FONCTIONS - SOS Devoirs Corrigés

Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : calcul de l’image d’un nombre par une fonction
Exercice 2 : lecture graphique de l’image d’un nombre
Exercice 3 : algorithme permettant de calculer l’image d’un réel par une fonction
Exercice 4 : image, antécédent et tableau de valeurs
Exercice 5 : représentation graphique d’une fonction
Exercice 6 : appartenance d’un point à une courbe
Exercice 7 : algorithme permettant d’indiquer si un point appartient à une courbe
Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (3 questions)
Niveau : facile
1) Calculer l’image de
2) Calculer l’image de
par la fonction définie sur par ( )
par la fonction définie sur par ( )
3) Calculer l’image de
par la fonction
définie sur
par ( )
.
.
√ .
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Image d’un nombre
Soit
. L’image de tout nombre
une fonction définie sur un ensemble
, ( )
1) Pour tout
de
est le nombre ( ).
.
L’ensemble de définition de la fonction est et
donc l’image de par , notée ( ), existe. Pour
calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), c’est-à-dire dans l’expression
.
( )
Donc l’image de
par
est
. On dit aussi que
, ( )
2) Pour tout
)
(
)
(
Donc l’image de
est
, ( )
. On dit aussi que
calculer ( ), on remplace
√
√
Donc l’image de
par
est un antécédent de
√ .
), existe.
.
par .
]
L’ensemble de définition de la fonction
( )
est et
donc l’image de
par , notée (
dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression
)
par
3) Pour tout
par .
.
L’ensemble de définition de la fonction
Pour calculer ( ), on remplace par
(
est un antécédent de
est
et
donc l’image de
[
par , notée
( ), existe. Pour
dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression √ .
√
par
est √ . On dit aussi que
est un antécédent de √ par .
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2
Exercice 2 (2 questions)
Niveau : facile
La courbe ci-contre est la représentation graphique,
dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan, d’une
fonction définie sur .
⃗
1) Donner une valeur approchée de l’image de
par .
2) Donner un encadrement de l’image par
de
⃗
par deux entiers consécutifs.
Remarque : La fonction
polynôme ».
est une « fonction
Correction de l’exercice 2
Retour au menu
1) Donnons, par lecture graphique, une valeur approchée de l’image de
par .
Représentation graphique d’une fonction
Soit
une fonction définie sur un ensemble
.
La représentation graphique (aussi appelée
courbe représentative) de
l’ensemble
(
des
dans un repère est
points
( )) où
de
coordonnées
. Une équation de la courbe
représentative de
est alors
( ).
La courbe ci-contre représente une fonction . On
cherche à donner une valeur approchée de l’image
de par , c’est-à-dire ( ), qui peut être lue en
suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis
rouges.
On obtient ainsi ( )
L’image de
Rappel : Coordonnées d’un point
.
Dans un repère, chaque point peut être repéré par son
par
est donc environ égale à
.
abscisse
et son ordonnée .
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3
Remarque importante : Lecture graphique
Un graphique ne permet pas d’obtenir des valeurs exactes mais des valeurs approchées. En effet, dans le cas
présent, par lecture graphique, on ne peut pas affirmer si ( ) est exactement égale à
une valeur très proche de
, comme
;
2) Proposons un encadrement de l’image par
ou si ( ) est égale à
; etc.
de
par deux entiers consécutifs.
On cherche à donner un encadrement de l’image de
(
par , c’est-à-dire à encadrer
), qui peut
être lue en suivant le chemin tracé en pointillés
bleus puis rouges.
(
On obtient ainsi
L’image de
par
entiers consécutifs
)
.
est donc encadrée par les
et .
représentée est définie par ( )
Remarque : La fonction
A la lumière de cette information, on peut vérifier que ( )
.
et
(
)
.
D’une part,
( )
D’autre part,
(
)
(
On a donc ( )
)
(
)
et
(
)
(
)
.
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4
Exercice 3 (2 questions)
Soit la fonction
définie sur
Niveau : moyen
par ( )
√
.
1) Préciser l’ensemble de définition .
2) Ecrire un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel
d’erreur pour tout
.
et d’afficher un message
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
1) Précisons l’ensemble de définition
La fonction est définie sur
est positif ou nul. Or,
par ( )
.
√ existe si et seulement si
; elle est donc définie si et seulement si le radicande
√
[
[.
. Il vient donc que
2) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel
permettant par ailleurs d’afficher un message d’erreur pour tout
.
et
1 VARIABLES
Fonction numérique utilisée :
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
F1(x)=sqrt(x-4)
3 image_de_x EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 AFFICHER "Donner un nombre : "
sqrt(X) correspond à la racine
6 LIRE x
carrée du nombre X
7 AFFICHER x
8 SI (x<4) ALORS
Si
, alors
et on ne peut
9
DEBUT_SI
10
AFFICHER "On ne peut pas calculer l'image du nombre "
alors pas calculer l’image de .
