Master 2 : Mathématiques fondamentales 2014-2015

Master 2 : Mathématiques fondamentales
Universités d’Aix-Marseille et d’Avignon
2016–2017
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Structure des enseignements
Au premier semestre, chaque étudiant doit choisir 4 cours de tronc commun parmi 5
(durée 25 heures chacun). Au second semestre, il doit choisir 2 cours spécialisés parmi 5,
suivre un cours d’anglais (durée 25 heures chacun) et rédiger un mémoire sous la direction
d’un enseignant-chercheur de son choix.
Chacun des quatre cours de tronc commun fait l’objet d’un examen en janvier
(6 crédits). Les deux cours d’option ainsi que le cours d’anglais donnent lieu à un
examen en mai (6 crédits pour chacune des options et 3 crédits pour l’anglais). Une
soutenance du mémoire de stage a lieu en juin (21 crédits).
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Unités d’enseignement
Cours de tronc commun
1. Introduction à la géométrie algébrique (Guillaume Rond)
2. Théorie spectrale des opérateurs et dynamique linéaire (Stéphane Charpentier)
3. Surfaces de Riemann (Karl Oeljeklaus)
4. Introduction aux systèmes dynamiques (Pierre Arnoux)
5. Introduction à la géométrie des groupes (Martin Lustig et Thierry Coulbois)
Cours spécialisés
1. Géométrie algébrique et singularités (Anne Pichon)
2. Théorie du potentiel et estimations spectrales. Application à l’approximation complexe (Laurent Baratchart et Franck Wielonsky)
3. Théorie conforme des champs (Ctirad Klimcik)
4. Combinatoire des mots et dynamique symbolique (Anna Frid et Pierre Guillon)
5. Groupe des automorphismes du groupe libre - Outre espace (Arnaud Hilion et
Thierry Coulbois)
Note : Les cours auront lieu à Marseille sur les sites de Saint Charles, du CMI (site
principal) ou de Luminy.
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3.1
Programme des cours de tronc commun
Introduction à la géométrie algébrique (Guillaume Rond)
Depuis le début du vingtième siècle, la géométrie algébrique est un domaine central et des
plus féconds des mathématiques. L’objectif de ce cours est de donner une culture de base
en géométrie algébrique en introduisant et étudiant les notions classiques suivantes :
- Variétés algébriques affines, topologie de Zariski, dimension
- Théorème des zéros de Hilbert, anneaux de coordonnées
- Variétés projectives et quasi-projectives, clôture projective, fonctions régulières.
Le cours sera illustré par de nombreux exemples et donnera notamment quelques
constructions classiques telles que les applications de Veronèse, les coniques projectives,
les Grassmaniennes, etc.
La référence principale est le livre An invitation to algebraic geometry de Karen Smith,
Lauri Kahanpää, Pekka Kekäläinen et William Traves.
3.2
Théorie spectrale des opérateurs et dynamique linéaire (Stéphane Charpentier)
Ce cours consistera en deux parties ; la première sera consacrée aux bases de la théorie
spectrale des opérateurs, et la seconde se voudra être une introduction à la dynamique
linéaire. Dans la première partie du semestre, nous reviendrons sur les notions d’opérateur
linéaire borné, d’adjoint, de spectre, d’opérateur normal, positif, compact, de Fredholm,
nous parlerons de décomposition polaire et nous donnerons le théorème spectral de base
pour les opérateurs compacts normaux. Nous dirons peut-être quelques mots sur les opérateurs à trace.
Viendront ensuite la dynamique linéaire et à sa notion centrale qu’est l’hypercyclicité.
Un opérateur linéaire continu T d’un espace de Banach X dans lui-même est dit hypercyclique s’il existe un vecteur x de X tel que l’ensemble {T n x, n ≥ 0}, appelé orbite de x
sous l’action de T , est dense dans X. Un tel vecteur x est dit hypercyclique pour T .
