Support de Cours, TD de Mathématiques MIP Semestre 2

2015-2016
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Support de Cours, TD de Mathématiques
MIP Semestre 2
Responsable U.E. : [email protected]
2
Table des matières
1 Nombres complexes
1.1 Résumé des prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Écriture sous forme trigonométrique, théorème de de Moivre
1.1.3 Notation exponentielle complexe, formules d’Euler . . . . . .
1.2 Résolution des équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Racine carrée dans l’ensemble des nombres complexes . . . .
1.2.2 Racines du trinôme du second degré dans C . . . . . . . . .
1.3 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Les
2.1
2.2
2.3
2.4
fonctions polynômes complexes
Définitions et opérations . . . . . .
Dérivation - Racines d’une fonction
Le cas particulier de R[x] . . . . .
Travaux dirigés - Exercices . . . .
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polynôme
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3 Espaces vectoriels
3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Indépendance et dépendance linéaire . . . . .
3.4 Caractérisation d’une base en dimension finie
3.5 Recherche de bases dans un espace vectoriel .
3.6 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . .
3.7 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . .
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4 Matrices, espaces vectoriels et systèmes linéaires
4.1 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Formes particulières de matrices ; sous-espaces vectoriels . . . . . . . .
4.4 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Interprétation matricielle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . .
4.6 Matrices échelonnées, rang d’une matrice et applications . . . . . . . .
4.6.1 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . .
4.6.2 Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . .
4.7 Application de la notion de rang à la résolution d’un système linéaire .
4.7.1 Cas particulier des systèmes linéaires homogènes : B = 0Rm . .
4.7.2 Cas particulier des systèmes linéaires non homogènes : B 6= 0Rm
4.7.3 Bilan : théorème de Rouché et méthode de Gauss . . . . . . . .
4.8 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
5 Suites numériques
5.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Suites numériques et relation d’ordre dans R. . . . . . . .
5.6 Suites extraites et convergence . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Un exemple de suites particulières : les séries numériques
5.9 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Fonctions réelles, notions de limite et de continuité
6.1 Rappels sur les applications et les fonctions . . . . . .
6.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Opérations algébriques sur les limites . . . . .
6.3.2 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Fonctions équivalentes au voisinage d’un point
6.4 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . .
6.4.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . .
6.4.4 Composition des fonctions et continuité . . . .
6.5 Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Fonctions réelles dérivables, notion de convexité
7.1 Fonctions dérivables et extrema . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Condition nécessaire d’extremum local . . . . . .
7.2 Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
7.3 Variations d’une fonction dérivable et extrema . . . . .
7.3.1 Variations d’une fonction dérivable . . . . . . . .
7.3.2 Condition suffisante d’extremum local utilisant la
7.4 Développement limité en l’infini, branches infinies . . . .
7.5 Fonctions convexes dérivables . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
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dérivée seconde .
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8 Primitives, intégrales définies
8.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . .
8.2 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Aire sous la courbe d’une fonction, subdivisions
8.2.2 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Introduction aux déterminants
9.1 Définition du déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . .
9.2 Déterminant d’une matrice carrée et de sa transposée . . . .
9.3 Quelques propriétés des déterminants utiles pour leur calculs
9.4 Déterminant et calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . .
9.5 Travaux dirigés - Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Compléments d’algèbre linéaire
10.1 Changement de base dans un espace vectoriel :
matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Somme directe, sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Nombres complexes
1.1
1.1.1
Résumé des prérequis
Notions de base
Définition 1.1 On appelle nombre complexe tout nombre z qui s’écrit de manière unique z = x + iy où x et
y sont des nombres réels et i est un nombre complexe vérifiant i2 = −1. On dit alors que le nombre réel x est
la partie réelle de z et le nombre réel y est sa partie imaginaire.
On note <(z) = x et =(z) = y.
Définition 1.2 Deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
En particulier, un nombre complexe x + iy (x et y sont des nombres réels) est nul si et seulement si x et y sont
nuls.
Opérations sur les nombres complexes
Soit (x, y) ∈ R2 et (x0 , y 0 ) ∈ R2 . L’addition et la multiplication de deux nombres complexes z = x + iy et
z 0 = x0 + iy 0 sont définies par :
z + z 0 = (x + x0 ) + i(y + y 0 ),
z · z 0 = (x · x0 − y · y 0 ) + i(x · y 0 + x0 · y).
Les opérations ainsi définies vérifient les propriétés opératoires des mêmes opérations dans R. Mais attention,
on ne peut pas définir sur C une relation d’ordre compatible avec les opérations. En particulier, on ne peut
pas parler du signe d’un nombre complexe !
Conjugué et module
Définition 1.3 Soit (x, y) ∈ R2 et z = x + iy. Le nombre complexe x − iy est dit conjugué de z.
Soit z un nombre complexe. On note z̄ le conjugué de z.
Exercice 1.1 Vérifier que : z̄¯ = z, z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ,
1
1
= , z1 z2 = z̄1 z̄2 .
z
z̄
Définitionp
1.4 Soit (x, y) ∈ R2 et z = x + iy un nombre complexe. Le module de z, noté | z |, est le nombre
réel positif x2 + y 2 .
Propriété importante (à prouver en exercice ) :
z z̄ = |z|2 ; |z 2 | = |z|2 , plus généralement ∀n ∈ Z, |z n | = |z|n
Exercice 1.2 Montrer que l’ensemble des nombres complexes est un espace vectoriel sur R, et que la famille
(1, i) est une famille génératrice de C.
7
8
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Représentation géométrique
On établit une bijection entre les nombres complexes et les points du plan P muni d’un repère orthonormé :
C −→ P
z 7−→ Mz = (<(z), =(z))
Le point Mz s’appelle l’image de z et z l’affixe de Mz .
−−→
Si A et B sont deux points d’affixe zA et zB , alors le vecteur AB a pour affixe zB − zA .
→
−
→
−
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs d’affixe zu et zv , alors le vecteur u + v a pour affixe zu + zv .
1.1.2
Écriture sous forme trigonométrique, théorème de de Moivre
Soit a = x + iy, (x, y) ∈ R2 , un nombre complexe de module 1 ; on peut l’écrire sous la forme a = cos θ + i sin θ
où θ ∈ R. On peut donc écrire tout nombre complexe z non nul sous la forme
z = r · (cos θ + i sin θ),
où r est son module et où θ est un argument de z. L’argument est défini à 2kπ près, k ∈ Z. Cette écriture
des nombres complexes ne permet pas, dans le cas général, d’exprimer simplement la somme, mais le produit
lui s’écrit simplement.
Soit z = r ·(cos θ +i sin θ) et z 0 = s·(cos ϕ+i sin ϕ). Les formules classiques de la trigonométrie nous permettent
d’écrire la suite d’égalités suivantes
z · z0
= r · s · (cos θ + i sin θ) · (cos ϕ + i sin ϕ)
= r · s[(cos θ · cos ϕ − sin θ · sin ϕ) + i(sin θ · cos ϕ + cos θ · sin ϕ)]
= r · s[cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)].
(1.1)
Ceci nous permet d’obtenir le théorème de De Moivre que l’on prouve par récurrence (cours) :
Théorème 1.1 (De Moivre) Pour tout nombre complexe z non nul, pour tout entier relatif n, si θ est un
argument quelconque de z :
z n =| z |n (cos nθ + i sin nθ),
Abraham de Moivre est un mathématicien français. Né le 26 mai 1667 à Vitry-le-François (en ChampagneArdenne), il est décédé le 27 novembre 1754 à Londres.
1.1.3
Notation exponentielle complexe, formules d’Euler
Les propriétés ci-dessus ont donné l’idée d’utiliser la notation exponentielle souvent commode à substituer à
l’écriture trigonométrique classique. On pose, pour θ un nombre réel :
cos θ + i sin θ = eiθ .
Un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ s’écrit alors reiθ . Des règles de calcul sur l’exponentielle réelle et de l’égalité i2 = −1, on déduit les règles de calcul sur l’exponentielle complexe.
1.2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
9
On peut retenir que la formule de De Moivre s’écrit alors tout simplement : (eiθ )n = einθ , pour n ∈ Z.
Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe non nul z de module r, peuvent s’exprimer simplement
en fonction de z et de z̄ :
1
1
Re(z) = (z + z̄) et Im(z) =
(z − z̄)
2r
2ir
Ces formules traduites avec la notation exponentielle sont connues sous le nom de Formules d’Euler et
s’écrivent donc, pour tout réel x :
cos x =
eix − e−ix
eix + e−ix
et sin x =
.
2
2i
Leonhard Paul Euler est né le 15 avril 1707 à Bâle (suisse) et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg
(Russie). Il passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne.
1.2
1.2.1
Résolution des équations du second degré
Racine carrée dans l’ensemble des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées :
Soit Z un nombre complexe. Il existe alors un nombre complexe z tel que : Z = z 2 et Z = (−z)2 .
Exemples
1. Les racines carrées de −1 sont i et −i.
2. Les racines carrées de −4 sont 2i et −2i.
3. Les racines carrées de 16 sont 4 et −4.
A- Calcul des racines carrées en utilisant l’écriture algébrique
Méthode
Soit A et B deux nombres réels. On veut déterminer les deux racines du nombre complexe Z = A + iB.
1. Si B = 0 les racines carrées de Z sont alors les√racines √
carrées de A.
Dans le cas A ≥ 0, les racines carrées de Z sont A et − A.
√
√
Dans le cas A ≤ 0, on pose A1 = −A et alors les racines carrées de Z sont i A1 et −i A1 .
2. On supposera maintenant que B 6= 0.
Soit dans l’ensemble des nombres complexes, z = a+ib avec a ∈ R et b ∈ R. On alors les équivalences suivantes :
z2 = Z
⇐⇒
⇐⇒
(a + ib)2 = A + iB
a − b2 + 2iab = A + iB
2
De l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe, on déduit que :
2
a − b2 = A
z 2 = Z ⇐⇒
2ab
= B.
10
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Pour résoudre ce dernier système (trouver a et b) on lui adjoint l’égalité du module de Z (=
celui de z 2 (= a2 + b2 ). On obtient alors
 2
A
 a − b2 =
2
2ab
= √ B
z = Z ⇐⇒
 2
A2 + B 2 .
a + b2 =
√
A2 + B 2 ) avec
Il est alors aisé de déterminer a et b en effectuant des opérations sur les lignes de ce système.
Exemples
Trouver les racines carrées de 3 − 4i.
Solution
Soit z = a + ib avec a et b des réels. On a
z 2 = 3 − 4i
⇐⇒
⇐⇒
(a + ib)2 = A + iB
a − b2 + 2iab = A + iB
2
De l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe, on déduit que :
2
a − b2 =
3
2
z = Z ⇐⇒
2ab
= −4.
Pour résoudre ce dernier système (trouver a et b) il est plus commode de lui adjoindre l’égalité
a2 + b2 (le module de Z est égal à celui de z 2 , puisque Z = z 2 ).
 2
3
 a − b2 =
2
ab
= √ −2
z = Z ⇐⇒
 2
a + b2 =
32 + 42 .
Ce qui conduit au système

