L2 Mathématiques Structures algébriques et arithmétique Année

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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Ann´ ee 2008-2009
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CHAPITRE II
CHAPITRE II
CHAPITRE II
CHAPITRE II
CHAPITRE II
CHAPITRE II
CHAPITRE II
Anneaux
Anneaux
Anneaux
Anneaux
Anneaux
Anneaux
Anneaux
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits,
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
morphismes d’anneaux, exemples.
III-Id
´
eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III - Id´ eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III - Id´ eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III - Id´ eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III - Id´ eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III - Id´ eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
III-Id
´
eaux, quotients d’anneaux commutatifs, th´ eor` eme
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
d’isomorphisme.
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
I - Anneaux : d´ efinitions, exemples
D´efinition. Soit Aun ensemble muni de deux lois binaires internes, l’addition et la
multiplication, en g´en´eral not´ees + et ·On dit que (A, +,·) est un anneau si on a :
1) (A, +) est un groupe ab´elien.
2) ∀(a, b, c)∈A3a·(b·c)=(a·b)·c. (associativit´e de la multiplication).
3) ∀(a, b, c)∈A×A×A
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
(b+c)·a=(b·a)+(c·a)
(distributivit´e de la multiplication par rapport `a l’addition).
Notations.
1) On utilisera pour (A, +) les notations usuelles des groupes ab´eliens not´es additivement :
0d´esigne l’´el´ement neutre de l’addition
−ad´esigne l’oppos´ede a
et on utilisera la notation n·apour a∈An∈Z.
2) Pour a∈Aet n∈N\{0}on posera a1=aet on d´efinira anpar r´ecurrrence en
posant an=a−an−1.
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3) Comme dans Zou Rl’associativit´e des lois + et ·permet de faire disparaˆıtre les
parenth`eses superflues, d’autre part on consid`erera pour le parenth´esage que la loi ·est
prioritaire sur la loi +,c’est-`a-dire par exemple :
a·b+csignifie (a·b)+c.
D´efinitions. Soit (A, +,·) un anneau.
1) On dit que l’anneau est commutatif si la loi ·est commutative.
2) On dit que l’anneau est unitaire s’il n’est pas r´eduit `a {0}et si la loi ·admet un
´el´ement neutre, qu’on appellera ´el´ement unit´e de l’anneau et que l’on notera 1 ou 1A.
3) Si l’anneau est unitaire, un ´el´ement a∈Aest inversible s’il existe a∈Atel que
a·a=a·a=1.
Cet ´el´ement aest alors unique et not´e a−1.
Remarque. On peut aussi d´efinir s´epar´ement la notion d’inverse `a droite ou
d’inverse `a gauche mais l’´el´ement ´eventuellement obtenu n’est alors pas n´ecessairement
unique.
Notation. Si aest inversible on utilisera la notation ´evidente anpour n∈Z.
4) Un anneau unitaire tel que tout ´el´ement autre 0 soit inversible est appel´e corps.
5) On dit que l’anneau (A, +,·) est int`egre s’il n’est pas r´eduit `a {0}et si on a :
∀(x, y)∈A×A(x·y=0⇒x=0 ou y=0).
Remarque. Les calculs dans un anneau peuvent se faire “`a peu pr`es” comme dans Z,en
faisant attention `al’´eventuelle non commutativit´e de la multiplication. On a par exemple,
dans l’anneau (A, +,·)
∀a∈Aa·0=0
∀(a, b)∈A×Aa·(−b)=−(ab)=(−a)·b.
On a aussi la formule du binˆome.
Proposition 1. (formule du binˆome)
Soit (A, +,·) un anneau. Soit n∈N,n≥1.
Soient aet bdans Atels que a·b=b·a. Alors on a :
(a+b)n=an+
n−1
k=1
Ck
nakbn−k+bn.
D´emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur n. La formule est ´evidente pour n=1.
Supposons n≥2etler´esultat d´emontr´e pour n−1.On a :
(a+b)n=(a+b)·(a+b)n−1
=(a+b)·(an−1+
n−2
k=1
Ck
n−1akbn−1−k+bn−1)
=a·an−1+a·
n−2
k=1
Ck
n−1akbn−1−k+a·bn−1+b·bn−1+b
n−2
k=1
Ck
n−1akbn−1−k+b·an−1.