Alors que les applications linéaires en dimension finie sont bien comprises grâce à
leur forme de Jordan, la situation est nettement plus compliquée en dimension infinie,
où des phénomènes frappants, comme l’hypercyclicité, apparaissent. La notion se trouve
être directement liée au célèbre problème du sous-espace invariant, toujours ouvert. Dans
ce cours, il ne s’agira pas d’explorer ce lien, mais de mettre en évidence divers aspects
importants de la notion d’hypercyclicité ; tout d’abord le fait qu’il n’a rien d’une simple
curiosité : tout espace de Banach séparable supporte un opérateur hypercyclique, et même
beaucoup (dans un sens à préciser). Ensuite, il apparaı̂t rapidement qu’un opérateur hypercyclique jouit de nombreuses propriétés, notamment spectrales, ce qui permet bien
souvent de dire quand un opérateur n’est pas hypercyclique. Un aspect très intéressant
est le fait qu’il existe des critères très simples d’utilisation, et très souvent vérifiés dans les
exemples ”concrêts”, pour déterminer qu’un opérateur est hypercyclique, mais dont il a été
très difficile de montrer qu’ils ne caractérisent pas l’hypercyclicité. La théorie comporte
également de très jolis résultats, notamment celui d’Ansari affirmant qu’un opérateur T
est hypercyclique si et seulement si l’un (ou chacun) de ses itérés T n l’est, ou encore celui
dû à Bourdon et Feldman qui assure qu’un opérateur est hypercyclique dès lors que l’une
de ses orbites est quelque part dense. Nous essaierons, si le temps le permet, d’introduire
les notions de chaos et de fréquente hypercyclicité, qui sont des raffinements importants de
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celle d’hypercyclicité. Nous tâcherons de dégager le lien qui existe entre elle, notamment
au travers d’un résultat très récent (2015) dû à Bayart et Rusza.
Il est à noter que les prérequis pour suivre ce cours sont assez peu importants et qu’ils
seront développés rapidement au tout début du cours. Nous ferons également quelques
compléments en analyse complexe, notamment en introduisant rapidement l’espace de
Hardy, qui seront utiles pour le cours du second semestre sur la Théorie du potentiel et
l’Approximation complexe (proposé par L. Baratchart et F. Wielonsky). Voici un programme plus détaillé :
3.2.1
Théorie spectrale et compléments d’analyse complexe
– Espaces de Hilbert, de Banach, de Fréchet ; rappel des grands théorèmes de base
d’analyse fonctionnelle.
– Opérateurs bornés, adjoint, spectre, résolvante ; opérateurs positifs et décomposition
polaire ; opérateurs normaux, auto-adjoints, compacts, théorème spectral pour les
opérateurs compacts normaux ; opérateurs de Fredholm et alternative de Fredholm ;
Opérateurs à trace.
– Compléments d’analyse complexe : Indice et homotopie ; théorème de Runge ; définitions et propriétés de base de l’espace de Hardy H 2 du disque.
3.2.2
Dynamique linéaire
– Opérateur hypercyclique : définition, opérateur topologiquement transitif, théorème
de Birkhoff, Critère d’Hypercyclicité, critère de Godefroy-Shapiro, quelques propriétés spectrales d’un opérateur hypercyclique. Trois exemples : dérivation, composition
et shifts à poids.
– Opérateur mélangeant, ”taille” de l’ensemble des opérateurs hypercycliques dans
L(X), ”taille” de l’ensemble des vecteurs hypercycliques dans X.
– Opérateur faiblement mélangeant ; équivalence entre satisfaire le Critère d’Hypercyclicité et être faiblement mélangeant ; autres caractérisation des opérateurs faiblement mélangeant. Brève évocation d’un résultat essential dû à De la Rosa et
Read.
– Quatre jolis théorèmes qui témoignent de la ”rigidité” de la notion d’hypercyclicité :
Théorème d’Ansari, théorème de Costaki/Peris, théorème de Bourdon-Feldman et
théorème de León Saavedra-Müller.