2a2





ab




 2
2b
Et l’on a alors
=
3+
<
=

q
1

a
=
±


2 (3 + 5)




ab <
0




q


 b = ± 1 (−3 + 5)
2
√
√
A2 + B 2 =
25
0
√
25 − 3.
ou encore

a





ab





b
= ±2
<
0
= ±1
Donc a = 2 et b = −1 ou bien a = −2 et b = 1 et par conséquent les racines carrées de 3 − 4i sont
2−i
et
− 2 + i.
B - Calcul des racines carrées en utilisant la forme exponentielle ou trigonométrique
Méthode
Soit Z = ReiΘ dans l’ensemble des nombres complexes (R est un nombre réel positif, Θ est un nombre réel
quelconque et i2 = −1). Rappelons que cette écriture est équivalente à Z = R(cos Θ + i sin Θ).
Soit z = ρeiθ un autre nombre complexe. On a alors (voir les formules de De Moivre) :
2
ρ = R
z 2 = Z ⇐⇒
2θ = Θ + 2kπ, k ∈ Z.
1.2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
11
Ce qui signifie,
z 2 = Z ⇐⇒
√
ρ =
θ =
Θ
2
R
+ kπ,
k ∈ Z.
On obtient alors les deux racines carrées z de Z en posant k = 0 puis k = 1 :
√
√
Θ
Θ
et
z = R ei( 2 +π) .
z = R ei 2
Comme eIπ = −1 , on a
√
z=
Θ
R ei 2
√
Θ
z = − R ei 2 .
et
Ou bien encore
√
z=
R(cos
Θ
Θ
+ i sin )
2
2
√
et
R(cos(
z=
Θ
Θ
+ π) + i sin( + π)).
2
2
Exemples
1. Calculer les racines carrées de 1 − i.
On écrit d’abord 1 − i sous la forme exponentielle ou trigonométrique. On :
√ √ √2
2 2 − i 22
1−i =
√
=
π
2e−i 4
On en déduit que les racines carrées de 1 − i sont de la forme z = ρeiθ (ρ réel positif et θ réel quelconque) où
q
√
√
π
π
4
ou
θ = − + π.
ρ=
2= 2
et
θ=−
8
8
√
π
Et par suite, les racines carrées de 1 − i sont ± 4 2 e−i 8 .
√
2. Calculer les racines carrées de 1 + i 3.
On a :
√
1+i 3
=
=
2
1
2
+i
√ 3
2
π
2ei 3
√
On en déduit que les racines carrées de 1 + i 3 sont de la forme z = ρeiθ (ρ réel positif et θ réel quelconque)
où
√
π
π
ρ= 2
et
θ=
ou
θ = + π.
6
6
√
Et donc les racines carrées de 1 + i 3 sont
√ π
√ π
√ 7π
z = 2ei 6 et z = − 2ei 6 = 2ei 6
1.2.2
Racines du trinôme du second degré dans C
On reprenant la forme canonique (voir cours) et comme tout nombre complexe possède deux racines carrées
(éventuellement confondues), il vient
Toute équation du second degré à coefficients dans C possède deux solutions dans C.
12
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Méthode
Soit à résoudre
Az 2 + Bz + C = 0,
avec A 6= 0,
B
et
C
des nombres complexes.
Comme dans le cas des équations du second degré dans le cas réel, on pose ∆ = B 2 − 4AC (le discriminant de
l’équation donnée). Si on désigne par δ une des racines carrées de ∆, alors les solutions de l’équation sont :
z1 =
−B + δ
2A
et
z2 =
−B − δ
.
2A
Exercice 1.3 Justifier ce résultat.
Exemples
1. Soit à résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z 2 − 3z + 3 + i = 0.
Soit ∆ le discriminant de cette équation. On a ∆ = −3 − 4i. En calculant les racines carrées (notées δ) de ∆
on trouve :
δ = 1 − 2i ou δ = −1 + 2i.
Les solutions de l’équation donnée sont donc
z1 =
3 − (−1 + 2i)
.
2
3 + (−1 + 2i)
2
et
z2 =
z1 = 1 + i
et
z2 = 2 − i.
Ce qui donne :
2. Soit à résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0
Soit ∆ le discriminant de cette équation. Tous calculs faits, on trouve ∆ = −2i. Déterminons les racines carrées
de ∆. On a
√
π
∆ = (i 2)2 × ei 2 .
π
On est amené à trouver les racines de carrées de ei 2 qui sont
√
2
iπ
±e 4 = ±
(1 + i).
2
√
Les racines de ∆ sont donc, par multiplication par i 2 :
−1 + i
et
1 − i.
Par les formules habituelles, on trouve les deux racines de l’équation donnée :
6 − 3i,
et
5 − 2i .
3. Soit à résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z 3 + 3z − 2i = 0
Cette équation est du troisième degré dont une racine évidente est i (il suffit de remplacer z par i dans l’équation
pour s’en convaincre). On trouve ensuite que
z 3 + 3z − 2i = (z − i)(z 2 + iz + 2) .
1.3. RACINES N -IÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE
13
On doit donc résoudre
z 2 + iz + 2 = 0.
En notant ∆ le discriminant de z 2 + iz + 2, on trouve
∆
=
−9
= (3i)2 .
Les racines de cette seconde équation z 2 + iz + 2 = 0 sont donc
−i + 3i
= i,
2
z1 =
z2 =
−i − 3i
= −2i .
2
Au final, l’équation de départ admet i et 2i comme racines.
1.3
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
La formule de Moivre s’écrit :
∀n ∈ N , (eiθ )n = einθ pour tout θ réel.
Il s’ensuit que si l’on a à résoudre dans C : z n = a avec a ∈ C , a 6= 0 et n ∈ N on applique la méthode suivante :
1. On écrit a sous forme trigonométrique. Soit r son module et α son argument dans [0, 2π[.
2. Si l’on écrit z = |z| eiθ , l’équation s’écrit |z|n ei n θ = rei(α+2kπ) avec k ∈ Z.
Une solution z a alors pour module
α
,
n
α
pour k = 1 on trouve θ1 = +
n
α
pour k = 2 on trouve θ2 = +
n
etc . . .
√
n
r et son argument vérifie : nθ = α + 2kπ ou encore θ =
α 2kπ
+
.
n
n
Pour k = 0 on trouve θ0 =
2π
,
n
4π
,
n
α 2(n − 1)π
pour k = n − 1 on trouve θn−1 = +
n
n
α 2nπ
pour k = n, on trouve θn = +
= θ0 + 2π, qui donnera la même solution que θ0 .
n
n
Il y a ainsi n arguments différents possibles dans [0, 2π[, correspondants aux n valeurs de k dans
{0, . . . , n − 1}. Il y a donc n nombres complexes distincts solutions de z n = a, qui sont de la forme :
zk =
√
n
α
r en+
2kπ
n
pour k ∈ {0, . . . , n − 1}
Un exemple fondamental : les racines n-ièmes de l’unité, solutions de z n = 1.
Prenons n = 6 on trouve six racines qui sont les affixes des sommets de l’hexagone suivant :
14
1.4
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
— Maı̂triser les notions sur les nombres complexes du programme de Terminale Scientifique.
— Réinvestir les formules de trigonométrie révisées au semestre 1.
— Savoir calculer la racine carrée d’un nombre complexe sous forme algébrique.
— Savoir résoudre les équations du second degré à coefficients complexes (en particulier avec un discriminant
non réel).
— Maı̂triser la notion de racine n-ième d’un nombre complexe.
Exercice 1.4 Soit z = eiθ , avec −π < θ < π. Trouver, si c’est possible, un argument de 1 + z et
1
·.
1+z
Exercice 1.5 Calculer les racines carrées de : 5 + 12i ; −7 − 24i.
Exercice 1.6 Mettre 1 + i sous forme trigonométrique, calculer ses racines cubiques et les représenter graphiquement dans le plan complexe.
Exercice 1.7
1- Soit j la racine cubique de 1 de partie imaginaire strictement positive. Montrer que :
j̄ = j 2 ; 1 + j + j 2 = 0 ; |j + 1| = 1.
n−1
X
2- Soit z une racine n-ième de 1 différente de 1. Montrer que
z k = 0. Que vaut cette somme si z = 1 ?
k=0
p
√
p
√
2 − i 2 + 2.
Exercice 1.8 Soit z = 2 −
1- Calculer z 2 et z 4 .
2- En déduire le module et un argument de z.
3- En déduire cos π8 et sin π8 ·
4- Retrouver ce résultat en utilisant des formules de trigonométrie connues.
1.4. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
15
Exercice 1.9 Représenter dans le plan muni d’un repére orthonormé, les points d’affixe z tels que :
z + 2i 1
z + 2i = ,
a) b)
z − 2i = 4.
z − 2i 4
Exercice 1.10 Résoudre dans C :
1- z 2 − (3 + 2i)z + (5 + i) = 0 (Indication : | ∆ |= 17) ;
2- iz 2 + (4i − 3)z + (i − 5) = 0.
Exercice 1.11 Écrire sous forme x + iy, avec x et y réels les nombres complexes suivants :
(1 + i)12 ,
√
Exercice 1.12 Résoudre dans C : (1 + i 3)z 4 = 1 − i.
1−i
√
2
6
.
16
CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Chapitre 2
Les fonctions polynômes complexes
2.1
Définitions et opérations
On généralise à C les notions vues dans le cours du semestre 1 à propos des fonctions polynômes réelles.
Définition 2.1 Une fonction P de C dans C est dite fonction polynôme complexe si elle est définie par
∀x ∈ C
P (x) = a0 + a1 x + · · · + ad xd ,
où d ∈ N et a0 , . . . , ad sont des nombres complexes.
— Les nombres complexes ai (pour i = 0, . . . , d) sont appelés coefficients de la fonction polynôme
— Si ad 6= 0, on dit que la fonction polynôme est de degré d.
— Si ad = 1, on dit que la fonction polynôme est unitaire.
— Si un seul des coefficients aj est non nul (c’est-à-dire que P (x) = aj xj ) on dit que P est une fonction
monôme de degré j.
On note C[x] les fonctions polynômes à coefficients complexes.
Proposition 2.1 Si tous les ai pour i = 0, . . . , d sont nuls, P n’est autre que la fonction nulle.
Une fonction polynôme est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Les propriétés d’addition et de multiplication des fonctions polynômes réelles se généralisent aux fonctions
polynômes complexes.
2.2
Dérivation - Racines d’une fonction polynôme
Définition 2.2 (Dérivée d’une fonction polynôme) Soit P une fonction polynôme complexe définie par
n
X
P (x) =
aj xj . On appelle dérivée de P la fonction de C dans C, donnée par :
j=0
P 0 (x) =
n
X
jaj xj−1 .
j=1
Définition 2.3 Soit m ∈ N∗ , P une fonction polynôme et α une racine de P dans C. On dira que α est une
racine d’ordre m de P si P (α) = P 0 (α) = · · · = P (m−1) (α) = 0 et P (m) (α) 6= 0.
L’entier m est appelé multiplicité de la racine. Si m = 1, la racine est dite simple, sinon on parle de racine
multiple.
17
18
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES COMPLEXES
Remarques
1- Si P est une fonction polynôme de R dans R à coefficients réels, la notion de dérivée introduite dans la
définition 2- coı̈ncide avec celle du semestre 1. La dérivée introduite ici satisfait les propriétés usuelles :
∀(P, Q) ∈ (C[x])2 ; (P + Q)0 = P 0 + Q0 et (P Q)0 = P 0 Q + P Q0
2- La formule de Taylor (voir semestre 1) se généralise aux polynômes complexes. Pour une fonction polynôme
de degré au plus n, on peut écrire :
n
X
P (k) (α)
P (x) =
(x − α)k .
k!
k=0
3- Si α est une racine d’ordre m de P , on a donc P (x) = (x − α)m
n−m
X
k=0
P (m+k) (α)
(x − α)k .
(m + k)!
On a donc la proposition suivante :
Proposition 2.2 Si P est un fonction polynôme et α une racine d’ordre m de P , alors il existe une fonction
polynôme Q telle que P (x) = (x − α)m Q(x), avec Q(α) 6= 0.
Nous admettons le résultat important suivant :
Théorème 2.1 (de d’Alembert) Soit P une fonction polynôme complexe de degré d ≥ 1, il existe d complexes α1 , . . . , αd non forcément distincts, tels que
P (x) = a
d
Y
(x − αi )
i=1
Les αi sont exactement les d racines de P , et l’écriture précédente est unique, à l’ordre des facteurs près.
Autrement dit, toute fonction polynôme à coefficients complexes de degré d ≥ 1 a exactement d racines (pas
forcément distinctes) dans C. Ce théorème s’appelle aussi “Théorème fondamental de l’algèbre” et également
“Théorème de d’Alembert-Gauss”. Si l’on regroupe les racines éventuellement égales on obtient :
Corollaire 2.1 Toute fonction polynôme P à coefficients complexes de degré d ≥ 1, s’écrit de manière unique
(à l’ordre des facteurs près) sous la forme :
P (x) = a
n
Y
(x − αi )mi
i=1
où les αi (1 ≤ i ≤ n) sont les racines distinctes de P , les mi leurs multiplicités respectives et a ∈ C est le
coefficient principal de P .
On remarque de la somme des multiplicités des racines de P est égale au degré de P .