11
AFFICHER x
12
FIN_SI
Dans le cas contraire, on peut
13
SINON
calculer et afficher l’image de .
14
DEBUT_SINON
15
image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x)
On peut remplacer l’instruction d’affectation
16
AFFICHER "L'image du nombre "
« image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) »
17
AFFICHER x
(Attention ! La fonction numérique doit dans ce
18
AFFICHER " est : "
cas être déclarée par « F1(x)=sqrt(x-4) ») par
19
AFFICHER image_de_x
20
FIN_SINON
« image_de_x PREND_LA_VALEUR sqrt(x-4) »
21 FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
***Algorithme lancé***
Donner un nombre : 2
On ne peut pas calculer l'image du nombre 2
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Donner un nombre : 8
L'image du nombre 8 est : 2
***Algorithme terminé***
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Exercice 4 (8 questions)
Une fonction
Niveau : facile
est définie sur l’intervalle [
]. On donne le tableau de valeurs suivant.
( )
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, tout en justifiant.
1) ( )
2) L’image de par est .
3) n’a pas d’image par sur [
4)
et ont même image.
].
5) Seuls deux nombres ont des images opposées.
6) Un antécédent de
par est .
7)
n’a pas d’antécédent par .
8) a au moins deux antécédents par .
Correction de l’exercice 4
Retour au menu
1) D’après le tableau de valeurs, ( )
. L’affirmation est vraie.
( )
2) D’après le tableau de valeurs, ( )
fausse.
. Autrement dit, l’image de
par
est . L’affirmation est
( )
Remarque : On a en revanche ( )
pas confondre « l’image de par est
, qui se traduit par « un antécédent de par
» et « un antécédent de par est . »
est
» Il ne fallait donc
3) Le tableau de valeurs proposé dans l’énoncé ne concerne que l’ensemble fini
{
}. Or, d’après l’énoncé, la fonction est définie sur l’intervalle
[
]. Aussi, même si le tableau de valeurs ne consigne pas la valeur
,
[
] donc
( ) existe. Autrement dit, a une image par , qui n’est en revanche pas renseignée dans le tableau de
valeurs. L’affirmation est fausse.
( )
4) D’après le tableau de valeurs, ( )
et ( )
. Autrement dit,
a pour image et
image . Finalement,
et ont même image, à savoir le nombre . L’affirmation est vraie.
a pour
( )
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5) D’après le tableau de valeurs, seules deux images sont opposées ; il s’agit des nombres et
. On lit
en outre ( )
, ( )
et ( )
. Autrement dit, d’une part
et
ont des images
opposées et, d’autre part, et
ont des images opposées. L’affirmation est fausse.
−3
( )
Rappel : Antécédent d’un nombre
Soit une fonction
définie sur un ensemble

est l’image de

est un antécédent de
. Si
( ), on dit que :
par
par
6) D’après le tableau de valeurs,
L’affirmation est fausse.
( )
. Autrement dit, un antécédent de
par
est
.
( )
Remarque : On a en revanche (
pas confondre « un antécédent de
)
par
, qui se traduit par « l’image de
par
est » et « l’image de
par est ».
est
». Il ne fallait donc
7) D’après le tableau de valeurs, ( )
. Autrement dit, il existe (au moins) un antécédent de
; cet antécédent est . L’affirmation est fausse.
par
−3
( )
8) D’après le tableau de valeurs, ( )
et ( )
. Autrement dit, a deux antécédents par sur
{
} : les nombres
et . Pour autant, il convient de remarquer
que l’on ignore s’il existe d’autres antécédents de par sur [
]. En définitive, a au moins
deux antécédents par sur [
]. L’affirmation est vraie.
( )
2
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
Représenter dans un repère orthonormé (
⃗ ⃗) du plan la fonction
définie sur
par ( )
Correction de l’exercice 5
(
)
.
Retour au menu
)
La fonction est définie sur par ( ) (
. Pour tracer sa représentation graphique dans un
( ))
repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan, il convient de trouver plusieurs points de coordonnées (
appartenant à puis de les relier afin de former une courbe harmonieuse.
