1 Algorithme 2 Logique

1 Algorithme
Voici un algorithme écrit avec Algobox :
1 VARIABLES
2 s EST_DU_TYPE NOMBRE
3 n EST_DU_TYPE NOMBRE
4 k EST_DU_TYPE NOMBRE
5 i EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 LIRE n
8 k PREND_LA_VALEUR 1
9 s PREND_LA_VALEUR 0
10 POUR i ALLANT_DE 1 A n
11 DEBUT_POUR
12 s PREND_LA_VALEUR s+k
13 k PREND_LA_VALEUR k+2
14 FIN_POUR
15 AFFICHER s
16 FIN_ALGORITHME
L’instruction "Pour i allant de 1 à n" demande d’effectuer les instructions qui sont à l’intérieur du bloc avec les
valeurs successives de i: 1, 2, 3, 4, . . .n
Quel est le résultat de cet algorithme pour les valeurs de nsuivantes : 1, 2, 3, 4, 5 ?
En analysant ce que fait cet algorithme, conjecturer une formule simple qui donne directement la valeur de la
somme des n premiers nombres impairs.
2 Logique
1. Voici une phrase P: "Pour tout x,x < 5ou x2>25"
Ecrire la phrase qui énonce le contraire de P
Est-ce que Pest vraie ?
2. Voici une phrase P:
"Il existe un nombre xvérifiant x>3et 1
x60,2
Ecrire la phrase qui énonce le contraire de P
Est-ce que Pest vraie ?
3. Voici différentes propositions :
Proposition A : a2=b2Proposition B : a=−b
Proposition C : a=bou a=−bProposition D : b=√a
Proposition E : (a+b)(a−b) = 0 Proposition F : a=b2
Ecrire deux équivalences qui sont vraies en utilisant ces propriétés.
Ecrivez deux implications qui sont vraies et dont les réciproques sont fausses
4. Démontrer l’implication suivante : "si 1=2, alors 5=8"
1

Probabilités - Expériences simples
Exercice 1
Dans une urne, on place 8 boules rouges, 5 boules blanches
et 7 boules vertes. On tire au hasard une boule de l’urne.
On s’intéresse à la couleur de la boule obtenue.
1/ Donner la liste des issues de cette expérience.
2/ Modéliser cette expérience en définisant une loi de pro-
babilité sur cet univers.
3/ Calculer la probabilité des évènements suivants (on don-
nera les réponses sous la forme de fractions irréduc-
tibles) :
A: « On obtient une boule blanche »
B: « On obtient une boule qui n’est pas rouge »
C: « On obtient une boule rouge ou blanche »
Exercice 2
On lance un dé régulier à six faces. On s’intéresse au nu-
méro obtenu.
1/ Donner la liste des issues de cette expérience.
2/ Modéliser cette expérience en définisant une loi de pro-
babilité sur cet univers.
3/ Calculer la probabilité des évènements suivants :
A: « On obtient un nombre impair »
B: « On obtient un nombre supérieur ou égal à 2 »
C: « On obtient un nombre pair et strictement supé-
rieur à 4 »
D:« On obtient un nombre ni pair, ni inférieur à 4 »
Exercice 3
Dans un jeu de 52 cartes, on tire au hasard une carte. Quelle
est la probabilité d’obtenir :
1/ Donner la liste des issues de cette expérience.
2/ Modéliser cette expérience en définisant une loi de pro-
babilité sur cet univers.
3/ Calculer la probabilité des évènements suivants :
A: « On obtient la dame de pique »
B: « On obtient un trèfle »
C: « On obtient une figure (roi, dame ou valet) »
D:« On obtient une figure rouge »
Exercice 4
On possède un dé truqué à six faces. On note pla loi de pro-
babilité associée à l’expérience « on lance le dé une fois ».
On donne :
p(1) = p(2) = 1
8;p(3) = p(4) = 1 5;p(5) = 0,25
1/ Calculer la probabilité d’obtenir un 6.
2/ Calculer la probabilité d’obtenir un chiffre pair.
3/ Calculer la probabilité d’obtenir un chiffre inférieur ou
égal à 4.
