Master 2 : Mathématiques fondamentales 2014-2015

Master 2 : Math´ematiques fondamentales
Universit´es d’Aix-Marseille et d’Avignon
2016–2017
1 Structure des enseignements
Au premier semestre, chaque ´etudiant doit choisir 4 cours de tronc commun parmi 5
(dur´ee 25 heures chacun). Au second semestre, il doit choisir 2 cours sp´ecialis´es parmi 5,
suivre un cours d’anglais (dur´ee 25 heures chacun) et r´ediger un m´emoire sous la direction
d’un enseignant-chercheur de son choix.
Chacun des quatre cours de tronc commun fait l’objet d’un examen en janvier
(6 cr´edits). Les deux cours d’option ainsi que le cours d’anglais donnent lieu `a un
examen en mai (6 cr´edits pour chacune des options et 3 cr´edits pour l’anglais). Une
soutenance du m´emoire de stage a lieu en juin (21 cr´edits).
2 Unit´es d’enseignement
Cours de tronc commun
1. Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique (Guillaume Rond)
2. Th´eorie spectrale des op´erateurs et dynamique lin´eaire (St´ ephane Charpentier)
3. Surfaces de Riemann (Karl Oeljeklaus)
4. Introduction aux syst`emes dynamiques (Pierre Arnoux)
5. Introduction `a la g´eom´etrie des groupes (Martin Lustig et Thierry Coulbois)
Cours sp´ecialis´es
1. G´eom´etrie alg´ebrique et singularit´es (Anne Pichon)
2. Th´eorie du potentiel et estimations spectrales. Application `a l’approximation com-
plexe (Laurent Baratchart et Franck Wielonsky)
3. Th´eorie conforme des champs (Ctirad Klimcik)
4. Combinatoire des mots et dynamique symbolique (Anna Frid et Pierre Guillon)
5. Groupe des automorphismes du groupe libre - Outre espace (Arnaud Hilion et
Thierry Coulbois)
Note : Les cours auront lieu `a Marseille sur les sites de Saint Charles, du CMI (site
principal) ou de Luminy.
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3 Programme des cours de tronc commun
3.1 Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique (Guillaume Rond)
Depuis le d´ebut du vingti`eme si`ecle, la g´eom´etrie alg´ebrique est un domaine central et des
plus f´econds des math´ematiques. L’objectif de ce cours est de donner une culture de base
en g´eom´etrie alg´ebrique en introduisant et ´etudiant les notions classiques suivantes :
- Vari´et´es alg´ebriques affines, topologie de Zariski, dimension
- Th´eor`eme des z´eros de Hilbert, anneaux de coordonn´ees
- Vari´et´es projectives et quasi-projectives, clˆoture projective, fonctions r´eguli`eres.
Le cours sera illustr´e par de nombreux exemples et donnera notamment quelques
constructions classiques telles que les applications de Veron`ese, les coniques projectives,
les Grassmaniennes, etc.
La r´ef´erence principale est le livre An invitation to algebraic geometry de Karen Smith,
Lauri Kahanp¨ a¨ a, Pekka Kek¨ al¨ ainen et William Traves.
3.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs et dynamique lin´eaire (St´e-
phane Charpentier)
Ce cours consistera en deux parties ; la premi`ere sera consacr´ee aux bases de la th´eorie
spectrale des op´erateurs, et la seconde se voudra ˆetre une introduction `a la dynamique
lin´eaire. Dans la premi`ere partie du semestre, nous reviendrons sur les notions d’op´erateur
lin´eaire born´e, d’adjoint, de spectre, d’op´erateur normal, positif, compact, de Fredholm,
nous parlerons de d´ecomposition polaire et nous donnerons le th´eor`eme spectral de base
pour les op´erateurs compacts normaux. Nous dirons peut-ˆetre quelques mots sur les op´e-
rateurs `a trace.
Viendront ensuite la dynamique lin´eaire et `a sa notion centrale qu’est l’hypercyclicit´e.