Pour ce faire,
1) calculons quelques images de (en choisissant arbitrairement différentes valeurs de )
2) puis consignons les résultats dans un tableau de valeurs
( ) ) dans le repère
3) puis plaçons les points de coordonnées ( ⏟
⏟
4) puis relions ces points en formant une courbe harmonieuse
1ère étape : Calculs d’images par










Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
, alors
, alors
, alors
, alors
, alors (
, alors (
, alors (
, alors (
, alors (
, alors (
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
2e étape : Remplissage d’un tableau de valeurs
( )
3e étape : Placement de points
Il faut donc placer dans le repère orthonormé (
⃗ ⃗) les points de coordonnées suivantes :
(
);(
);(
);(
);(
);(
);(
);(
);(
) et (
).
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8
Remarque :
Les 3 premiers points
de la liste ci-dessus
ne sont ici pas
visibles car leurs
ordonnées sont trop
grandes pour qu’ils
soient placés dans le
repère choisi.
Axe des
ordonnées
Axe des
abscisses
4e étape : Tracé de la courbe représentative de la fonction
Reste à relier les points placés en traçant une courbe harmonieuse.
Remarque : La courbe représentée est une parabole ; elle est la représentation graphique d’une fonction
)
polynôme de degré 2 définie ici par sa forme canonique (
(avec , et réels tels que
).
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Exercice 6 (4 questions)
Soit la fonction
Niveau : moyen
par ( )
définie sur
. On note
sa courbe représentative dans un repère du
plan.
1) Le point
(
2) Le point
(
) appartient-il à
?
) appartient-il à
?
3)
est le point de , d’abscisse nulle. Quelle est l’ordonnée de ?
4) Existe-t-il un point de , d’ordonnée ? Si oui, lequel ? Sinon, pourquoi ?
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
Rappel : Appartenance d’un point à une courbe
Soit une fonction
définie sur un ensemble
et soit
, un point du plan, de coordonnées (
Soit
, alors (
 si
 si (
)
( )
) avec
)
, on a :
, alors (
 si
 si (
, alors
1) Vérifions si le point
sa courbe représentative dans un repère du plan.
de coordonnées (
) appartient à
)
)
, alors
.
( )
( )
Ainsi, ( )
donc
.
2) Vérifions si le point
(
)
(
) appartient à
.
)
(
Or,
de coordonnées (
. Ainsi, (
)
3) Calculons l’ordonnée
)
(
donc
)
.
de .
est un point d’abscisse nulle donc
a pour abscisse
.
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10
En outre,
Le point
(
donc
)
( )
.
a donc pour ordonnée , c’est-à-dire pour coordonnées (
4) Etudions l’éventuelle existence d’un point de
Il existe un point de
, d’abscisse
, d’ordonnée .
et d’ordonnée , si et seulement si ( )
Or, pour tout réel , ( )
.
.
Ce résultat est absurde ! Par conséquent, l’équation ( )
Il n’existe donc pas de point de
).
n’admet pas de solution.
, d’ordonnée .
Remarque : Ci-dessous est représentée la fonction dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗) du plan. On observe
alors que la courbe
est toujours située strictement au-dessus de l’axe des abscisses. Par conséquent,
graphiquement, il ne peut pas exister de point de
d’ordonnée .
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Exercice 7 (1 question)
Niveau : moyen
) appartient ou non à la courbe
Ecrire un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées (
représentative de la fonction définie sur par ( )
.
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
Ecrivons avec AlgoBox un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées (
non à la courbe représentative de la fonction définie sur par ( )
.
) appartient ou
1 VARIABLES
Fonction numérique utilisée :
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
F1(x)=pow(x,3)-2*pow(x,2)+3*x-1
3 y EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 AFFICHER "Soit un point M de coordonnées (x ; y)."
pow(X,n) correspond à la puissance
6 AFFICHER "Saisir l'abscisse x de M : "
nème de X, c’est-à-dire à Xn
7 LIRE x
8 AFFICHER x
9 AFFICHER "Saisir l'ordonnée y de M : "
10 LIRE y
11 AFFICHER y
12 SI (F1(x)==y) ALORS
13
DEBUT_SI
14
AFFICHER "Le point M appartient à la courbe représentative de f."
15
FIN_SI
16
SINON
17
DEBUT_SINON
18
AFFICHER "M n'appartient pas à la courbe représentative de f."
19
FIN_SINON
20 FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
***Algorithme lancé***
Soit un point M de coordonnées (x ; y).
Saisir l'abscisse x de M : 3
Saisir l'ordonnée y de M : 17
Le point M appartient à la courbe représentative de f.
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Soit un point M de coordonnées (x ; y).
Saisir l'abscisse x de M : -2
Saisir l'ordonnée y de M : -22
M n'appartient pas à la courbe représentative de f.
***Algorithme terminé***
Remarque : Il suffit de modifier l’expression de la fonction F1 pour pouvoir tester l’appartenance ou non d’un
point de coordonnées (x ; y) à la courbe représentative de F1, sans avoir à changer le reste de l’algorithme.
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