– Si le temps le permet : introduction à l’hypercyclicité fréquente et au chaos. Exemple
de Bayart-Grivaux d’un shift à poids fréquemment hypercyclique non-chaotique sur
c0 ; démonstration d’un résultat récent (2015) de Bayart et Rusza : sur lp , tout shift
à poids est chaotique si et seulement s’il est fréquemment hypercyclique.
3.3
Surfaces de Riemann (Karl Oeljeklaus)
Une surface de Riemann est une variété complexe de dimension complexe 1. Alors
chaque point d’une surface de Riemann admet un voisinage complex-analytiquement isomorphe à un ouvert de C et telle que les changements de cartes soient des fonctions biholomorphes. Cela permet de définir les notions de fonctions holomorphes et meromorphes
ainsi que celle de fibré en droites holomorphe. La théorie des surfaces de Riemann et
la théorie de Teichmüller jouent des roles très importants dans plusieurs domaines de
3
recherche, par exemple en géométrie complexe, géométrie algébrique, géométrie symplectique et en dynamique. Les thèmes abordés dans le cours seront :
1 Topologie : Surfaces différentiables et Revetements et groupe fondamental.
2 Le théorème d’uniformisation de Riemann.
3 Calcul différentiel : Formes différentielles et intégration des formes différentielles.
4 Faisceaux et groupes de cohomologie, diviseurs.
5 Les théorèmes fondamentaux : le théorème de Dolbeault, le théorème de dualité de
Serre, le théorème de Riemann-Roch.
6 Le théorème d’Abel, le groupe de Picard et la jacobienne d’une surface de Riemann.
7 Espaces de modules : Construction de l’espace de Teichmüller et de l’espace de
Schottky.
Il est fortement conseillé d’avoir suivi un cours d’analyse complexe, et un cours de
géométrie différentielle.
Bibliographie non exhaustive :
1) Forster : Lectures on Riemann Surfaces, Springer.
2) Schlichenmaier : An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces, Springer.
3) Reyssat : Quelques Aspects des Surfaces de Riemann, Birkh ?auser.
4) Freitag : Complex Analysis 2, Riemann Surfaces, Several Complex Variables, Abelian Functions, Higher Modular Functions, Springer.
3.4
Introduction aux systèmes dynamiques (Pierre Arnoux)
Ce cours introduit les concepts de base et les résultats fondamentaux de la théorie des
systèmes dynamique, du point de vue de la théorie de la mesure (théorie ergodique) et de
la topologie (dynamique topologique).
On exposera d’abord les bases de la théorie ergodique. On montrera les théorèmes
ergodiques (von Neumann et Birkhoff) qui sont des généralisations puissantes des lois des
grands nombres en probabilité, les différents types de mélange, et la théorie spectrale,
particulièrement utile pour les systèmes qui ne sont pas chaotiques.
On parlera ensuite de dynamique topologique, en étudiant les différents comportements
possibles des orbites (images itérées d’un point) d’une application continue d’un espace
topologique compact dans lui-même : périodicité, récurrence, minimalité, mélange, notion
d’entropie.
Le cours sera illustré de nombreux exemples venus de la combinatoire des mots, de
la géométrie et de la théorie des nombres ; on montrera divers types de comportements :
études de suites de rotation, points fixes de substitutions, suites sturmiennes, propriétés
du développement d’un nombre dans diverses bases, fractions continues classiques ou
généralisées. On étudiera aussi des exemples de nature géométrique, en particulier le flot
géodésique sur des surfaces hyperboliques, en utilisant la notion de codage, et on montrera
les connexions avec la combinatoire des mots et la théorie des nombres.
L’un des exemples essentiels de ce cours est celui des suites de 0 et de 1 ; des résultats
plus approfondis et plus récents sur ce sujet seront donnés dans le cours d’option d’Anna
Frid et Pierre Guillon.