Un op´erateur lin´eaire continu Td’un espace de Banach Xdans lui-mˆeme est dit hypercy-
clique s’il existe un vecteur xde Xtel que l’ensemble {Tnx, n ≥0}, appel´e orbite de x
sous l’action de T, est dense dans X. Un tel vecteur xest dit hypercyclique pour T.
Alors que les applications lin´eaires en dimension finie sont bien comprises grˆace `a
leur forme de Jordan, la situation est nettement plus compliqu´ee en dimension infinie,
o`u des ph´enom`enes frappants, comme l’hypercyclicit´e, apparaissent. La notion se trouve
ˆetre directement li´ee au c´el`ebre probl`eme du sous-espace invariant, toujours ouvert. Dans
ce cours, il ne s’agira pas d’explorer ce lien, mais de mettre en ´evidence divers aspects
importants de la notion d’hypercyclicit´e ; tout d’abord le fait qu’il n’a rien d’une simple
curiosit´e : tout espace de Banach s´eparable supporte un op´erateur hypercyclique, et mˆeme
beaucoup (dans un sens `a pr´eciser). Ensuite, il apparaˆıt rapidement qu’un op´erateur hy-
percyclique jouit de nombreuses propri´et´es, notamment spectrales, ce qui permet bien
souvent de dire quand un op´erateur n’est pas hypercyclique. Un aspect tr`es int´eressant
est le fait qu’il existe des crit`eres tr`es simples d’utilisation, et tr`es souvent v´erifi´es dans les
exemples ”concrˆets”, pour d´eterminer qu’un op´erateur est hypercyclique, mais dont il a ´et´e
tr`es difficile de montrer qu’ils ne caract´erisent pas l’hypercyclicit´e. La th´eorie comporte
´egalement de tr`es jolis r´esultats, notamment celui d’Ansari affirmant qu’un op´erateur T
est hypercyclique si et seulement si l’un (ou chacun) de ses it´er´es Tnl’est, ou encore celui
dˆu `a Bourdon et Feldman qui assure qu’un op´erateur est hypercyclique d`es lors que l’une
de ses orbites est quelque part dense. Nous essaierons, si le temps le permet, d’introduire
les notions de chaos et de fr´equente hypercyclicit´e, qui sont des raffinements importants de
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celle d’hypercyclicit´e. Nous tˆacherons de d´egager le lien qui existe entre elle, notamment
au travers d’un r´esultat tr`es r´ecent (2015) dˆu `a Bayart et Rusza.
Il est `a noter que les pr´erequis pour suivre ce cours sont assez peu importants et qu’ils
seront d´evelopp´es rapidement au tout d´ebut du cours. Nous ferons ´egalement quelques
compl´ements en analyse complexe, notamment en introduisant rapidement l’espace de
Hardy, qui seront utiles pour le cours du second semestre sur la Th´eorie du potentiel et
l’Approximation complexe (propos´e par L. Baratchart et F. Wielonsky). Voici un pro-
gramme plus d´etaill´e :
3.2.1 Th´eorie spectrale et compl´ements d’analyse complexe
– Espaces de Hilbert, de Banach, de Fr´echet ; rappel des grands th´eor`emes de base
d’analyse fonctionnelle.
– Op´erateurs born´es, adjoint, spectre, r´esolvante ; op´erateurs positifs et d´ecomposition
polaire ; op´erateurs normaux, auto-adjoints, compacts, th´eor`eme spectral pour les
op´erateurs compacts normaux ; op´erateurs de Fredholm et alternative de Fredholm ;
Op´erateurs `a trace.
– Compl´ements d’analyse complexe : Indice et homotopie ; th´eor`eme de Runge ; d´efi-
nitions et propri´et´es de base de l’espace de Hardy H2du disque.
3.2.2 Dynamique lin´eaire
– Op´erateur hypercyclique : d´efinition, op´erateur topologiquement transitif, th´eor`eme
de Birkhoff, Crit`ere d’Hypercyclicit´e, crit`ere de Godefroy-Shapiro, quelques propri´e-
t´es spectrales d’un op´erateur hypercyclique. Trois exemples : d´erivation, composition
et shifts `a poids.