Exercice 5
On a réalisé une enquête sur les 1200 élèves d’un lycée
concernant le moyen de transport utilisé pour se rendre au
lycée. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Transport
public Voiture Vélo À pied Total
600 180 120
1/ Recopier et compléter le tableau.
2/ On interroge au hasard un éle du lycée et on s’intéresse
au moyen de transport qu’il utilise. Modéliser cette ex-
périence en définisant une loi de probabilité sur cet uni-
vers.
3/ Calculer la probabilité des évènements suivants :
A: « L’élève vient à pied »
B: « L’élève ne vient pas en voiture »
C: « L’élève utilise un véhicule personnel »
Exercice 6
Une urne contient cinq boules numérotées « 1 », sept boules
numérotées « 2 », trois boules « 3 », quatre boules « 4 », et
six boules « 5 ».
On tire une boule dans l’urne et on s’intéresse au nombre
obtenu.
1/ Définir une loi de probabilité modélisant l’expérience.
On note Al’événement « obtenir un chiffre pair » et Bl’évé-
nement « obtenir un chiffre supérieur strictement à 3 ».
2/ Calculer p(A)et p(B).
3/ Expliciter, à l’aide d’une phrase en français, les évène-
ments suivants :
A∪B, A ∩B, A, B, A ∪B, A ∩B
4/ Calculer les probabilités des évènements de la question
précédente.
Exercice 7
Dans une fête foraine, on propose le jeu suivant : On mise
3eet on choisit un jeton au hasrd dans une urne contenant
30 jetons numérotés de 1 à 30. On gagne 4 esi le jeton tiré
est multiple de 5, 7 esi le jeton tiré est multiple de 6 (les
gains sont cumulables) et rien sinon.
1/ Définir une loi de probabilité permettant de modéliser
les gains réels obtenus (ne pas oublier la mise).
2/ Ce jeu est-il équitable ?
Probabilités - Expériences simples – 1/1

Probabilités - Problèmes
Exercice 1
Dans l’article Croix et Pile de l’Encyclopédie, Jean le
Rond d’Alembert (1717-1783) présente deux raisonne-
ments différents pour calculer les chances de gagner à
ce jeu, c’est-à-dire d’obtenir Croix (on dirait aujour-
d’hui Face) en lançant une pièce deux fois.
CROIX OU PILE (analyse des hasards.)
Ce jeu, qui eõtrès-connu, & qui n’a pas besoin de définition,
nous fournira les réflexions suivantes. On demande combien il y
a à parier qu’on amènera croix en jouant deux coups consécutifs.
La réponse qu’on trouvera dans tous les auteurs, & suivant les
principes ordinaires eõcelle-ci. Il y a quatre combinaisons.
Premier coup. Second coup.
Croix Croix
Pile Croix
Croix Pile
Pile Pile
De ces quatre combinaisons, une seule fait perdre & trois font
gagner ; il y a donc contre à parier en faveur du joueur qui
jette la pièce. [...]
Cependant cela eõ-il bien exa? Car, pour ne prendre ici que
le cas de deux coups, ne faut-il pas réduire à une les deux com-
binaisons qui donnent croix au premier coup ? Car, dès qu’une
fois croix eõvenu, le jeu eõfini, & le second coup eõcompté
pour rien. Ainsi, il n’y a proprement que trois combinaisons de
possibles :
Croix, premier coup.
Pile,Croix, premier & second coup.
Pile,pile, premier & second coup.
Donc il n’y a que contre à parier. [...]
Ceci eõdigne, ce me semble, de l’attention des calculateurs, &
iroit à réformer bien des règles unanimement reçues sur les jeux
de hasard.
1/ Lire le texte ci-dessus de Jean le Rond d’Alembert
expliquant le jeu ayant pour but d’obtenir Croix
en lançant deux fois une pièce.
2/ Expliquer les parties de phrase :
– « 3 contre 1 à parier en faveur du joueur » ;
– « 2 contre 1 à parier ».
3/ Reformuler les deux modèles énoncés par Jean le
Rond d’Alembert et dire lequel semble le plus ap-
proprié.
Exercice 2
Un jardin public est équipé de trois bancs à deux
places. Deux personnes arrivent successivement et
s’installent au hasard. Le but de l’exercice est de trou-
ver la probabilité pque les personnes soit assises côte
à côte en utilisant deux modèles différents.