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On peut, en utilisant a.b =b.a, et les propri´et´es d’anneau, continuer le calcul comme on le
ferait dans Z.
(a+b)n=an+
n−2
k=1
Ck
n−1ak+1bn−1−k+
n−2
k=1
Ck
n−1akbn−k+bn+ban−1
=an+
n−1
k=2
Ck−1
n−1akbn−k+
n−2
k=1
Ck
n−1akbn−k+abn−1+an−1b+bn
=an+(abn−1+C1
n−1abn−1)+(an−1b+Cn−2
n−1an−1b)+
n−2
k=2
(Ck−1
n−1+Ck
n−1)akbn−k+bn
=an+C1
nabn−1+
n−2
k=2
Ck
nakbn−k+C1 nan−1b+bn
d’o`uler´esultat.
Remarque. Si Aest unitaire la formule pr´ec´edente peut s’´ecrire (a+b)n=
n
k=0
Ck
nakbn−k
avec pour convention (pour cette formule) a0=1 et b0=1.
On va maintenant ´etudier la question de la simplifiabilit´e pour la multiplication. On peut
faire une remarque :
Remarque. Soit Aun anneau non nul. Alors
Aest int`egre ⇐⇒ ∀a∈A\{0},si (x, y)∈A2v´erifient ax =ay alors x=y
⇐⇒ ∀a∈A\{0},si (x, y)∈A2v´erifient xa =ya alors x=y.
C’est-`a-dire que si l’anneau est int`egre tout ´el´ement anon nul est “simplifiable” `a droite et
`a gauche pour la multiplication. Dans le cas g´en´eral on a la proposition :
Proposition 2. Soit (A, +,·) un anneau unitaire.
1) Soit a∈A. On suppose ∃a∈Atel que aa=1.Alors si (x, y)∈A2v´erifient
ax =ay, alors x=y.
2) Soit a∈A. On suppose ∃a ∈Atel que a·a =1.Alors si (x, y)∈A2v´erifient
xa =ya alors x=y.
D´emonstration. D´emontrons 1) par exemple. Le 2) est analogue, on a :
ax =ay ⇒aax =aay ⇒x=y.
En particulier, dans le cas o`u tout a∈A\{0}est inversible on a :
Proposition 3. Si (A, +,·) est un corps, alors c’est un anneau int`egre.
D´emonstration. Soient x, y dans Atels que x·y=0.Si x= 0 alors xest inversible
donc (x·y=x·0⇒y=0).
Remarque. La r´eciproque n’est ´evidemment pas vraie (ex. Zest un anneau int`egre mais
pas un corps), mais
Proposition 4. Soit (A, +,·) un anneau unitaire int`egre et fini. Alors Aest un corps.
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D´emonstration. Soit a∈A\{0}.Alors les applications
ϕa:A→Aet ψa:A→A
x→ xa x → ax
sont injectives, donc comme Aest fini, elles sont aussi surjectives, donc 1A∈Im ϕa∩Im ψa.
On obtient atel que aa=1 et a tel que aa = 1 puis a=aaa =(aa)a =a .
Donc ainversible.
Remarque. On verra plus loin une propri´et´e analogue dans le cas o`u Aest muni de plus en
outre structure d’alg`ebre, c’est-`a-dire de plus d’une structure d’espace vectoriel compatible
avec la structure d’anneau et que cet espace vectoriel est de dimension finie.
Voyons maintenant des exemples.
Exemples.
1) (Z,+,·) est bien entendu un anneau. Il est commutatif, unitaire, int`egre.
Les seuls ´el´ements inversibles sont 1 et -1. Ce n’est donc pas un corps.
2) Q,R,Csont des corps pour les lois usuelles.
3) D’autres exemples importants, mais qu’on n’´etudiera que plus loin sont les anneaux de
polynˆomes.