– Op´erateur m´elangeant, ”taille” de l’ensemble des op´erateurs hypercycliques dans
L(X), ”taille” de l’ensemble des vecteurs hypercycliques dans X.
– Op´erateur faiblement m´elangeant ; ´equivalence entre satisfaire le Crit`ere d’Hyper-
cyclicit´e et ˆetre faiblement m´elangeant ; autres caract´erisation des op´erateurs fai-
blement m´elangeant. Br`eve ´evocation d’un r´esultat essential dˆu `a De la Rosa et
Read.
– Quatre jolis th´eor`emes qui t´emoignent de la ”rigidit´e” de la notion d’hypercyclicit´e :
Th´eor`eme d’Ansari, th´eor`eme de Costaki/Peris, th´eor`eme de Bourdon-Feldman et
th´eor`eme de Le´on Saavedra-M¨ uller.
– Si le temps le permet : introduction `a l’hypercyclicit´e fr´equente et au chaos. Exemple
de Bayart-Grivaux d’un shift `a poids fr´equemment hypercyclique non-chaotique sur
c0; d´emonstration d’un r´esultat r´ecent (2015) de Bayart et Rusza : sur lp, tout shift
`a poids est chaotique si et seulement s’il est fr´equemment hypercyclique.
3.3 Surfaces de Riemann (Karl Oeljeklaus)
Une surface de Riemann est une vari´et´e complexe de dimension complexe 1. Alors
chaque point d’une surface de Riemann admet un voisinage complex-analytiquement iso-
morphe `a un ouvert de C et telle que les changements de cartes soient des fonctions biho-
lomorphes. Cela permet de d´efinir les notions de fonctions holomorphes et meromorphes
ainsi que celle de fibr´e en droites holomorphe. La th´eorie des surfaces de Riemann et
la th´eorie de Teichm¨ uller jouent des roles tr`es importants dans plusieurs domaines de
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recherche, par exemple en g´eom´etrie complexe, g´eom´etrie alg´ebrique, g´eom´etrie symplec-
tique et en dynamique. Les th`emes abord´es dans le cours seront :
1 Topologie : Surfaces diff´erentiables et Revetements et groupe fondamental.
2 Le th´eor`eme d’uniformisation de Riemann.
3 Calcul diff´erentiel : Formes diff´erentielles et int´egration des formes diff´erentielles.
4 Faisceaux et groupes de cohomologie, diviseurs.
5 Les th´eor`emes fondamentaux : le th´eor`eme de Dolbeault, le th´eor`eme de dualit´e de
Serre, le th´eor`eme de Riemann-Roch.
6 Le th´eor`eme d’Abel, le groupe de Picard et la jacobienne d’une surface de Riemann.
7 Espaces de modules : Construction de l’espace de Teichm¨ uller et de l’espace de
Schottky.
Il est fortement conseill´e d’avoir suivi un cours d’analyse complexe, et un cours de
g´eom´etrie diff´erentielle.
Bibliographie non exhaustive :
1) Forster : Lectures on Riemann Surfaces, Springer.
2) Schlichenmaier : An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Mo-
duli Spaces, Springer.
3) Reyssat : Quelques Aspects des Surfaces de Riemann, Birkh ?auser.
4) Freitag : Complex Analysis 2, Riemann Surfaces, Several Complex Variables, Abe-
lian Functions, Higher Modular Functions, Springer.
3.4 Introduction aux syst`emes dynamiques (Pierre Arnoux)
Ce cours introduit les concepts de base et les r´esultats fondamentaux de la th´eorie des
syst`emes dynamique, du point de vue de la th´eorie de la mesure (th´eorie ergodique) et de
la topologie (dynamique topologique).
On exposera d’abord les bases de la th´eorie ergodique. On montrera les th´eor`emes
ergodiques (von Neumann et Birkhoff) qui sont des g´en´eralisations puissantes des lois des
grands nombres en probabilit´e, les diff´erents types de m´elange, et la th´eorie spectrale,
particuli`erement utile pour les syst`emes qui ne sont pas chaotiques.