1/ Chaque personne s’assoit à une des places dispo-
nibles. On les numérote de 1 à 6.
a) Utiliser un arbre ou un tableau pour modéliser
l’expérience.
b) Calculer alors la probabilité p.
2/ Chaque personne s’assoit sur l’un des trois bancs.
On les nomme A, B et C.
a) Utiliser un arbre ou un tableau pour modéliser
l’expérience.
b) Calculer alors la probabilité p.
3/ Commenter les résultats obtenus.
Exercice 3
Partie A
Un groupe de 4 amis est interrogé : on demande à
chacun son mois de naissance.
1/ Chaque résultat est une suite de 4 nombres com-
pris entre 1 et 12 (par exemple : (2; 12; 3; 2)). Com-
bien y a-t-il de résultats possibles (on pourra ébau-
cher un arbre) ?
2/ Quelle est la loi de probabilité de cette expérience ?
3/ On appelle Al’évènement : « Tous les nombres
sont différents ». Calculer Card A. En déduire
p(A).
4/ Définir par une phrase l’évènement Apuis calculer
sa probabilité.
Partie B
Une classe de 30 élèves est interrogée : on demande
à chacun son jour de naissance (on supposera pour
simplifier qu’une année a toujours 365 jours et on nu-
mérotera les jours de 1 à 365).
Un résultat est alors une suite de 30 nombres compris
entre 1 et 365.
1/ Reprendre les questions de la partie précédente.
2/ Conclure en complétant la phrase suivante : « Dans
un groupe de 30 personnes, il y a une probabilité
de . . . que deux personnes soit nées . . . »
Probabilités - Problèmes – 1/2

Partie C
Que fait l’algorithme ci-dessous ?
Algorithme 1 : Jour de naissance
Variables1
nest un entier;2
qest un réel;3
début4
Lire :n;5
q←1;6
pour iallant de 1àn−1faire7
q←q×365−i
365 ;8
fin9
Afficher :1−q;10
fin11
Exercice 4
Une puce se déplace sur un axe gradué : elle part de
l’origine et, à chaque saut, elle se déplace d’une unité
vers la droite ou vers la gauche, de manière aléatoire.
−4−3−2−1 1 2 3 4
0
Partie A - La puce effectue quatre sauts
Chaque succession de quatre sauts est aussi appelée
« promenade de quatre sauts ». Pour choisir le sens
(gauche, droite) de chaque saut, on lance une pièce de
monnaie équilibrée : si l’on obtient PILE (codé P) la
puce se déplace à gauche, si l’on obtient FACE (codé
F) la puce part à droite.
1/ Donner la position d’arrivée qui correspond à cha-
cune des séquences suivantes :
a) FFFP b) FPFF c) PPPP
d) PFFF e) FPFP
La puce peut-elle atteindre n’importe quelle posi-
tion ? Expliquer.
2/ À l’aide d’un arbre, donner toutes les promenades
possibles de quatre sauts, indiquer au bout de
chaque branche la position d’arrivée correspon-
dante, puis calculer la probabilité de chaque nu-
méro d’arrivée.
Compléter le tableau de distribution de probabili-
tés de l’expérience :
Arrivée
Probabilité
Que peut-on observer ?
Partie B - La puce effectue trente sauts
1/ Si l’on construisait un arbre pour décrire les pro-
menades aléatoires de 30 sauts, combien aurait-il
de branches ?
2/ Compte tenu du grand nombre de branches, on
préférera utiliser un algorithme pour simuler des
promenades de 30 sauts. Sachant que la fonction
«alea » fournit un nombre aléatoire dans l’inter-
valle [0 ; 1[, que fait l’algorithme ci-dessous ?
Algorithme 2 : Sauts de puce
Variables1
xest un entier;2
début3
x←0;4
pour iallant de 1à30 faire5
si alea <0,5alors6
x←x−1;7
sinon8
x←x+ 1;9
fin10
fin11
Afficher :x;12
fin13
3/ On veut estimer la probabilité que la position d’ar-
rivée de la puce soit −4.
a) Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il réa-
lise 100 simulations de l’expérience.
b) Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il
calcule la fréquence d’apparition de la position
−4.
Probabilités - Problèmes – 2/2