Voici une application intéressante de ce théorème :
Corollaire 2.2 Si deux fonctions polynômes prennent la même valeur en une infinité de points, alors elles
sont égales.
Remarque
En fait, en général, la question ne se pose que si elles ont le même degré d, et alors il suffit de prouver qu’elles
prennent les mêmes valeurs en d + 1 points.
2.3. LE CAS PARTICULIER DE R[X]
2.3
19
Le cas particulier de R[x]
On note R[x] l’ensemble des fonctions polynômes coefficients réels.
Lorsque tous les coefficients d’une fonction P polynôme sont dans R, cette fonction polynôme a encore exactement d racines dans C. On prcise alors les rsultats suivants :
Définition 2.4 Soit P ∈ R[x], de degré non nul. La fonction polynme P est dite irrductible s’il n’existe pas de
fonctions polynômes dans R[x], P1 et P2 de degrs strictement positifs tels que P = P1 P2 .
Proposition 2.3 Les fonctions polynômes irréductibles de R[x] sont les fonctions polynômes de degré 1 et les
fonctions polynômes de degré 2 de discriminant négatif.
Démonstration : en exercice.
Proposition 2.4 Soit P ∈ R[x] et soit α ∈ C\R une racine de P de multiplicité m. Alors le complexe conjugué
α est aussi une racine de P de multiplicité m.
Corollaire 2.3 Toute fonction polynôme P de R[x] s’écrit de manière unique sous la forme :
P =a
r
Y
Pimi ,
i=1
où les Pi sont des fonctions polynômes unitaires et irréductibles de R[x], a ∈ R est le coefficient principal de P
et les mi sont des entiers strictement positifs.
L’entier mi est appelé la multiplicité du facteur irréductible Pi .
Exemple. La fonction polynôme P définie par P (x) = 4x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 1 a pour décomposition en
facteur irréductibles dans R[x], P (x) = 4(x2 + 1))(x − 1/2)2 . Le facteur irréductible P1 (x) = x2 + 1 est de
multiplicité m1 = 1 alors que le facteur irréductible P2 (x) = x − 1/2 est de multiplicité m2 = 2. Dans C[x], P
se factorise en P (x) = 4(x − i)(x + i)(x − 1/2)2 .
2.4
Travaux dirigés - Exercices
Exercice 2.1 Factoriser sur R et C les fonctions polynômes suivantes :
1- P1 (x) = x4 − 4
2- P2 (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1.
3- P3 (x) = x4 + 1.
Indication : écrire P3
4- P4 (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1.
Indication : trouver la
5- P5 (x) = 3 x3 − 18 x2 + 36 x − 24.
6- P6 (x) = x3 + x − 2.
7- P7 (x) = x4 + x2 − 6.
Indication : (x − 1)P2 (x) = x6 − 1.
comme la différence de deux carrés.
racine “évidente” et sa multiplicité.
Indication : vérifier que P5 (2) = 0.
Exercice 2.2 Factoriser sur C la fonction polynôme donnée par P (x) = x3 − ix2 + (−12 + 16i)x + 16 + 12i.
Indication : P (i) = 0.
Exercice 2.3 Soit P (x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 ∈ R[x]. On admet que P admet une racine double non
réelle α.
1- Donner la factorisation de P sur C en fonction de α.
2- En développant l’expression trouvée à la question précédente, déterminer les racines de P .
3- Donner la factorisation de P sur R.
20
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES COMPLEXES
Chapitre 3
Espaces vectoriels
Prérequis : chapitre ”Introduction à la notion d’espace vectoriel” vu au semestre 1.
Dans tout ce chapitre, E désigne un espace vectoriel sur R avec les lois notées “+” et “.” et l’élément neutre
pour la première loi est noté 0E .
3.1
Rappels
Définition 3.1 Soit n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn des éléments (vecteurs) de E. On dit que (x1 , . . . , xn ) est une famille
(ou liste) de vecteurs de E.
Les éléments de la famille sont donc ordonnés et certains peuvent être égaux entre eux.
Définition 3.2 Soit n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn des éléments de E. Soit (a1 , . . . , an ) ∈ Rn l’élément a1 x1 +· · ·+an xn
de E est une combinaison linéaire de x1 , . . . , xn .
Proposition 3.1 Soit n ∈ N∗ et X = (x1 , . . . , xn ) une famille de vecteurs de E.
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des éléments de X est un sous-espace vectoriel de E.
Définition 3.3 Soit n ∈ N∗ et X = (x1 , . . . , xn ) une famille de vecteurs de E.
Le sous-espace vectoriel F , ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de X, est appelé sous-espace
vectoriel engendré par X. Il est noté Vect(X) ou Vect((x1 , . . . , xn )).
La famille X est dite famille génératrice de F (on dit aussi X engendre F ) .
Remarque
Pour X = (x1 , . . . , xn ), on a : Vect(X) = {x = a1 x1 + · · · + an xn / (a1 , . . . , an ) ∈ Rn }.
Exemple Soit E = R2 et X = (e1 , e2 ) avec e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) alors R2 = Vect((e1 , e2 )).
Proposition 3.2 Avec les notations ci-dessus, Vect(X) est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace
vectoriel de E contenant X.
Preuve : Puisque si F est un sous-espace vectoriel de E contenant X, il contient nécessairement toutes les
combinaisons linéaires des éléments de X.
Exemple
L’ensemble A = {(x, y, z) ∈ R3 / 5x − 4y − 7z = 0} est l’ensemble des combinaisons linéaires des deux vecteurs
u = ( 54 , 1, 0) et v = ( 75 , 0, 1) (prouvez-le). Si on considère maintenant le vecteur w = (0, 7, −4), la famille
(u, v, w) est aussi une famille génératrice de A (prouvez-le).
21
22
CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS
Or, l’écriture d’un vecteur quelconque de A sous forme de combinaison linéaire de u et v est unique, mais ce
n’est pas le cas sous forme de combinaison linéaire de u, v et w (prouvez-le).
Proposition 3.3 Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit X une famille génératrice de F . Toute famille de
vecteurs de F contenant X est une famille génératrice de F , c’est-à-dire, pour toute partie finie Y = (y1 , . . . , yn )
de F , on a :
F = Vect(X) =⇒ F = Vect(X ∪ Y ).
Preuve : On traite le cas où Y est réduite à un seul vecteur y. Pourquoi ?
On privilégie les familles génératrices pour lesquelles on a unicité de la décomposition.
3.2
Bases et dimension
Définition 3.4 Soit F un sous-espace vectoriel de E et X une famille génératrice de F . Si, l’écriture de
tout vecteur de F comme combinaison linéaire des éléments de cette famille X est unique, alors cette famille
génératrice est appelée base de F .
Remarque
Si F = {0E }, la seule famille génératrice de F est (0E ). Pourquoi ? Prouvez que ce n’est pas une base de F et
que par conséquent F = {0E } n’admet pas de base.
On a le théorème suivant (admis).
Théorème 3.1 Tout espace vectoriel E non réduit à {0E } et engendré par un nombre fini d’éléments possède
une infinité de bases. Toutes les bases de E comportent le même nombre d’éléments et ce nombre est appelé
dimension de E.
Pn
Définition 3.5 Soit E un espace vectoriel et X = (x1 , . . . xn ) une base de de E. Si x ∈ E s’ écrit x = i=1 λi xi
avec λi ∈ R pour i ∈ {1, . . . n}, alors les nombres λi sont dits coordonnées de x dans la base X.
Convention
On convient que la dimension de F = {0E } est égale à 0.
Exemples
Dans R2 Soient les vecteurs i = (1, 0), j = (0, 1), u = (2, −3), v = (4, −1), w = (8, −2), x = (−1, 2) et
y = (1, −1) On peut montrer que (cours)
— La famille (i, j) forme une base de R2 .
— La famille (u, v) forme une base de R2 .
— La famille (v, w) ne forme pas une base de R2 .
— La famille (x, y, i) ne forme pas une base de R2 .
On admettra la propostion suivante :
Proposition 3.4 Soit F un sous-espace vectoriel de E et X une famille génératrice de F . La famille X est
une base de F si et seulement si X est une famille minimale de générateurs.
Remarque
Cela signifie que toute famille strictement incluse dans une base de F n’est pas une famille génératrice de F .
La dimension de F est donc le nombre minimum de vecteurs d’une famille génératrice de F .
Exercice 3.1
1- Soit I un intervalle de R. L’ensemble F(I) des fonctions d’une variable réelle définies sur I et à valeurs dans
R constitue un espace vectoriel sur R, avec les lois usuelles d’addition des fonctions et de multiplication par
3.3. INDÉPENDANCE ET DÉPENDANCE LINÉAIRE
23
un scalaire d’une fonction. L’élément neutre est la fonction identiquement nulle sur I. On peut montrer que
l’espace vectoriel F(I) n’est pas de dimension finie.
2- Montrer que l’ensemble des fonctions dérivables sur I forme un sous-espace vectoriel de F(I).
3- Soit R[x] l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels. Montrer que R[x] est un sous-espace vectoriel
de F(R). Peut-on en trouver une base ? Peut-on trouver sa dimension ?
4- Soit n ∈ N. Montrer que l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
n est un sous-espace vectoriel de R[x], en trouver une base et donner sa dimension.
5- Soit x0 ∈ I et Z = {f ∈ F(I) | f (x0 ) = 0}. Montrer que Z est un sous-espace vectoriel de F(I). Montrer
que T = {f ∈ F(I) | f (x0 ) = 1} n’est pas un espace vectoriel.
6- L’ensemble des réels positifs R+ est-il un espace vectoriel ?
7- L’ensemble des bijections de R dans R forme-t-il un espace vectoriel ?
3.3
Indépendance et dépendance linéaire
Remarque
Soit X = (x1 , · · · , xn ) une base de E. L’unicité de la décomposition du vecteur nul de E dans cette base se
traduit en disant que les vecteurs de X vérifient la propriété suivante :
(s’il existe des réels λ1 , · · · , λn tels que λ1 x1 + · · · + λn xn = 0E ) alors (λ1 = λ2 = · · · = λn = 0).
Cette remarque nous conduit à donner la nouvelle définition qui suit.
Définition 3.6 Les vecteurs x1 , · · · , xp (p ∈ N∗ ) sont dits vecteurs linéairement indépendants si, pour
des des réels λ1 , · · · , λp on a λ1 x1 + · · · + λp xp = 0E , alors λ1 = λ2 = · · · = λp = 0.
La famille de vecteurs (x1 , · · · , xp ) (ou toute autre famille obtenue par permutation) est alors dite famille
libre.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire s’il existe des réels λ1 , · · · , λp non tous nuls tels que
λ1 x1 + · · · + λp xp = 0E ,
alors les vecteurs sont dits vecteurs linéairement dépendants et la famille est dite famille liée.
→
− →
−
Exemple Dans le plan muni d’un repère (O, i , j ).
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
a) Les vecteurs a = i + 2 j et b = 2 i + 4 j sont linéairement dépendants.
→
−
→
−
b) Les vecteurs i et j sont linéairement indépendants.
Exercice 3.2 Dans R3 , soient u = (1, 3, −1), v = (6, 3, 2), w = (5, 0, 3), x = (0, 1, −1).
Montrer que u, v, w, (u, v), (u, v, x) sont des familles libres et que (u, v, w) est une famille liée.
Proposition 3.5 Si (x1 , · · · , xp ) est une famille libre de E et si (x1 , · · · , xp , x) est une famille liée de E, alors
x ∈ Vect({x1 , · · · , xp }) et x s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de x1 , · · · , xp (c’est-à-dire
qu’il existe un unique p-uplet de réels λ1 , · · · , λp tels que x = λ1 x1 + · · · + λp xp ). Par conséquent, une base
de F est une famille libre maximale de F .