3.4.1
Théorie ergodique
Systèmes dynamiques mesurables. Exemples issus de la géométrie, de la dynamique
symbolique et de la théorie des nombres.
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Théorème de récurrence de Poincaré. Théorèmes ergodiques de von Neumann et de
Birkhoff. Propriétés ergodiques : ergodicité, mélange faible et théorie spectrale, mélange
fort. Classification des systèmes à spectre discret. Entropie métrique.
3.4.2
Dynamique topologique
Systèmes discrets (fonction) et systèmes continus (flots).
Systèmes dynamiques topologiques. Point fixe, périodique, récurrent. Ensemble errant
et non-errant, transitivité topologique, mélange topologique, minimalité, entropie topologique. Exemples.
3.4.3
Quelques constructions classiques
Application de premier retour d’un flot sur une section.
Suspension d’une application avec temps de retour donné.
Extension naturelle au sens de Rokhlin.
Construction de mesures invariantes.
Application à des problèmes de géométrie et de théorie des nombres et de combinatoire : du billard aux fractions continues, au flot géodésique sur la surface modulaire et
aux substitutions.
Bibliographie
1. Einsiedler-Ward, Ergodic theory with a view towards number theory.
2. Halmos, Ergodic theory (livre ancien, qui a l’avantage d’être court et d’aller très
vite au coeur du sujet).
3. Katok-Hasselblatt, A first course in dynamics et Introduction to the modern
theory of dynamical systems.
4. Sinai-Fomin-Cornfeld, Ergodic theory.
5. Pytheas Fogg, Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics.
3.5
Introduction à la géométrie des groupes (Martin Lustig et
Thierry Coulbois)
Dans les trente dernières années, une idée, particulièrement fructueuse, s’est imposée
pour l’étude des groupes discrets : il s’agit d’appliquer des notions issues de la géométrie
hyperbolique à l’étude des groupes discrets. Cela a participé à établir une nouvelle branche
des mathématiques, qu’on appelle “géométrie des groupes”. Le but de ce cours est, après
avoir introduit les notions de base de la combinatoire des groupes, de présenter quelques
notions et techniques modernes en géométrie des groupes. On s’attardera en particulier
sur :
1. Groupe fondamental d’un espace topologique – Revêtements.
2. Groupes libres (en particulier : aspects algorithmiques).
3. Présentation de groupes, algorithme de Dehn, groupes à petites simplifications.
4. Action de groupe sur des arbres – Scindements de groupes (Théorie de Bass-Serre).
5. Groupes hyperboliques – Bords de groupes.
5
Bibliographie :
[1] Bridson, Martin ; Haefliger, André Metric spaces of non-positive curvature, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical
Sciences], Vol. 319. Springer-Verlag, Berlin,1999.
[2] Lyndon, Roger C. ; Schupp, Paul E. Combinatorial group theory. Reprint of the 1977
edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[3] Massey, William S. Algebraic topology : an introduction. Reprint of the 1967 edition.
Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
[4] Serre, Jean-Pierre. Arbres, amalgames, SL2 . Rédigé avec la collaboration de Hyman
Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
4
Programme des cours spécialisés
4.1
Géométrie algébrique et singularités (Anne Pichon)
Ce cours se situe dans la continuité du cours d’introduction à la géométrie algébrique. Son
objectif est double : compléter les connaissances acquises en géométrie algébrique, notamment par la géométrie birationnelle, et présenter des résultats classiques sur la topologie
et la géométrie des espaces singuliers complexes. On abordera les notions suivantes :
- Espace tangent en un point lisse, application de Gauss,
- Applications rationnelles, équivalences birationnelles, éclatements
- Résolution des singularités - exemple des courbes
- Points singuliers des hypersurfaces complexes. Link, théorie de Milnor.
Le cours sera illustré par de nombreux exemples notamment sur les courbes et surfaces
complexes. Les deux références sont le livre An invitation to algebraic geometry déjà utilisé
pour le cours d’introduction à la géométrie algébrique et le livre On the Topology of Isolated
Singularities in Analytic Spaces de José Seade.
