Exercice I : Un peu de musique …. Exercice II : Les fractions

Exercices fractions 4-ème
Exercice I : Un peu de musique ….
Tu peux vérifier tes résultats sur : http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/fractions/4/musique.htm#4
Exercice II : Les fractions egyptiennes
Pour en savoir plus : http://www.toutankharton.com/Le-papyrus-Rhind
Exercice III : Complète les carrés magiques
3
4
5
12
1
4
1
6
7
4
1
2
5
6
1
2
Somme magique :
15
4
Somme magique : ………
Exercice IV : Comment calculer le nombre 
Il existe de nombreuses formules permettant de calculer 
Le grand mathématicien Léonhard EULER (1707-1783 , Suisse) a trouvé la formule suivante qui lui a permis
de calculer 20 décimales de  (en une heure !) :


  2  1 
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4




 ...
3 3 5 3 5 7 3 5 7  9

Les points de suspensions signifient que la somme ne s'arrête pas et qui faut la continuer indéfiniment.
Evidemment, le nombre  n'étant pas un nombre rationnel (ne pouvant s'écrire comme une fraction de deux nombres
entiers), pour obtenir exactement le nombre , il ne faut jamais s'arrêter et additionner l'infinité de termes de la
somme qui est dans la parenthèse…
On calcule alors des valeurs approchées successives de  en ajoutant de plus en plus de termes de la
somme entre parenthèses :
p0 = 2  


p3 = 2  1 


1
3
p1 = 2  1   =
8
 2,666 ;
3


p2 = 2  1 
1 1  2  44
…

=
3 3  5  15
1 1 2 1 2  3 
 1 1 2 1 2  3 1 2  3  4 




 = … ; p4 = 2  1  
=…
3 3 5 3 5 7 
 3 3 5 3 5 7 3 5 7  9 
; p5 = …