Exercice 3.3 En idéntifiant R3 à l’espace et R2 au plan, caractériser tous les sous-espaces vectoriels de R2 et
de R3 .
3.4
Caractérisation d’une base en dimension finie
Théorème 3.2 Soit E un espace vectoriel sur R de dimension finie. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) B est une base de E.
(ii) B est une famille génératrice minimale de E.
(iii) B est une famille libre maximale de E.
(iv) B est une famille libre et génératrice de E.
24
CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS
Corollaire 3.1 Soit E un espace vectoriel sur R. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
— E est de dimension finie n,
— n est le nombre maximum de vecteurs d’une famille libre de E,
— n est le nombre minimum de vecteurs d’une famille génératrice de E.
Corollaire 3.2 (très utilisé !)
Soit n ∈ N, et soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur R.
– Toute famille libre comportant n vecteurs est une base de E.
– Toute famille génératrice comportant n vecteurs est une base de E.
Preuve En cours.
Exemple
Soit A = {(x, y, z) ∈ R3 ; 5x − 4y − 7z = 0} et u = ( 45 , 1, 0), v = ( 75 , 0, 1) et w = (0, 7, −4). Montrons que :
— les familles F = (u, v) et G = (u, v, w) sont des familles génératrices de A ;
— la famille F est libre maximale et génératrice minimale ;
— la famille G est liée.
Quelles sont les propriétés de la famille (u, w) ?
Exemple fondamental : base canonique de Rn .
3.5
Recherche de bases dans un espace vectoriel
Proposition 3.6 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soit G une famille génératrice de E alors il
existe une base de E constituée d’éléments de G.
Preuve : En cours
Exemple
Dans R4 , soit u1 = (4, 3, 2, −1), u2 = (2, 0, 3, 1), u3 = (2, 3, −1, −2). Soit F = Vect(u1 , u2 , u3 ). Déterminer une
base de F .
Théorème 3.3 (de la base incomplète) Soit n ∈ N et k ∈ N. Soit E de dimension n et (a1 , . . . , ak ) une famille
libre de E ; si k < n il existe des vecteurs ak+1 , . . . , an de E tels que (a1 , . . . , an ) soit une base de E.
Preuve : p := k ;
Tant que p < n, il existe u ∈ E tel que u n’est pas une combinaison linéaire des (a1 , . . . , ap ) ;
ap+1 := u ;
p := p + 1.
Remarque
Dans Rn , on peut chercher les vecteurs u de la preuve ci-dessus dans les vecteurs de la base canonique.
Proposition 3.7 Soit n ∈ N. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace vectoriel de
E. Alors F est de dimension finie p ≤ n, et n = p si et seulement si E = F .
3.6
Rang d’une famille de vecteurs
Définition 3.7 Soit n ∈ N et (x1 , . . . , xp ) de vecteurs de E. On appelle rang de la famille (x1 , . . . , xp ) la
dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille.
Proposition 3.8 Soit n ∈ N et soit E un espace vectoriel de dimension finie n et (a1 , . . . , an ) une base de E.
Soit x1 , · · · , xp , p vecteurs de E, avec p ≤ n,
Pnqui se décomposent sur la base choisie :
xj = i=1 αi,j ai pour j = 1, . . . , p.
3.7. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
25
Si αi,j = 0 pour tous i et j tels que i > j, et si αi,i 6= 0 pour tout i, alors la famille (x1 , . . . , xp ) (dite famille
échelonnée) de vecteurs de E est une famille libre.
Par exemple dans R3 , les vecteurs x1 = (3, 0, 0), x2 = (6, 1, 0), x3 = (2, 1, −1) forment une famille échelonnée
de vecteurs ; c’est donc une famille libre de R3 .
Remarque : dans la proposition ci-dessus, on peut remplacer ”Si αi,j = 0 pour tous i et j tels que i > j” par
”Si αi,j = 0 pour tous i et j tels que i < j” car on peut toujours renverser l’ordre des éléments des la base et
l’ordre des xj .
Méthode
Pour déterminer le rang d’une famille S de vecteurs, on effectue des combinaisons linéaires sur ces vecteurs
de façon à remplacer la famille S par une famille engendrant le même sous-espace vectoriel que S et dont les
vecteurs non nuls vérifient la proposition précédente.
Si l’un des vecteurs ainsi obtenu est nul, on obtient une relation de dépendance exprimant que S est une famille
liée. On reviendra sur cette méthode après le chapitre sur les matrices.
Exemple
Soit la famille x1 = (3, 2, −1), x2 = (6, 1, 2), x3 = (2, 1, −1). Notons A le sous-espace engendré par ces vecteurs.
— On considère les vecteurs x01 = x1 − x3 = (1, 1, 0) et x02 = x2 − 2x3 = (10, 3, 0). Ils appartiennent à A et
A = Vect((x01 , x02 , x3 )) Pourquoi ?
— On considère les vecteurs x”1 = 3x01 + x02 = (−7, 0, 0). Il appartient à A et A = Vect((x”1 , x”2 , x3 )).
— On obtient une famille échelonnée donc libre. Le rang de (x1 , x2 , x3 ) est 3.
Exemple
Soit la famille x1 = (3, 2, −1), x2 = (6, 1, 2), x3 = (1, −1/3, 1). Notons A le sous-espace engendré par ces
vecteurs.
— On considère les vecteurs x01 = x1 + x3 = (4, 35 , 0) et x02 = x2 − 2x3 = (4, 53 , 0). Ils appartiennent à A et
A = Vect((x01 , x02 , x3 )). Pourquoi ?
— On considère le vecteur x”1 = x01 − x02 = (0, 0, 0). La famille (x1 , x2 , x3 ) est liée.
3.7
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
—
—
—
—
Savoir manipuler les vecteurs de R2 , R3 et R4 et maı̂triser la notion de combinaison linéaire.
Maı̂triser la caractérisation d’un sous-espace vectoriel de R2 , R3 et R4 .
Réviser la résolution de ”petits” systèmes d’équations linéaires et la manipulation de paramètres.
Maı̂triser la notion de base, d’indépendance linéaire, de dimension.
→
− →
−
→
−
Exercice 3.4 On munit le plan d’un repère (O, i , j ). Soit les trois vecteurs u ,
→
−
respectives (2, −1), (−3, 2) et (1, 3). Montrer que w est une combinaison linéaire de
→
−
→
−
v et w de coordonnées
→
−
→
−
u et de v .
Exercice 3.5 Déterminer a ∈ R pour que w = (1, a, 3) soit combinaison linéaire de u = (−1, −2, 2) et v =
(0, 4, −1).
Exercice 3.6 Déterminer a ∈ R et b ∈ R pour que w = (−2, a, b, 3) appartienne au sous-espace vectoriel
engendré par u = (−1, −1, 1, 2) et v = (−1, 2, 3, 1).
Exercice 3.7 Dans R3 , prouver que les trois vecteurs b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, 2) et b3 = (1, 2, 3) constituent
une base, puis donner les coordonnées dans la base (b1 , b2 , b3 ) des vecteurs a1 = (5, 1, 3), a2 = (−2, 3, −1) et
a3 = 2a1 − 3a2 . La famille (a1 , a2 ) est-elle une base de R3 ? Et la famille (a1 , a2 , a3 ) ?
26
CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS
Exercice 3.8 Soit le sous-ensemble A de R4 défini par A = {(x, y, z, t) ∈ R4 / 2x+3y+z = 0 et 4x−y+t = 0}.
Montrer que A est un sous-espace vectoriel de R4 et en déterminer une base.
Exercice 3.9 Soit E un espace vectoriel sur R et (u, v) une famille libre de E. Soit m un nombre réel. Dans
chacun des cas suivants, étudier la dépendance linéaire des deux vecteurs a et b :
1- a = 2u + 3v et b = mu + v ;
2- a = 2u + mv et b = mu + v ;
3- a = mu + 3m2 v et b = (m − 1)u + v.
Exercice 3.10 - Bases orthogonales.
Soit B = (u1 , u2 , u3 ) une famille de vecteurs non nuls de R3 . On suppose que les ui sont deux à deux orthogonaux, c’est-à-dire que ui · uj = 0 pour tout 1 ≤ i < j ≤ 3.
1- Soit w = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 une combinaison linéaire des ui à coefficients dans R. Montrer que pour tout
i (1 ≤ i ≤ 3), on a :
ui · w = αi (ui · ui ) = αi kui k2 .
2- En déduire que B est une famille libre, et donc une base de R3 .
Une telle base s’appelle une base orthogonale. Si de plus les ui sont de norme 1, la base est dite othonormée.
3- En déduire aussi que si v est un vecteur quelconque de R3 , ses coordonnées (β1 , β2 , β3 ) dans la base B sont
βi =
v · ui
.
kui k2
4- On pose u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 0, −1) et u3 = (1, 2, 1).
(a) Vérifier que B est une base orthogonale.
(b) En utilisant la question 3, déterminer les coordonnées du vecteur v = (1, 2, 3) dans B.
(c) Déterminer les coordonnées dans B des vecteurs de la base canonique de R3 .
(d) Représenter la base B et le vecteur v sur une figure.
v · ui
ui .
5- Donner une interprétation géométrique du vecteur
kui k2
n
Remarque : ces définitions et propriétés se généralisent à R .
Exercice 3.11 Soit le sous-espace vectoriel A de R3 défini par A = {(x, y, z) ∈ R3 / 2x − 5y + 3z = 0}.
1- Déterminer une base de A.
2- Soit u le vecteur de coordonnées (2, −5, 3) dans la base canonique et soit B = Vect(u). Montrer que :
∀ U ∈ A, ∀ V ∈ B, U · V = 0.
Exercice 3.12 Soit E un sous-espace vectoriel de Rn . On appelle orthogonal de E l’ensemble :
E ⊥ = {v ∈ Rn | ∀u ∈ E, u · v = 0}.
1- Montrer que E ⊥ est un sous-espace vectoriel de Rn . Quelle est l’intersection de E et de E ⊥ ?
2- Dans le cas n = 2, on pose E = {(x, y) ∈ R2 | 2x + y = 0}. Déterminer une base et la dimension de E ⊥ .
3- Dans le cas n = 3, on pose E = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y = 0 et y − z = 0}. Déterminer une base et la
dimension de E ⊥ .
4- Dans le cas n = 3, si E = V ect((0, 1, 1), (1, 2, −1)), quelles sont les équations cartésiennes de E ⊥ ?
Exercice 3.13 Soit A l’ensemble des applications affines de R dans R, c’est-à-dire l’ensemble des applications
fa,b de R dans R telles que, pour tout réel x, fa,b (x) = ax + b. Montrer que A muni des opérations usuelles
d’addition et de multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R. Donner une base et la dimension A.
3.7. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
27
Exercice 3.14 On se place dans l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur
à 3, noté R3 [x]. Pour tout entier naturel i, on définit les fonctions polynômes Pi (x) = (x − 2)i et Ei = xi .
1- Explicitez les Pi et les Ei pour 0 ≤ i ≤ 3.
2- Montrer que E = (E0 , E1 , E2 , E3 ) est une base de R3 [x].
3- Exprimer les vecteurs P0 , P1 , P2 et P3 dans cette base.
4- Montrer que P = (P0 , P1 , P2 , P3 ) est une base de R3 [x].
5- Exprimer les vecteurs de E dans la base P .
Exercice 3.15 On note Rn [x] l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur à n en la variable x.
1- Montrer que Rn [x] est un espace vectoriel de dimension n + 1. En exhiber une base.
2- Soit a ∈ R. Montrer que les fonctions x 7→ 1, x 7→ (x − a), x 7→ (x − a)2 , . . . , x 7→ (x − a)n forment une base
de Rn [x].
3- Soit B = {P (x) ∈ Rn [x] | P 0 (a) = 0}. Montrer que B est un sous-espace vectoriel de Rn [x] et en trouver
une base (justifier).
Exercice 3.16
1- Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les fonctions cos et sin ?
2- Même question avec les fonctions cos x, sin x, cos 2x et sin 2x.
3- Même question avec les fonctions ex et e2x .
4- Même question avec les fonctions ex et ex+2 .
√
5- Même question avec les fonctions ln(x2 + 1) et ln x2 + 1 ?
28
CHAPITRE 3. ESPACES VECTORIELS
Chapitre 4
Matrices, espaces vectoriels et
systèmes linéaires
4.1
Notion de matrice
Définition 4.1 Soit m et n deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice réelle de taille m × n tout
tableau de nombres réels à m lignes et n colonnes.
a11
 ...
...
..
.
am1
...