4.2
Théorie du potentiel et estimations spectrales. Application
à l’approximation complexe (Laurent Baratchart et Franck
Wielonsky)
Le cours présente une introduction à la théorie du potentiel dans le plan et ses applications à l’estimation des valeurs singulières d’opérateurs Hilbertiens classiques : les
opérateurs de restriction analytique et les opérateurs de Hankel. Nous conjuguerons ces
résultats avec la théorie d’Adamjan-Arov-Krein, reliant le spectre des opérateurs de Hankel à l’approximation méromorphe, pour fournir une preuve des théorèmes de Walsh et de
Parfenov (anciennement conjecture de Gonchar) sur la vitesse de convergence en approximation rationnelle d’une fonction analytique sur un compact du domaine d’analyticité.
Cette illustration sera le point culminant du cours.
4.2.1
Compléments d’analyse complexe
1. Applications conformes et espaces de Hardy sur les domaines analytiques plans
simplement connexes.
2. Projection de Cauchy, formules de Plemelj, opérateur de Cauchy singulier sur une
courbe lisse.
6
4.2.2
Rappels sur les opérateurs compacts
1. Spectre d’un opérateur compact.
2. Valeurs singulières, inégalités de Horn.
4.2.3
Théorie de potentiel
1. potentiels logarithmiques et potentiels de Green sur un domaine plan.
2. Potentiels et mesures d’équilibre, capacité d’un ensemble compact.
4.2.4
Opérateurs de restriction
1. Opérateurs de restriction, notion de n-ième épaisseur.
2. Valeurs singulières de la restriction H 2 → L2 (E) où E est un compact d’un domaine
analytique et H 2 l’espace de Hardy de ce domaine.
3. Estimation des valeurs singulières en racine n-ième par la capacité de Green de E.
4.2.5
Opérateurs de Hankel
1. Opérateurs de Hankel sur l’espace H 2 du disque, critère de compacité.
2. décomposition de Parfenov et estimation des valeurs singulières en racine n-ième
par la théorie du potentiel lorsque le symbole se prolonge analytiquement.
3. Théorie d’Adamjan-Arov-Krein sur l’approximation méromorphe.
4.2.6
Approximation rationnelle
1. Approximation par des fonctions rationnelles sur les compacts du domaine d’analyticité. Le théorème de Runge.
2. Approximation méromorphe et approximation rationnelle.
3. La borne supérieure de Walsh sur l’erreur d’approximation, en fonction du degré.
4. La borne supérieure de Parfenov sur la lim inf de l’erreur d’approximation (preuve
de la conjecture de Gonchar).
Bibliographie :
[1] M. J. Ablowitz and A. S. Fokas, Complex Variables : Introduction and Applications,
2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK (2003).
[2] A. Boettcher and Y. Karlovich, Carleson Curves, Muckenhoupt Weights, and Toeplitz
Operators, Progress in Math. 154, Birkhauser, 1997.
[3] S. D. Fisher, Function Theory on Planar Domains : A Second Course in Complex
Analysis, Dover, 2007.
[4] I. C. Gohberg and M. G. Krein, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint
operator, Translation of Math. Monographs, vol. 18, Amer. Math. Soc., Providence,
(1969).
[5] N. K. Nikolskii, Operators, Functions, and Systems : An Easy Reading. Part I, vol. 92
of Math. Surveys and Monographs. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
[6] O. G. Parfenov, Estimates of the singular numbers of a Carleson operator. Mat. Sb.,
131(171) :501 ?518, 1986. English. transl. in Math. USSR Sb. 59 :497 ?514, 1988.
7
[7] T. Ransford, Potential theory in the complex plane, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[8] E. B. Saff and V. Totik, Logarithmic potentials with external fields, Springer-Verlag,
Berlin, 1997.
[9] N. J. Young, An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, 1988.
