x² + 12x

Correction du devoir de mathématiques N° 6 pour le 15/01/10
Partie 1 : A = 36 – ( x – 6 )2 et B = ( 10 – x )( x – 2)
1) a) Développer et réduire A
A = 36 – ( x – 6 )2
A = 36 – ( x² – 12x +36 )
A = 36 – x² + 12x – 36
Autre méthode pour factoriser A : (plus longue)
A = – x² + 12x
b) Factoriser A.
A = – x² + 12x
A = x (– x + 12)
A= 6² - (x-6)²
A = [6 – (x - 6) ] x)[ 6 +( x - 6)]
A= (6 - x+6) ( x)
A = x (12 – x)
c) Résoudre l’équation : A = 0.
On utilise la forme factorisée de A : A = x (– x + 12)
x (– x + 12) = 0
un produit est nul si l’un des facteurs est nul et réciproquement
x = 0 ou - x + 12 = 0
x = 12
Les solutions de l’équation sont 0 et 12.
2) a) Résoudre l’équation : B = 0
( 10 – x ) ( x – 2) = 0
un produit est nul si l’un des facteurs est nul et réciproquement
10 – x = 0 ou x – 2 = 0
x = 10
ou
x=2
Les solutions de l’équation sont 10 et 2.
b) Développer et réduire l’expression B
B = ( 10 – x )( x – 2)
B = 10x – 20 – x² + 2x
B = – x² + 12x – 20
3) Calculer A et B pour x = √8 .
Exprimer le résultat sous la forme a + b√2
A = – x² + 12x
Si = √8 alors A = −√8 + 12 × √8
B = – x² + 12x – 20
B = A – 20
A = −8 + 12√4 × 2
B = −8 + 24√2 –20
= − + √
B = − + √
Partie 2 : L’unité est le centimètre. Sur la figure géométrique codée, on a :
EF = AF = BF, AD + EF = 6 et EF = x , x désigne un nombre compris entre 0 et 6.
1) Exprimer l’aire de la figure EADCB en fonction de x.
L’aire de la figure EADCB est égale à la somme de l’aire du rectangle ABCD et de l’aire du triangle ABE
= + = × +
× 2
= 26 − +
2 × 2
= 12 − 2² + ²
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= −%² + &%
on reconnaît l’expression A donc
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= A.
2) On veut déterminer la longueur EF telle que l’aire de la figure EADCB est égale à 20 cm2.
a) Ecrire l’équation correspondante.
– x² + 12x = 20 soit – x² + 12x – 20 = 0
b) Quelle équation de la partie 1 permet de résoudre ce problème ? expliquer votre réponse
On reconnaît l’équation B = 0 de la question 2) a)
c) En déduire la longueur EF cherchée.
Cette équation a deux solutions : 10 et 2
Or 0 < < 6 donc la solution est 2
EF = 2 cm
3) On suppose que BE = 4 cm
a) Calculer x (trouver sa valeur exacte)
Le triangle EBF est rectangle en F donc d’après le théorème de Pythagore on a :
EB² = EF² + BF²
4² = x² + x²
16 = 2x²
16
² =
2
² = 8
x représente la longueur EF donc x > 0 donc x = √ cm
b) Calculer l’aire de la figure EADCB.
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au mm² près.
D’après la question 1) l’aire de la figure EADCB est égale à A c'est-à-dire – x² + 12x
Le calcul de A pour x = √8 a été effectué à la question 3) de la partie 1
Donc l’aire de la figure EADCB est
A = −8 + 24√2
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= − + √ cm² (valeur exacte)
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≈ *, , -.² (valeur approchée au mm² près)