a1n
.. 
.
.
amn
Les nombres réels a11 , a12 , . . ., amn sont appelés les coefficients de la matrice.
Le tableau est alors noté entre parenthèses. Les coefficients sont parfois séparés par des virgules pour éviter
toute confusion.

 

 
1 1 1
1 1
√1
Les objets (1, 2, 3, 4),  1 2 3 ,  1 2 ,  2  sont des matrices réelles.
−3
0 1
0 1 1
Question 1
De quelle taille sont respectivement les matrices citées plus haut ?
Remarque
Tout nombre réel a peut être considéré comme une matrice de taille 1 × 1 (tableau à 1 ligne et 1 colonne).
Notations
La matrice de la définition (4.1) ci-dessus est aussi notée A = (aij ) 1 ≤ i ≤ m de manière abrégée, où i est
1≤j≤n
l’indice de ligne et j l’indice de colonne.
On désigne par Mmn (R) ou tout simplement par Mmn l’ensemble des matrices à m lignes et à n colonnes à
coefficients dans R.
Remarque
On définit de manière analogue les matrices complexes (Mmn (C)). Donner un exemple de matrice complexe
non réelle (voir cours).
Égalité de matrices
Soit A = (aij ) 1 ≤ i ≤ m
1≤j≤n
et B = (bij ) 1 ≤ i ≤ p
1≤j≤q
deux matrices réelles (ou complexes). On dit que A et B
29
30
CHAPITRE 4. MATRICES, ESPACES VECTORIELS ET SYSTÈMES LINÉAIRES
sont égales si
m = p, n = q
∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈ {1, . . . , n}, aij = bij .
et
Exercice 4.1 Soit a, b et m trois nombres réels. On considère les deux matrices :
(m − 1)(m − 3) 2m − 3
0 a
Am =
et Ba,b =
m−5
m−3
b −2
Déterminer a et b tels qu’il existe m tel que Am = Ba,b .
4.2
Structure d’espace vectoriel
Définissons les deux premières opérations sur les matrices : addition et multiplication par un scalaire.
Soit m et n deux entiers naturels non nuls.
a11
.
Soit A =  ..
am1
...
..
.

...
a11
 ...
...
..
.
am1
...

et


a1n
b11
.. 
..

et
B
=
.
.
amn
bm1
 
a1n
b11
..   ..
+
.
.
amn
bm1
...
..
.
...
...
..
.
...

b1n
.. 
deux matrices dans Mmn . Soit λ ∈ R. On pose
.
bmn
 
b1n
a11 + b11
..  
..
=
.
.
bmn
am1 + bm1
...
..
.
...
a11
.
λ  ..
...
..
.
 
a1n
λa11
..   ..
=
.
.
...
..
.

λa1m
.. 
.
.
am1
...
amn
...
λanm

λan1

a1n + b1n
..

.
amn + bmn
Remarques
1. L’addition des matrices généralise celle des nombres. Pourquoi ? Elle généralise aussi celle des vecteurs.
Pourquoi ?
2. Attention l’addition des matrices ne concerne que des matrices de même taille.
Exercice 4.2 1- Additionner des matrices d’ordre 2 de votre choix.
2- Multiplier par 1/2 des matrices de taille 3 × 2 de votre choix.
3- L’ensemble M22 est un espace vectoriel sur R. Citer les propriétés qu’il faudrait vérifier. Exhiber la matrice
nulle (élément neutre pour l’addition ) et l’opposée d’une matrice donnée. Déterminer une base de M22 et en
déduire sa dimension.
Propriété
Pour tout couple (m, n) d’entiers naturels non nuls, Mmn est un espace vectoriel sur R.
4.3
Formes particulières de matrices ; sous-espaces vectoriels
Soit m et n deux entiers naturels non nuls et soit A = (aij ) 1 ≤ i ≤ m une matrice réelle (de taille m × n).
1≤j≤n
1) On dit que A est une matrice carrée d’ordre n si m = n.
2) On dit que A est une matrice diagonale si A est une matrice carrée et que, pour tous i et j dans {1, . . . , m}
tels que i 6= j, on a : aij = 0.
3) On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si A est une matrice carrée et que, pour tous i et
j dans {1, . . . , m} tels que i > j, on a : aij = 0 .
4.4. MULTIPLICATION DES MATRICES
31
4) On dit que A est une matrice colonne (ou bien unicolonne) si n = 1.
5) On dit que A est une matrice ligne si m = 1.
Exercice 4.3 1- Donner des exemples de chaque type de matrice défini ci-dessus et donner la définition d’une
matrice triangulaire inférieure. À quel(s) type(s) de matrices appartient une matrice carrée nulle ?
2- Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille 2 × 2 forme un sous-espace vectoriel
de M22 pour les opérations induites. Quelle est sa dimension ?
4.4
Multiplication des matrices
Définition 4.2 Soit m, n, p des entiers naturels non nuls. Pour A = (aij ) ∈ Mmn , B = (bij ) ∈ Mnp , le
produit AB est la matrice C = (cij ) ∈ Mmp donnée par :
∀i ∈ {1, . . . , m}
et
∀j ∈ {1, . . . , p},
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
Remarquer que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Exercice 4.4


−1
2


1- Vérifier que ( −1, −3, 2 )
3
= (1 + (−9) + 8) = (0) et que
1
4





1 −1
2
−2 −1
1
1 1 1






1
−3
−1
2
1
0
puis
2- Calculer 1 2 3
−1
2
1
3
1 −1
0 1 1
1
3
1
1
1
2
1
3
=
3
4
4
7
5
10
.

−20 −4 −7
−12 −2 −3  .
7
1
2
Propriétés 1
1. Le produit de matrices est associatif.
2. Le produit de matrices n’est pas commutatif. Soit A et B deux matrices. Le produit AB peut exister sans
que BA existe, et même si BA existe, on peut avoir AB 6= BA.
3. Soit A et B deux matrices. On peut avoir AB = 0 avec A 6= 0 et B 6= 0.
Exercice 4.5 Justifier les deux dernières propriétés ci-dessus en donnant un exemple pour chacune d’elles
(c’est-à-dire des “contre-exemples” . . .).
Propriétés 2
On a aussi les deux propriétés suivantes :
- si λ ∈ R, A ∈ Mnm et B ∈ Mmp , alors λ(AB) = (λA)B = A(λB) ;
- le produit (de matrices) est distributif par rapport à l’addition, c’est-à-dire qu’il vérifie
(A1 + A2 )B = A1 B + A2 B
A(B1 + B2 ) = AB1 + AB2 ,
mais seulement quand ces produits ont un sens !
Matrice unité ou identité
Pour n ∈ N∗ , la notation Mn désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre n (c’est-à-dire de taille n × n).
L’ensemble Mn admet une matrice unité, c’est-à-dire, un élément de Mn , noté In , qui vérifie la propriété
suivante :
∀ A ∈ Mn , In A = AIn = A.
32
CHAPITRE 4. MATRICES, ESPACES VECTORIELS ET SYSTÈMES LINÉAIRES

1 0 ... 0
0 1 ... 0

La matrice unité de Mn est In = 
 ... ... . . . ... .
0 0 ... 1
Matrice inverse
Proposition Soit n ∈ N∗ et A ∈ Mn . S’il existe une matrice B ∈ Mn vérifiant AB = BA = In alors la
matrice B est unique.

Démonstration
Supposons que deux matrices B1 et B2 répondent à la question. Alors :
(B1 B2 )A = B1 (B2 A) = B1 = B1 (AB2 ) = (B1 A)B2 = B2 .
Donc en particulier B1 = B2 , d’où l’unicité.
Définition Soit n ∈ N∗ et A ∈ Mn telle qu’il existe une matrice B ∈ Mn vérifiant AB = BA = In . On dit
que A est inversible et la matrice B est appelée l’inverse de A.
Notation : soit A une matrice inversible. Sa matrice inverse est notée A−1 .
Exercice 4.6 En appliquant la méthode des coefficients indéterminés, déterminer si possible, dans
M2 (R) la matrice inverse de chacune des matrices
ci-dessous
: 3 −4
1 1
I2 , A =
,
B
=
.
2 2
1 − 13
Proposition 4.1 Soit M =
a
c
b
d
une matrice de M2 . Alors M est inversible si et seulement si ad−bc 6= 0
et dans ce cas
M −1 =
1
ad − bc
d
−c
−b
a
Le réel ad − bc 6= 0 s’appelle le déterminant de M . Les déterminants des matrices carrées de taille arbitraire
seront étudiés plus tard.
4.5
Interprétation matricielle d’un système linéaire
Exemple





x
−20x − 4y − 7z
−20 −4 −7
Soit A =  −12 −2 −3  et soit X =  y . On a AX =  −12x − 2y − 3z .
z
7x + 1y + 2z
7
1
2


b1
Soit b =  b2  une matrice colonne.
b3



x
 −20x − 4y − 7z = b1
−12x − 2y − 3z = b2 revient à trouver une matrice colonne X =  y 
Résoudre dans R le système (S1 )

7x + 1y + 2z = b3
z
telle que AX = b.
4.6. MATRICES ÉCHELONNÉES, RANG D’UNE MATRICE ET APPLICATIONS
Cas général
Soit (m, n) ∈ (N∗ )2 . Le système de m équations à n inconnues

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..

.



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
=
=
33
b1
b2
..
.
= bm
s’écrit sous forme matricielle AX = B en posant :

A = (aij ) 1 ≤ i ≤ m
1≤j≤n


X=

x1
x2
..
.




,

b1
b2
..
.


B=




.

bm
xn
Résolution par “mise sous forme triangulaire”
Exercice 4.7 Résoudre par cette méthode le système ci-dessus.
Résolution par “inversion”
Soit A ∈ Mn , X ∈ Mn,1 et b ∈ Mn,1 . Si la matrice A est inversible, le système AX = b possède une unique
solution donnée par : X = A−1 b.
Exercice 4.8 Résoudre par cette méthode, et en vous aidant d’un des résultats obtenus dans l’exercice 3, le
système :
3x − 4y = 7
(S3 )
x − 31 y = −1
On verra plus loin une autre méthode (plus rapide) pour inverser une matrice.
4.6
Matrices échelonnées, rang d’une matrice et applications
Définition 4.3 Une matrice A est dite échelonnée si chacune de ses lignes non nulles, à partir de la deuxième,
possède un nombre de zéros initiaux strictement supérieur à celui de la ligne précédente. Le premier terme non
nul de chaque ligne est appelé un pivot.
Exercice 4.9 Les matrices suivantes sont-elles échelonnées ?

 
 

1 1 −1
1 1
1 −1 2 −2
 0 1
5   0 1   0
2 2
3 
0 0
1
0 0
0
0 1 −9

1
 0
0

−1 1
1 1 
2 1
Définition 4.4 Une matrice A est dite réduite si elle est échelonnée, si tous ses pivots valent 1 et si les
éléments situés au-dessous des pivots sont nuls.
Exercice 4.10 Dans l’exemple ci-dessus, quelles sont les matrices réduites ?
Définition 4.5 Soit A une matrice de Mm,n (R). On appelle rang de A le rang de la famille de m vecteurs de
Rn formée par les lignes de A.
Notation : on note rg(A) le rang de la matrice A.



1 −1 2
1
1 2 , alors rg(A) = 3. Si A =  1
Par exemple, si A =  0
0 −1 1
0

2 1
1 2 , alors rg(A) = 2.
−1 1
34
CHAPITRE 4. MATRICES, ESPACES VECTORIELS ET SYSTÈMES LINÉAIRES
Définition 4.6 On appelle transposée d’une matrice A la matrice qui a pour vecteurs lignes les vecteurs colonnes de A (et donc pour vecteurs colonnes les vecteurs lignes de A).
Notation : on notera t A la transposée de A.
On admettra le résultat important suivant :
Théorème 4.1 Soit (m, n) ∈ N∗ 2 et A une matrice m × n. On a rg(A) = rg(t A) et rg(A) ≤ min(m, n).
Ce théorème indique notamment que le rang de A est aussi le rang de la famille de vecteurs formée par les
colonnes de A.
Définition 4.7 On appelle opération élémentaire sur une matrice l’une des opérations suivantes :
— échanger deux lignes ;
— multiplier une ligne par un nombre réel non nul ;
— ajouter à une ligne une combinaison linéaire d’autres lignes.
Appliquer à une matrice l’une de ces opérations ne change pas son rang.
Proposition 4.2 Le rang d’une matrice échelonnée est le nombre de lignes non nulles qu’elle contient.
Exercice 4.11 Pour chacune des matrices
sur le rang.