4.3
Théorie conforme des champs (Ctirad Klimcik)
La théorie conforme des champs est une discipline qui se place sur la frontière entre
les mathématiques et la physique théorique et qui continue à séduire un grand nombre
de chercheurs (depuis trente ans à présent) par son énorme richesse structurelle et par sa
beauté. Bien qu’il soit impossible d’exposer aux étudiants plus qu’une petite fraction de
ce qui est connu dans la matière il s’agit néanmoins d’une aventure intellectuelle qui vaut
la peine à suivre.
La théorie conforme des champs est avant tout une représentation d’une certaine structure algébro-géométrique assez complexe appelée l’algèbre de vertex à la description de
laquelle nous consacrons une partie importante du cours. L’ingrédient technique crucial
à maitriser pour comprendre cette structure et le soi-disant soudage conforme des surfaces de Riemann à bord. Le soudage conforme des surfaces de genre zéro avec deux bords
d’orientations opposées définit une sous-structure appelée le semi-groupe de Neretin-Segal
dont la théorie de représentation est intimement liée avec celle du groupe de Virasoro. Tout
ce formalisme aboutit au final à la construction de soi-disant fonctions de corrélation de
certaines théories des champs quantiques utilisées par exemple dans la théorie des cordes.
Les thèmes abordés dans le cours seront :
1) Les champs quantiques
2) Symétrie de Weyl et symétrie conforme
2) Les identités de Ward version Eguchi-Ooguri
3) Quantification radiale et reconstruction d’Osterwalder-Schrader
4) ”Operator product expansion”, fusion, ”conformal blocks”
5) L’algèbre de Virasoro, ses représentations, modèles minimales
6) Les surfaces de Riemann, le soudage conforme, les axiomes de Segal, algèbres de
vertex, relation de Borcherds
Il est fortement conseillé d’avoir suivi le cours de tronc commun sur les surfaces de
Riemann (K. Oeljeklaus) et de connaı̂tre des bases de la géométrie différentielle et de la
théorie des représentations de groupes.
Bibliographie :
1) G. Segal, The Definition of Conformal Field Theory, in : Topology, Geometry and
Quantum Field theory, London. Math. Soc. LNS 308, edited by Ulrike Tillmann, Cambridge Univ. Press 2004, 247-343
2) K. Gawedzki, Lectures on conformal field theory, Lecture Notes Princeton 1996,
http ://www.math.ias.edu/QFT/fall/index.html
3) M. Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory, Lecture
Notes in Physics, Volume 759, Springer-Verlag 2008
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4.4
Combinatoire des mots et dynamique symbolique (Anna
Frid et Pierre Guillon)
Dans la première partie de ce cours, nous parlerons de cent ans d’évolution de la
combinatoire des mots. Ce domaine a été initié par la question suivante : Existe-t-il un
mot infini qui ne contient jamais deux fois le même mot fini consécutivement ? La première
solution a été donnée par Thue en 1906 ; on peut en voir une autre comme point fixe de
la substitution 0 7→ 012 ; 1 7→ 02 ; 2 7→ 1 (les images de mots sont les concaténations
des images de leurs lettres), en itérant à partir de 0 : 012021012102 · · · . Nous étudierons
également la classe des mots sturmiens, brièvement étudiés dans le cours de base, qui
peuvent être vus comme des codages de droites irrationnelles. Nous verrons également
plusieurs notions de complexité, ainsi que différentes propriétés autour des mots infinis.
Ces mots finis peuvent être vus comme codant des systèmes dynamiques : on partage
l’espace en deux, et on note 0 ou 1 suivant que l’orbite passe dans l’une ou l’autre des
deux parties. Par exemple, les sturmiens codent les rotations ou les billards rectangulaires
(on note la suite des bords touchés par la boule). L’application du système dynamique est
transformée en un simple décalage de ces mots infinis (on lit chaque symbole successivement). La deuxième partie sera consacrée à ces sous-décalages, qui peuvent se définir d’une
part comme des systèmes dynamiques sur le Cantor, ou bien comme des ensembles de mots
infinis évitant une famille de mots finis. Cette dualité entre le point de vue topologique et
le point de vue combinatoire se retrouve dans les autres concepts et résultats. En particulier, nous verrons comment les nombreuses propriétés dynamiques définies dans le cours
de base (transitivité, récurrence, mélange, entropie, . . . ) des familles de sous-décalages de
type fini et sofiques peuvent se caractériser via la théorie des graphes et l’algèbre linéaire.