4) a) Si Eest un espace vectoriel non nul sur un corps commutatif, on notera LK(E)
l’ensemble des applications lin´eaires de Edans E. On munit cet ensemble de l’addition
usuelle obtenue en posant :
∀f,g ∈L
K(E),∀x∈E, (f+g)(x)=f(x)+g(x)
et de la loi ·de composition des applications. Alors (LK(E),+,·) est un anneau
unitaire. Si dim E≥2,cet anneau n’est ni commutatif, ni int`egre.
b) Si n∈N,n≥1,on notera Mn(K) l’ensemble des matrices n×n`a coefficients dans
K. Si on munit Mn(K) de l’addition et de la multiplication usuelles des matrices, on
obtient un anneau unitaire.
Cet anneau est “isomorphe” `a LK(E)sidimE=n(voir la d´efinition un peu plus
loin).
Si n≥2,il n’est ni commutatif, ni int`egre. Ex. 01
00
2
=00
00
.
c) L’ensemble des ´el´ements inversibles de LK(E) est dans le cas a) le groupe GL(E),
dans le cas b) le groupe GL(n, K).Onadefa¸con g´en´erale le r´esultat imm´ediat suivant :
Proposition 5. Soit (A, +,·) un anneau unitaire. Alors l’ensemble des ´el´ements inversibles
de Aest un groupe pour la multiplication.
Notation. On notera (A∗,·)ou(U(A),·) ce groupe.
On a aussi l’exemple important suivant :
Th´eor`eme 6. Soit n∈N,n≥2.
Alors l’ensemble Z/nZ,muni des lois obtenues par passage au quotient de l’addition et de
la multiplication usuelles de Zest un anneau commutatif unitaire.
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D´emonstration. On a vu que les lois + et ·sont compatibles avec la relation de
congruence modulo n, donc elles passent au quotient. Il est imm´ediat qu’on obtient une
structure d’anneau. On a :
Th´eor`eme 7. Soit n∈N,n≥2.
Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
1) Z/nZest un corps.
2) Z/nZest un anneau int`egre.
3) nest un nombre premier.
Remarque. On reviendra plus loin sur l’´etude du groupe U(Z/nZ) et sur une m´ethode de
calcul des inversibles.
D´emonstration du th´eor`eme.
1) ⇔2) d’apr`es les propositions 3 et 4.
2) ⇒3) Supposons nnon premier. Il existe alors des entiers n1et n2tels que
n=n1·n21<n
1<n, 1<n 2<n
on a n=n1·n2(on d´esigne par xla classe de x∈Zdans Z/nZ) avec n= 0, n1= 0, n2=
0 donc Z/nZn’est pas int`egre.
3⇒2. Supposons npremier, soient aet bdans Z\{0}tels que a·b= 0 : alors n
divise a·b, donc (propri´et´e des nombres premiers), ndivise aou bc’est-`a-dire a= 0
ou b= 0.Donc Z/nZest int`egre.
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
II - Sous-anneaux, anneaux engendr´ es, anneaux produits, morphismes
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
d’anneaux, exemples.
D´efinition. Soit (A, +,·) un anneau. Soit B⊆A. On dit que Best un sous-anneau
de Asi on a :
1) (B,+) est un sous-groupe de (A, +).
2) ∀(a, b)∈B×Bon a a·b∈B.
Remarque. Bien entendu si Best un sous-anneau de Aalors (B,+,·) est ´egalement
un anneau. Cependant mˆeme si Aest unitaire, Bpeut fort bien ne pas contenir l’´el´ement
unit´ede Aet ˆetre tout de mˆeme unitaire. (on verra plus loin un exemple).
D´efinition. Soit (A, +,·) est un anneau unitaire. Soit B⊆A. On dit que Best un
sous-anneau unitaire de Asi Best un sous-anneau de Atel que 1A∈B.
Remarque. Si Best un sous-anneau unitaire de Aalors Best unitaire et son ´el´ement
unit´e est 1A.
D´efinition. Soit (K, +,·) un corps. Soit K⊆K. On dit que Kest un sous-
corps de Ksi c’est un sous-anneau unitaire et si c’est un corps (ce qui revient `a dire :
∀x∈K\{0},x
−1∈K.
D´efinition. On d´efinit, comme pour les groupes `a partir de la notion de sous-anneau (resp.
sous-anneau unitaire, sous-corps) la notion de sous-anneau (sous-anneau unitaire, sous-corps)
engendr´e par une partie comme intersection des sous-anneaux (sous-anneau unitaire, sous-
corps) contenant cette partie.
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