point du cercle trigonométrique associée au réel t La fonction qui à tout réel x associe l’abscisse de M dans le repère (O; Åi ; Åj ) est la fonction cosinus. Elle est définie sur Ë par f (x)=cos(x) La fonction qui à tout réel x associe l’ordonnée de M dans le repère (O; Åi ; Åj ) est la fonction sinus. Elle est définie sur Ë par f (x)=sin(x) II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus. Pour tout réel x, cos(-x)=................... On dit que la fonction cosinus est .................... Interprétation graphique : . Pour tout réel x, sin(-x)=................... .On dit que la fonction sinus est ................... Interprétation graphique Pour tout réel x, cos(x+2π)=................... et sin( x+2π)=................... On dit que les fonctions sinus et cosinus sont ............................................................................................ Interprétation graphique : Dans un repère (O; Å i;Å j ), les courbes des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par la translation de vecteur 2π Å i. Remarque : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2kπ, pour tout entier k. Conséquence : on étudie les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle [0 ; 2π] puis on trace la courbe par translation de vecteur 2π Å i. III. Etude des fonctions sinus et cosinus. Théorème (admis) : La fonction cosinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ...................................... La fonction sinus est dérivable sur Ë et, pour tout réel x, ...................................... Variations sur ]­ π ; π] : x cos’(x) cos(x) -π π x sin’(x) sin(x) -π 1 On peut alors représenter graphiquement les fonctions : On trace la courbe sur [0 ; π] On trace la courbe sur [­ π ; 0] par symétrie (par rapport à l’axe des ordonnées pour a fonction cosinus et par rapport à l’origine pour la fonction sinus. On trace la courbe sur Ë par translations de vecteurs 2π Å i. Représentation graphique de la fonction cosinus : Représentation graphique de la fonction sinus : Ces courbes sont des ................................... Remarque : pour tout réel x, on a cosx­ π = ................... donc la courbe de la fonction sinus est l’image 2 de la courbe de la fonction cosinus par la translation de vecteur π Å i. 2 IV. Compléments sur les dérivées. Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors les fonctions sin(u) et cos(u) sont dérivables sur I et on a :................... ................... ................... ................... ................... Conséquence : Pour tous réels a et b : La fonction x→cos(ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→­a×sin(ax+b) La fonction x→sin( ax+b) est dérivable sur Ë de dérivée x→a×cosax+b) Exemples : soient f et g les fonctions définies sur Ë par f (x)=cos(2x­1) et g(x)=sin(-3x+5). Déterminer f ′(x) et g′(x). π Théorème : Démonstration (à retenir) : V. Equations trigonométriques. Exemple 1 : 1. 2. 2 . 2 Résoudre dans [0 ; 2π[ l’équation précédente. Résoudre dans Ë l’équation cos(x)=­ Exemple 2 : 1. Résoudre dans Ë l’équation 2sin²(2x)­3 sin(2x)=2. 2. Résoudre dans ]­ π ; π] l’équation précédente. VI. Inéquations trigonométriques. Résoudre dans [0 ; 2π[ l’inéquation cos3x­ π < ­ 6 3 2