1
rg(1, 2, 3, 4) = 1, rg  0
0
données en ci-dessous, écrire sa transposée et vérifier la propriété
1
2
0

1
3  = 3,
1

1
rg  1
0

1
2  = 2,
1

√1
rg  2  = 1.
−3

Proposition 4.3 Une matrice carrée (d’ordre n) est inversible si et seulement si elle est de rang maximal
(c’est-à-dire de rang n).
4.6.1
Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs
D’après l’étude faite en cours sur les familles de vecteurs, on peut affirmer que le rang d’une matrice n’est
pas modifié par une opération élémentaire, ce qui conduit à l’ algorithme d’échelonnement (cf cours).

1
Exercice 4.12 Échelonner la matrice :  −1
2
4.6.2

1 1
2 3 .
2 1
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
Algorithme d’inversion de Gauss (matrice augmentée de l’identité).
Entrée : A une matrice de taille n × n.
— Faire M := (A|I) ;
— Transformer M en une matrice réduite M 0 par des opérations élémentaires sur les lignes.
Sortie :
— Si M 0 est de la forme (I|B), alors A inversible et A−1 = B ;
— Sinon, A non inversible.
4.7. APPLICATION DE LA NOTION DE RANG À LA RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE
4.7
35
Application de la notion de rang à la résolution d’un système
linéaire
Nous reprenons les notations du cas général de la section 3.5 et nous traiterons en détail le cas des systèmes
réels (coefficients réels et recherche des solutions dans R) et admettrons que les résultats dans le cas complexe
sont analogues.
4.7.1
Cas particulier des systèmes linéaires homogènes : B = 0Rm
Exercice 4.13 Montrer que l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène AX = 0Rm , où A ∈
Mmn (R), est un sous-espace vectoriel de Rn .
Notons C1 , C2 , . . . , Cn les n vecteurs colonnes de la matrice A.
Résoudre le système AX = 0 revient à trouver des réels x1 , x2 , . . . , xn tels que x1 C1 + x2 C2 + . . . + xn Cn = 0Rm .
Par conséquent :
— si rg(A) = n, c’est-à -dire si les n vecteurs colonnes de A sont linéairement indépendants, le système
admet 0Rn pour solution unique.
— si rg(A) = r < n, c’est-à -dire si les n vecteurs colonnes de A sont linéairement dépendants, alors l’espace
vectoriel des solutions est un sous-espace vectoriel de Rn de dimension n − r.
Exercice 4.14 Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel λ le système :
4.7.2


x + λy + z
x + y − λz

2x + 2λy − z
=
=
=
0
0
0
Cas particulier des systèmes linéaires non homogènes : B 6= 0Rm
Exercice 4.15 Soit un système linéaire non homogène AX = B où A ∈ Mmn (R) et B ∈ Rm . Soit X0 ∈ Rn
une solution particulière de ce système. Montrer qu’alors l’ensemble des solutions de ce système est l’ensemble
{X0 + u | u ∈ E0 } où E0 est l’ensemble des solutions du système homogène associé AX = 0Rm .
Remarque
Attention, nous n’avons pas prouvé l’existence d’une solution, cf. exercice ci-dessous.
Exercice 4.16 Soit les réels λ, α, β et γ. Résoudre le système :
4.7.3


x + λy + z
x + y − λz

2x + 2λy − z
= α
= β .
= γ
Bilan : théorème de Rouché et méthode de Gauss
Un système linéaire peut donc avoir 0, 1 ou une infinité de solutions. Pour énoncer un théorème plus précis,
nous avons besoin de la définition suivante :
Définition 4.8 On appelle matrice augmentée du système AX = B la matrice (A|B) ∈ Rm×(n+1) .
Théorème 4.2 (Théorème de Rouché) Le système AX = B défini plus haut est :
— incompatible si rg(A|B) > rg(A) ;
— compatible et n − r fois indéterminé si rg(A|B) = rg(A) = r. En particulier, si r = n, la solution
est unique. D’autre part, si B = 0Rm , l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de Rn de
dimension n − r.
Dans le second cas, r inconnues s’expriment de façon unique en fonction des n − r autres, prises comme paramètres.
36
CHAPITRE 4. MATRICES, ESPACES VECTORIELS ET SYSTÈMES LINÉAIRES
Remarque
Les inconnues principales correspondent aux colonnes d’une sous-matrice particulière, dite sous-matrice principale de A.
Méthode de Gauss de résolution d’un système linéaire : on échelonne (A|B).

 x+y+z = 0
2x + y − z = 7 .
Exercice 4.17 Résoudre par la méthode de Gauss le système :

3x + 2y − z = 10
4.8
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
—
—
—
—
—
—
—
Maı̂triser la notion de base, d’indépendance et de dépendance linéaire.
Connaı̂tre la notion de rang d’une matrice et d’une famille de vecteurs.
Se familiariser avec les opérations sur les matrices.
Manipuler l’espace vectoriel des matrices.
Utiliser l’écriture matricielle pour déterminer le rang d’une famille de vecteurs.
Calculer, lorsque c’est possible l’inverse d’une matrice.
Résoudre des systèmes linéaires d’ordre quelconque.
Soit n ∈ N. Dans la suite l’ensemble des matrices n × n coefficients dans R est dsign par Mn (R) ou bien Mnn .
1 1
1 1 0
1
1
Exercice 4.18 Soit A = (1, 2, 3, 4), B =
,C=
et D =
.
1 2
0 1 1
−3 −1
1- Calculer, quand c’est possible, A + A, 2.A, B.B, BA, −A, BD et DB.
2- Montrer que (D + B)2 = D2 + DB + B 2 + BD.



i 1 1
−i
Exercice 4.19 Soit i tel que i2 = −1 (dans C). Soit A = (i, 2i, 3, −1), B =  0 i 3 , C =  0
0 0 i
3
Calculer, quand c’est possible, AB, AC, iA, BA, CA, BC, CB et A + C
Exercice 4.20 Soit
E=
a −b
b a
;
(a, b) ∈ R
2
.
1- Montrer que E est sous espace vectoriel de M2 (R) dont on donnera une base et la dimension.
2- Vérifier que :
2
0 −1
1 0
=−
.
0 1
1 0
3- Déterminer tous les éléments M de E qui vérifient : M 2 = −I.
Exercice 4.21 Soit

 a 0
T = 0 c

0 0
Montrer que T est un sous espace vectoriel

0 1
Exercice 4.22 Soit n ∈ N et A =  0 0
0 0

b
0
d
;
(a, b, c, d) ∈ R6


.

de M3 (R) dont on donnera la dimension.

1
1  . Déterminer An .
0

1+i 0
−1 1 .
1
0
4.8. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
37
Exercice 4.23 On se place dans l’espace vectoriel R3 . Etudier le rang de la famille U des vecteurs ci-dessous
:
u1 = (1, 1, 2), u2 = (2, 1, 0), u3 = (0, 1, 1) et u4 = (3, 3, 3).
Donner la famille libre maximale qu’on peut extraire de U et la compléter si nécessaire pour obtenir une base
de R3 .
Exercice 4.24 On se place dans l’espace vectoriel R4 . Etudier le rang de la famille U des vecteurs ci-dessous
:
u1 = (2, 3, 0, 0), u2 = (1, 0, 2, 0) et u3 = (0, 3, −4, 0).
Donner la famille libre maximale qu’on peut extraire de U et la compléter si nécessaire pour obtenir une base
de R4 .
Exercice 4.25 On se place dans l’espace vectoriel R4 . Etudier suivant les valeurs du paramètre réel m le rang
de la famille U des vecteurs ci-dessous :
u1 = (1, −1, 0, 2), u2 = (0, 1, m, 2), u3 = (0, 1, 1, 1) et u4 = (m, 0, 1, 0).
1
a
=
1
b

Exercice 4.26 Discuter selon les valeurs des paramètres réels a et b le rang de la matrice Ma,b
b
1
a
1

1
b
.
1
a
Exercice 4.27 Soit
A=
1
1
2
4
,
B=
1
2
et
X=
x
.
y
1- Écrire le système d’équations correspondant à AX = B puis résoudre (en X) les systèmes AX = 0 et
AX = B.
2- Faire la même chose avec
A=
1
2
2
4
,
B=
−1
0
.
Donner une base de l’espace vectoriel S des solutions de AX = 0.
Exercice 4.28 Soit

1
A = 1
1
2
3
3

2
3,
4
 
1
B = 2
3
et
 
x
X = y .
z
1- Écrire le système d’équations correspondant à AX = B puis résoudre (en X) par la méthode de Gauss
AX = 0 et AX = B.
2- Faire la même chose avec

1
A= 3
−1

2 3
2 1,
2 5


−1
B =  0 .
−2
3- Donner une base de l’espace vectoriel S0 des solutions de l’équation homogène AX = 0. Si S désigne
l’ensemble des solutions de AX = B, montrer que S = {X1 + X0 | X0 ∈ S0 }, où X1 est un élément de S.
Peut-on prendre pour X1 n’importe quel élément de S ?
Exercice 4.29 Résoudre par la méthode d’échelonnement le

 x + y + 2z
−x + y − 2z
A=

3y + z
système S suivant :
= 1
= 3
= 8
38
CHAPITRE 4. MATRICES, ESPACES VECTORIELS ET SYSTÈMES LINÉAIRES
Exercice 4.30 Soit K = R ou K = C. Soit


x1


n ∈ N∗ , X =  ...  ∈ Mn,1 (K),
xn


y1


Y =  ...  ∈ Mn,1 (K).
yn
1- On suppose que AX = Y . Montrer que si A est inversible alors X = A−1 Y .
2- Les matrices suivantes de M3 (C) sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse. Dans le cas contraire,
déterminer la dimension de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène associée.






1 1 2
2 1 1
1
1
1
A =  −1 1 −2  , B =  −1 1 −2  , C =  −1 1 −1  .
0 3 1
1 1 0
−1 −1 1


1
3- Pour la matrice A faire le lien avec l’exercice précédent et calculer A−1 b avec b =  3  ,
8
Exercice 4.31
1- En utilisant la méthode de Gauss-Jordan calculer (quand c’est possible) l’inverse des matrices réelles suivantes :