Suivant le temps et la motivation, nous ouvrirons des portes vers d’autres points de
vue : les automates cellulaires (tel le jeu de la vie) et leurs codages, les généralisations plus
récentes à des sous-décalages bidimensionnels (correspondant aux pavages, et donc calculatoirement très complexes, contrairement à leurs homologues unidimensionnels) voire
indexés par des groupes.
Ce cours fait suite au cours fondamental de Systèmes Dynamiques au premier semestre.
Bibliographie
1. Lind-Marcus, An Introduction to Symbolic Dynamics and Coding.
2. Lothaire, Applied Combinatorics on Words.
3. Berthé-Rigo, Combinatorics, Automata, and Number Theory.
4. Kůrka, Topological and Symbolic Dynamics.
4.5
Groupe des automorphismes du groupe libre - Outre espace
(Arnaud Hilion et Thierry Coulbois)
Ce cours poursuit un double objectif :
– Expliquer comment les travaux de Thurston sur les surfaces ont influencé (et influencent encore) l’étude du groupe Out(FN ) des automorphisme extérieurs du
groupe libre de rang N et présenter les résultats récents obtenus sur Out(FN ).
– Constituer, pour l’étudiant qui souhaiterait commencer une thèse dans cette thématique, une boite à outils “spécialisés” assez complète.
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Ce cours s’appuie sur le cours du premier semestre Introduction à la géométrie des groupes.
On y parlera de :
1. Laminations géodésiques sur une surface hyperbolique – Liens entre laminations géodésiques mesurées, feuillages mesurés et courants.
2. Laminations algébriques, courants, fonction de Kolmogorov.
3. Systèmes d’isométries partielles en dimension 1 (échanges d’intervalles, translations
d’intervalles, systèmes d’isométries partielles sur un arbre compact).
4. Arbres réels munis d’une action par isométries d’un groupe libre – Lamination duale à
un arbre réel – Dynamique symbolique associée.
5. Train-tracks pour les groupes libres. Pliages et métrique Lipschitz dans l’outre-espace.
6. Complexe des courbes – Complexe des facteurs libres et complexe des scindements
libres.
Bibliographie :
[1] Bestvina, Mladen. A Bers-like proof of the existence of train tracks for free group
automorphisms. Fund. Math. 214 (2011), no. 1, 1-12.
[2] Bestvina, Mladen ; Handel, Michael. Train tracks and automorphisms of free groups,
Ann. of Math. 135 (1992), no. 1, 1-51.
[3] Bonahon, Francis. The geometry of Teichmüller space via geodesic currents. Invent.
Math. 92 (1988), no. 1, 139-162.
[4] Casson, Andrew J. ; Bleiler, Steven A. Automorphisms of surfaces after Nielsen and
Thurston. London Mathematical Society Student Texts, 9. Cambridge University Press,
Cambridge, 1988.
[5] Coulbois, Thierry ; Hilion, Arnaud ; Lustig, Martin. R-trees, dual laminations and compact systems of partial isometries. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 147 (2009), no.
2, 345-368.
[6] Fathi, Albert ; Laudenbach, François ; Poénaru, Valentin. Travaux de Thurston sur les
surfaces. Astérisque, 66-67. Société Mathématique de France, Paris, 1979. 284 pp.
[7] Francaviglia, Stefano and Martino, Armando. Metric properties of outer space. Publ.
Mat. 55 (2011), no. 2, 433-473.
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