On parlera ensuite de dynamique topologique, en ´etudiant les diff´erents comportements
possibles des orbites (images it´er´ees d’un point) d’une application continue d’un espace
topologique compact dans lui-mˆeme : p´eriodicit´e, r´ecurrence, minimalit´e, m´elange, notion
d’entropie.
Le cours sera illustr´e de nombreux exemples venus de la combinatoire des mots, de
la g´eom´etrie et de la th´eorie des nombres ; on montrera divers types de comportements :
´etudes de suites de rotation, points fixes de substitutions, suites sturmiennes, propri´et´es
du d´eveloppement d’un nombre dans diverses bases, fractions continues classiques ou
g´en´eralis´ees. On ´etudiera aussi des exemples de nature g´eom´etrique, en particulier le flot
g´eod´esique sur des surfaces hyperboliques, en utilisant la notion de codage, et on montrera
les connexions avec la combinatoire des mots et la th´eorie des nombres.
L’un des exemples essentiels de ce cours est celui des suites de 0 et de 1 ; des r´esultats
plus approfondis et plus r´ecents sur ce sujet seront donn´es dans le cours d’option d’Anna
Frid et Pierre Guillon.
3.4.1 Th´eorie ergodique
Syst`emes dynamiques mesurables. Exemples issus de la g´eom´etrie, de la dynamique
symbolique et de la th´eorie des nombres.
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Th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e. Th´eor`emes ergodiques de von Neumann et de
Birkhoff. Propri´et´es ergodiques : ergodicit´e, m´elange faible et th´eorie spectrale, m´elange
fort. Classification des syst`emes `a spectre discret. Entropie m´etrique.
3.4.2 Dynamique topologique
Syst`emes discrets (fonction) et syst`emes continus (flots).
Syst`emes dynamiques topologiques. Point fixe, p´eriodique, r´ecurrent. Ensemble errant
et non-errant, transitivit´e topologique, m´elange topologique, minimalit´e, entropie topolo-
gique. Exemples.
3.4.3 Quelques constructions classiques
Application de premier retour d’un flot sur une section.
Suspension d’une application avec temps de retour donn´e.
Extension naturelle au sens de Rokhlin.
Construction de mesures invariantes.
Application `a des probl`emes de g´eom´etrie et de th´eorie des nombres et de combina-
toire : du billard aux fractions continues, au flot g´eod´esique sur la surface modulaire et
aux substitutions.
Bibliographie
1. Einsiedler-Ward,Ergodic theory with a view towards number theory.
2. Halmos,Ergodic theory (livre ancien, qui a l’avantage d’ˆetre court et d’aller tr`es
vite au coeur du sujet).
3. Katok-Hasselblatt,A first course in dynamics et Introduction to the modern
theory of dynamical systems.
4. Sinai-Fomin-Cornfeld,Ergodic theory.
5. Pytheas Fogg,Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics.
3.5 Introduction `a la g´eom´etrie des groupes (Martin Lustig et
Thierry Coulbois)
Dans les trente derni`eres ann´ees, une id´ee, particuli`erement fructueuse, s’est impos´ee
pour l’´etude des groupes discrets : il s’agit d’appliquer des notions issues de la g´eom´etrie
hyperbolique `a l’´etude des groupes discrets. Cela a particip´e `a ´etablir une nouvelle branche
des math´ematiques, qu’on appelle “g´eom´etrie des groupes”. Le but de ce cours est, apr`es
avoir introduit les notions de base de la combinatoire des groupes, de pr´esenter quelques
notions et techniques modernes en g´eom´etrie des groupes. On s’attardera en particulier
sur :
1. Groupe fondamental d’un espace topologique – Revˆetements.
2. Groupes libres (en particulier : aspects algorithmiques).
3. Pr´esentation de groupes, algorithme de Dehn, groupes `a petites simplifications.
4. Action de groupe sur des arbres – Scindements de groupes (Th´eorie de Bass-Serre).
5. Groupes hyperboliques – Bords de groupes.
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