1 1 4
2 1 4
 3 3 5 ,  3 2 3 .
1 0 −5
4 5 2
2- Si la matrice n’est pas inversible, déterminer la dimension de l’espace vectoriel des solutions de l’équation
homogène associée.
Chapitre 5
Suites numériques
5.1
Définitions, exemples
Définition 5.1 Soit P une partie de N. Toute application de P dans R ou C
u: P
n
→ R (ou C)
7
→
u(n)
est appelée suite numérique.
Notation
Si u désigne cette application, on note un l’image u(n). L’application u est notée (un ).
Exemples
— La suite (un ) définie par : pour n ≤ 0 un = (−1)n 2n+1
— La suite (un ) définie par : pour n ∈ N∗ , un =le √
nième nombre premier ;
— La suite (un ) définie pour tout n ≥ 5 par un = n − 5.
— La suite (un ) définie par : pour n ∈ N, un = rn + 1 où rn est le reste de la division de n par 3.
— La suite (un ) des entiers naturels pairs : pour tout entier naturel n, un = 2n ;
— la suite des entiers naturels impairs : pour tout entier naturel n, un = 2n + 1.
— La suite des décimales de π : u0 = 3, u1 = 1, u2 = 4, u3 = 1, u4 = 5, u5 = 9, . . .
1
— La suite (un ) définie pour tout n entier pair par : un = 1+(−1)
n.
5.2
Premières propriétés
Définition 5.2 La suite (un ) est dite :
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
constante si ∀ n ∈ N, un+1 = un ;
croissante si ∀ n ∈ N, un+1 ≥ un ;
décroissante si ∀ n ∈ N, un+1 ≤ un ;
strictement croissante si ∀ n ∈ N, un+1 > un ;
strictement décroissante si ∀n ∈ N, un+1 < un ;
monotone si elle est croissante ou décroissante ;
strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante ;
majorée si ∃ M ∈ R / ∀ n ∈ N, un ≤ M ;
minorée si ∃ m ∈ R / ∀ n ∈ N, un ≥ m ;
bornée si elle est majorée et minorée ;
périodique si ∃ p ∈ N∗ / ∀ n ∈ N, un+p = un .
stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang : ∃ N ∈ N / ∀n ≥ N, un+1 = un .
39
40
CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES
Remarque
Une propriété P d’une suite (un ) peut n’être valable qu’à partir d’un certain rang. Par exemple, on dit que la
suite (un ) est croissante à partir d’un certain rang si il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n,
n ≥ n0 , on a : un+1 ≥ un .
5.3
Convergence d’une suite
Rappelons la définition de la limite d’une suite donnée en terminale :
Soit l un nombre réel et (un ) une suite réelle. La suite (un ) est dite convergente vers l si, pour tout intervalle
ouvert contenant l, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.
Nous utiliserons la définition équivalente suivante :
Définition 5.3 La suite (un ) est dite convergente s’il existe l ∈ R vérifiant :
∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N,
|un − l| < ε.
On dit alors que la suite converge vers l ou que l est une limite de (un ).
Remarque. Écrire que |un − l| < ε s’écrit aussi l − ε < un < l + ε.
Proposition 5.1 Si la limite d’une suite existe alors elle est unique.
Preuve (en cours)
Notation
Si l est la limite de la suite (un ) on écrira :
l = lim un ou un → l ou encore l = lim un .
n→∞
Proposition 5.2 Toute suite convergente est bornée.
Cette proposition s’énonce encore : si une suite n’est pas bornée, alors elle ne peut pas être convergente.
Exemple. Que dire de la suite (un ) de terme général un =
√
n?
Nous traduirons aussi les définitions suivantes :
On dit que la suite (un ) tend vers +∞ si pour tout intervalle de la forme [A, +∞[, A ∈ R+ , il existe un rang
à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.
On dit que la suite (un ) tend vers −∞ si pour tout intervalle de la forme ] − ∞, −A], A ∈ R+ , il existe un rang
à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.
par les définitions :
Définition 5.4 On dit que la suite (un ) tend vers +∞ si :
∀ A > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N, un > A,
et on dit que la suite (un ) tend vers −∞ si :
∀ A > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N, un < −A.
5.4. OPÉRATIONS SUR LES SUITES
5.4
41
Opérations sur les suites
Théorème 5.1 Soit (un ) et (vn ) deux suites convergeant respectivement vers l et l0 et soit λ ∈ K. Les suites
0
0
0
de
terme
général : un + vn , λun , un vn convergent respectivement vers l + l , λl, ll . De plus, si l 6= 0, la suite
un
l
est définie pour n assez grand et a pour limite 0 ·
vn
l
Soit SR l’ensemble des suites numériques réelles. On définit les opérations 0 +0 de SR × SR dans SR par :
(un ) + (vn ) = (un + vn )
et 0 .0 de R × SR dans SR par :
λ(un ) = (λun ).
On admettra que, muni de ces opérations SR est un espaces vectoriel sur R. Le théorème 5.1 implique le
résultat suivant :
Théorème 5.2 L’ensemble des suites numériques réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de SR .
5.5
Suites numériques et relation d’ordre dans R.
Proposition 5.3 Si (un ) et (vn ) sont des suites convergentes telles que
∃N ∈ N,
∀n ≥ N,
u n ≤ vn
alors on a : limn→∞ un ≤ limn→∞ vn .
Théorème 5.3 (théorème d’encadrement, du sandwich ou des gendarmes.) Soit l ∈ R. Soient (un ),
(vn ) et (wn ) des suites numériques. Si les suites (un ) et (vn ) convergent vers l et si
∃N ∈ N,
∀n ≥ N,
u n ≤ w n ≤ vn ,
alors la suite (wn ) converge vers l.
Théorème 5.4 Une suite croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) est convergente.
Exemple
Quelle est la nature de la suite (un ) de terme général un =
1
2n
?
Définition 5.5 Soient (un ) et (vn ) des suites numériques. On dit que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes
si (un ) est croissante, (vn ) décroissante et limn→∞ (un − vn ) = 0.
Exemple
Soit x ∈ R. On note bxc la partie entière du nombre réel x. Soit (un ) la suite donnée par un =
n
xc
1
(vn ) la suite donnée par vn = b10
10n + 10n . Ces suites sont-elles adjacentes ?
b10n xc
10n
et soit
Théorème 5.5 Si (un ) et (vn ) sont des suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
5.6
Suites extraites et convergence
Définition 5.6 On dit que la suite (vn ) est une suite extraite de la suite (un ) s’il existe une application
h : N → N, strictement croissante, telle que vn = uh(n) .
Exemples
1- La suite des nombres impairs est une suite extraite de la suite des nombres naturels.
2- La suite constante égale à 1 est extraite de la suite (−1)n
42
CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES
Proposition 5.4 Toute suite extraite d’une suite convergente de limite l converge aussi vers l.
Proposition 5.5 Une suite (un ) converge si et seulement si les deux suites extraites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent
vers la même limite.
Exemple. Soit (un ) la suite donnée par un = cos(nπ). Soit (vn ) la suite donnée par vn =
suites extraites de rangs pair et impair de ces suites ?
cos(nπ)
.
n
Que dire des
Théorème 5.6 (Bolzano-Weierstrass) De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
5.7
Suites récurrentes
Théorème 5.7 Soit I un intervalle de R et soit l ∈ I. Soit f : I → R une fonction continue en l ∈ I et (un )
une suite d’éléments de I convergeant vers l ; la suite (f (un )) converge alors vers f (l).
Définition 5.7 Soit I un intervalle réel et f une fonction définie sur I telle que f (I) ⊂ I ; toute suite (un ),
définie par la donnée d’un réel u0 et pour tout n, n ≥ 0 : un+1 = f (un ), est appelée une suite récurrente définie
par f .
Définition 5.8 Soit I un intervalle réel et f une fonction définie sur I. Si x0 , appartenant à I, vérifie f (x0 ) =
x0 , x0 est appelé point fixe de f dans I.
Proposition 5.6 Si la suite récurrente (un ) de la définition ci-dessus converge vers l ∈ I et si f est continue
en l, la limite l est un point fixe de f .
Exemple Les suites (un ) et (vn ) données par u0 = 1 et pour n ≥ 0, un+1 = u2n + 1 et v0 = 89 et vn+1 =
sont-elles des suites récurrentes ? Justifier.
1
vn +1
Proposition 5.7 Soit I un segment de R (intervalle fermé borné) et f une fonction définie sur I vérifiant
f (I) ⊂ I. Si f est continue sur I alors f a au moins un point fixe dans I.
Définition 5.9 On dit que la fonction f définie sur l’intervalle I est contractante s’il existe k ∈]0, 1[ tel que :
∀ x ∈ I, y ∈ I,
|f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|.
Exemple Soit I =]0, 1[ et f : I → R définie par f (x) =
Admet-elle un point fixe dans I ?
1
x+1 .
La fonction f est-elle contractante sur I ?
Remarque
Si une fonction f est contractante, alors elle est continue.
Théorème 5.8 (théorème du point fixe) Soit I un segment. Si f est contractante sur I et si f (I) ⊂ I,
alors :
— l’équation f (x) = x a une solution unique l dans I (point fixe de f ) ;
— Toute suite récurrente définie par la donnée de u0 ∈ I et de f converge vers ce point fixe l.
On reviendra sur les notions de cette section après les chapitres sur les fonctions.
5.8. UN EXEMPLE DE SUITES PARTICULIÈRES : LES SÉRIES NUMÉRIQUES
5.8
43
Un exemple de suites particulières : les séries numériques
Définition 5.10 Soit (un ) une suite numérique
Pn réelle ou complexe.
La suite numérique (sn ) définie par sn =
i=0 ui est appelée série numérique de terme général un . On la
note [un ].
Exemples
1. Déterminer (sn ) pour (un ) donnée par un = n et (un ) donnée par un =
1
2n .
2. La série de terme général an où a est un nombre réel ou complexe est appelée série géométrique.
3. La série de terme général
h i
où α = 1, la série
1
n
1
nα
où α est un nombre réel est appelée série de Riemann. Dans le cas particulier
est appelée série harmonique.
Pn
Définition 5.11 (et notation) La série numérique [un ] converge si la suite de terme général sn =
i=0 ui ,
appelée aussi suite des sommes partielles de [un ], converge.
Si la suite des sommes partielles (sn ) converge, sa limite est appelée somme de la série [un ]. On la note
P
+∞
n=0 un .
Exemples
— La série géométrique de terme général an converge si et seulement si | a |< 1.
— La série de Riemann de terme général n1α converge si et seulement si α > 1.
5.9
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
— Étudier des propriétés d’une suite.
— Utiliser les divers résultats du cours pour étudier le comportement d’une suite.
Exercice 5.1 Démontrer en utilisant la définition de la limite d’une suite que : limn→+∞
√1
n
= 0.
Exercice 5.2
1- Soit (un ) la suite définie par : u0 ∈ N et ∀ ∈ N, un+1 = 2uunn+3 .
Trouver u0 pour que la suite (un ) soit constante.
2- Soit x ∈ R, on note bxc la partie entière du nombre x. Montrer que la suite (un ) définie par un = b n1 c, pour
n ∈ N∗ est stationnaire.
Exercice 5.3 Écrire les six premiers termes d’une suite arithmétique de raison −4 et de premier terme 13.
Établir que toute suite arithmétique (un ) vérifie la relation suivante :
∀n ∈ N,
un+2 + un = 2un+1 .
Exercice 5.4 On considère la suite de nombres réels (un ) définie, pour tout entier naturel n, par un =
1- Démontrer que cette suite est croissante et majorée. Que peut-on en déduire ?
2- Démontrer en utilisant la définition de la limite d’une suite que limn→+∞ un = 23 .
Exercice 5.5 Soit (un ) la suite définie par :
√
u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 12 + un .
Démontrer par récurrence sur N que (un ) est strictement croissante et déterminer sa limite.
√
√
Exercice 5.6 Soit (un ) la suite donne par : u1 = 2 et ∀n ∈ N∗ , un+1 = 2un .
1- Montrer que la suite (un ) est croissante et majorée.
2- En déduire que (un ) est convergente et donner sa limite.
2n−1
3n+3 .
44
CHAPITRE 5. SUITES NUMÉRIQUES
Exercice 5.7 Soit la suite (un ) donnée par :
un =
n + (−1)n n
n·
n − (−1)n
2
1- Déterminer les suites extraites (u2n ) et (u2n+1 ).
2- Qu’en déduire sur la convergence de la suite (un ) ?
Exercice 5.8 Soit n ∈ N. Calculer la somme des n premiers entiers naturels en fonction de n, puis la somme
des n premiers entiers naturels impairs en fonction de n. En déduire la somme 51 + 53 + · · · + 99.
Exercice 5.9 On considère la fonction f définie sur R∗ par f (x) = 21 x + x1 et la suite (un ) définie par la
donnée de u0 , réel strictement positif et telle que pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
1- Montrer que pour tout n ∈ N∗ , un ∈ [1, +∞[.
2- Démontrer que la fonction f est contractante sur [1, +∞[.
3- En déduire que la suite (un ) converge vers le réel 1.
Exercice 5.10 Soit (un ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 .
N
X
1- Calculer
un . Soit N ∈ N et SN .
n=0
2- Montrer que si 0 < q < 1, alors
+∞
X
un =
n=0
u0
.
1−q
Exercice 5.11
1
1
1- Établir par récurrence que, pour tout n ∈ N∗ , on a : n!
≤ 2n−1
.
1
2- On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et pour tout n ∈ N∗ , un = un−1 + n!
.
(a) En utilisant la majoration ci-dessus, montrer que (un ) converge.
(b) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange montrer que (un ) converge vers e.
Exercice 5.12 Soient deux réels a et b tels que 0 < a < b. Montrer que l’on peut définir les suites (un ) et (vn )
par u0 = a, v0 = b et (pour n ≥ 0) :
un+1 =
2un vn
un + vn
vn+1 =
1
(un + vn )
2
1- Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
2- Vérifier que le produit un vn reste constant pour tout n, et en déduire la limite commune.
Remarque : un+1 est la moyenne harmonique de un et vn , vn+1 leur moyenne arithmétique ordinaire.
Exercice 5.13 Soit (Fn ) la suite donnée par :
F0 = 0, F1 = 1
Soit
A=
0
1
et ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
1
1
et
I=
1
0
0
1
1- Vérifier que A2 = A + I.
2- En déduire que ∀n ∈ N, An+2 = An+1 + An .
Fn
3- On pose ∀n ∈ N, Vn =
. Montrer que ∀n ∈ N, Vn = An V0 .
Fn+1
Fn−1
Fn
4- Montrer que ∀n ∈ N∗ , An =
.
Fn
Fn+1
.
Chapitre 6
Fonctions réelles, notions de limite et
de continuité
6.1
Rappels sur les applications et les fonctions
Rappelons qu’une fonction numérique réelle f est une application d’une partie de R (ensemble des nombres
réels) dans R. L’ensemble de départ de cette application f , qu’on note Df , est appelé domaine de définition
de la fonction f . Rappelons aussi que deux fonctions numériques réelles f et g sont égales si elles ont même
domaine D et si, pour tout x ∈ D, f (x) = g(x).
Exemple
La fonction partie entière est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre
bxc = max{k ∈ Z ; k ≤ x}.
Attention ! Ce n’est pas la fonction “partie entière” présente sur la plupart des calculatrices.
La définition d’une fonction peut nécessiter plusieurs formules, par exemple :
0 pour x ≤ 0
f (x) =
ln x pour x > 0.
À partir de deux fonctions f et g définies sur un même domaine D, on peut définir :
- les fonctions somme (f +
g), différence (f − g), produit (f g), toutes de domaine D ;
f
- la fonction quotient
de domaine D \ {x ∈ D ; g(x) = 0}.
g
Si f (Df ) ⊂ Dg , la fonction composée g ◦ f de domaine Df est définie par :
∀x ∈ Df ,
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Le graphe d’une fonction numérique f est la partie G de R2 définie par G = {(x, y) ∈ R2 / x ∈ D et y = f (x)}.
Sa courbe représentative (ou représentation graphique) est l’ensemble des points du plan de coordonnées (x, y)
telles que x ∈ D et y = f (x).
Dans la plupart des cas, on peut tracer la courbe représentative d’une fonction numérique. Mais ce n’est pas
toujours possible comme le montre l’exemple de la fonction définie par :
0 pour x ∈ R\Q,
f (x) =
x pour x ∈ Q.
45
46
CHAPITRE 6. FONCTIONS RÉELLES, NOTIONS DE LIMITE ET DE CONTINUITÉ
Dans toute la suite les expressions “une fonction f ” ou bien “f une fonction” ou bien “fonction
numérique” sont employées pour dire que f est une application d’une partie de R dans R, partie
à expliciter si ce n’est pas fait.
6.2
Limites
Vous avez déjà appris et utilisé la notion de limite d’une fonction. Nous en donnons ici une
définition mathématique rigoureuse, de manière à pouvoir l’utiliser par la suite dans des raisonnements plus élaborés.
6.2.1
Limites finies
Définition 6.1 Soit f une fonction et soit x0 et l deux nombres réels. On dit que la fonction f admet l pour
limite à droite (resp. à gauche) en x0 lorsque
a) la fonction f est définie à droite (resp. à gauche) de x0 et
b) pour tout ε > 0, il existe un nombre η > 0 tel que, pour x vérifiant x0 < x < x0 + η (resp. x0 − η < x < x0 ),
on ait |f (x) − l| < ε.
On dit aussi que la limite à droite (resp. à gauche) en x0 existe ou est finie.
Remarque. Écrire |f (x) − l| < ε est équivalent à écrire que l − ε < f (x) < l + ε.
Notation
On note lim + f (x) = l (resp. lim − f (x) = l).
x→x0
x→x0
On peut formuler la définition de la limite à droite à l’aide des quantificateurs ∀ et ∃ :
∀ε > 0, ∃η > 0
;
∀x ∈]x0 , x0 + η[,
|f (x) − l| < ε
(6.1)
Définition 6.2 Soit f une fonction et soit x0 et l deux nombres réels. On dit que la fonction f admet l pour
limite en x0 si les limites à droite et à gauche existent en x0 et sont égales à l.
Notation
On note lim f (x) = l.
x→x0
Proposition 6.1 Soit x0 ∈ R et f une fonction définie au voisinage de x0 . On a l’équivalence :
lim f (x) = l
x→x0
⇐⇒
(∀ε > 0 , ∃η > 0 ; ∀x ∈]x0 − η[∪]x0 + η[,
|f (x) − l| < ε)
(6.2)
|f (x) − l| < ε)
(6.3)
Remarque L’équivalence 6.2 s’énonce aussi :
lim f (x) = l
x→x0
⇐⇒
(∀ε > 0 , ∃η > 0 ; ∀x 6= x0 , |x − x0 | < η,
en effet on a une équivalence entre (x 6= x0 , |x − x0 | < η) et (x ∈]x0 − η[∪]x0 + η[).
Exemple
1
Soit f définie par f (x) = x2 sin · Cette fonction est définie au voisinage de 0 et vérifie lim f (x) = 0. En effet,
x→0
x √
√
pour ε > 0 il suffit de prendre η = ε (ou η ≤ ε).
Remarquer que f n’est pas définie en 0.
Définition 6.3 Soit f une fonction définie au voisinage de +∞. La fonction f a pour limite l, quand x
tend vers +∞, lorsque, pour tout ε > 0, il existe un nombre réel A tel que, pour x vérifiant x > A, on ait
|f (x) − l| < ε.
Notation
On note lim f (x) = l.
x→+∞
Exercice 6.1 Montrer que la fonction sinus n’admet pas de limite en +∞.
Proposition 6.2 Si la limite d’une fonction en un point (ou en ±∞) existe alors elle est unique.
6.3. PROPRIÉTÉS DES LIMITES
6.2.2
47
Limites infinies
Définition 6.4 Soit f une fonction définie au voisinage d’un point x0 . On dit que la fonction f tend vers +∞
(resp. −∞) en x0 lorsque, pour tout nombre B > 0, il existe un nombre η > 0 tel que, pour x 6= x0 et vérifiant
x0 − η < x < x0 + η, on ait f (x) > B (resp. f (x) < −B).
Notation
on note lim f (x) = +∞ (resp. lim f (x) = −∞).
x→x0
x→x0
Exemple
On a : lim −
x→0
1
= −∞.
x2
Exercice 6.2 À partir des différentes définitions précédentes, proposer celles de :
lim f (x) = l, lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞.
x→−∞
x→−∞
x→x+
0
x→x−
0
x→x−
0
x→x+
0
Proposition 6.3 Soit f et g deux fonctions et x0 un nombre réel. Si f et g sont égales au voisinage de x0
(resp. ±∞) alors elles ont la même limite en x0 (resp. ±∞).
Exemple
On a : lim3 bxcx = 1.
x→ 2
Nous allons rappeler dans la suite des propriétés que vous connaissez. Grâce à la définition
précise donnée plus haut, nous sommes maintenant en mesure de les démontrer. Nous donnerons
quelques exemples de preuves en amphi.
6.3
Propriétés des limites
Dans les énoncés qui suivent, x0 peut prendre une valeur finie ou infinie. On note alors
R = R ∪ {+∞, −∞} et x0 ∈ R.
6.3.1
Opérations algébriques sur les limites
Proposition 6.4 Soit f et g deux fonctions admettant des limites au point x0 . On a :
— ∀α ∈ R, limx→x0 (αf ) = α · limx→x0 f ,
— limx→x0 (f + g) = limx→x0 f + limx→x0 g,
— limx→x0 (f · g) = limx→x0 f · limx→x0 g,
1
1
— si f ne s’annule pas au voisinage de 0 et si limx→x0 f 6= 0 alors lim
=
·
x→x0
f
lim f
x→x0
On peut prolonger les opérations habituelles sur les réels au cas où les limites sont infinies, en utilisant les
tableaux :
+
−∞
m∈R
+∞
−∞
−∞
−∞
ind.
l∈R
−∞
m+l
+∞
+∞
ind.
+∞
+∞
Retenez que la forme 1∞ est aussi indéterminée.
×
−∞
m<0
0
m>0
+∞
−∞
+∞
+∞
ind.
−∞
−∞
l<0
+∞
ml
0
ml
−∞
0
ind.
0
0
0
ind.
l>0
−∞
ml
0
ml
+∞
+∞
−∞
−∞
ind.
+∞
+∞
48
CHAPITRE 6. FONCTIONS RÉELLES, NOTIONS DE LIMITE ET DE CONTINUITÉ
Proposition 6.5 Si une fonction f tend vers +∞ (ou −∞) en x0 , alors
1
admet 0 pour limite en x0 .
f
1
pour une fonction admettant 0 pour
f
1
limite en x0 . Par exemple, la fonction f : x →
7 x a 0 pour limite quand x → 0, mais
n’a pas de limite
f
1
1
= +∞ et lim
= −∞). On a cependant le résultat suivant :
( lim
x→0− x
x→0+ x
Cependant, on ne peut rien dire en général de la limite en x0 de
Proposition 6.6 Soit x0 un réel et f une fonction. Si f est strictement positive au voisinage de x0 et admet
1
tend vers +∞ en x0 .
la limite 0. en x0 , alors
f
Notation : Dans ce cas, on note lim f (x) = 0+ et lim
x→x0
x→x0
1
= +∞.
f (x)
Exercice 6.3 Énoncer un résultat analogue lorsque f est négative au voisinage de x0 .
Par exemple, la fonction f : x 7→ x2 a 0 pour limite quand x → 0, elle est strictement positive au voisinage de
1
0,
tend vers +∞ en 0.
f
6.3.2
Limites et inégalités
Dans ce paragraphe f désigne une fonction.
Proposition 6.7 Si f admet une limite finie en x0 , alors f est bornée au voisinage de x0 .
Conséquence
Une fonction non bornée au voisinage de x0 ne peut pas avoir de limite finie en x0 .
Proposition 6.8 Si f admet une limite finie l en x0 et l > 0, alors f > 0 au voisinage de x0 .
Conséquence
Une fonction strictement positive (resp. négative) au voisinage de x0 ne peut pas avoir une limite strictement
négative (resp. positive) en x0 .
Proposition 6.9 Soit g une autre fonction. Si f et g admettent des limites en x0 et si f ≤ g au voisinage de
x0 alors limx→x0 f ≤ limx→x0 g.
Remarque
On peut avoir f < g au voisinage de x0 et limx→x0 f = limx→x0 g. On dit que les limites “élargissent” les
inégalités. Pour s’en convaincre, montrer que, pour 0 < x < π2 , sin x < tan x, puis calculer les limites en x = 0.
La proposition suivante permet d’obtenir la limite infinie par comparaison.
Proposition 6.10 Soit x0 ∈ R et soit f et g deux fonctions. Si f tend vers +∞ en x0 et f ≤ g au voisinage
de x0 , alors g tend vers +∞ en x0 .
Exercice 6.4 Établir l’analogue de cette proposition pour −∞ à la place +∞.
Le théorème suivant, dit du sandwich, d’encadrement ou encore des gendarmes, est souvent utilisé pour obtenir
des limites de fonctions.
Théorème 6.1 (Sandwich) Soit f, g, h trois fonctions définies au voisinage de x0 telles qu’on ait f ≤ g ≤ h
au voisinage de x0 . Si f et h admettent une même limite l en x0 , alors g admet une limite en x0 et lim g(x) = l.
x→x0
Application lim x sin
x→0
1
= 0.
x
6.4. CONTINUITÉ EN UN POINT
6.3.3
49
Fonctions équivalentes au voisinage d’un point
Nous ne revenons pas sur la défintion de fonctions équivalentes au voisinage d’un point déja vue au semestre
1. Cependant, cette notion est extrêmement utile en pratique dans la détermination des limites de fonctions,
car elle permet d’utiliser simplement tout un assortiment de fonctions de références. Aussi nous complètons le
cours du semestre 1 par le paragraphe suivant.
Quelques équivalents à connaı̂tre, obtenus à partir des formule de Taylor-Young en 0 à l’ordre 1 ou 2 :
sin x ∼ x,
ln(1 + x) ∼ x,
0
0
cos x ∼ 1,
cos x ∼ 1 −
0
0
α
(1 + x)α ∼ 1, ,
2
x
2
,
exp x − 1 ∼ x.
0
2
1 − cos x ∼ x2 .
0
α
(1 + x) ∼ 1 + αx (1 + x) − 1 ∼ αx.
0
0
0
Proposition 6.11 Soit p la fonction de R dans R définie par :
p(x) = ak xk + ak+1 xk+1 + · · · + ak+n xk+n ,
∀x ∈ R,
où (k, n) ∈ N2 , ak , . . . , ak+n sont des réels tels que ak 6= 0 et ak+n 6= 0. on a :
p(x) ∼ ak xk et p(x) ∼ ak+n xk+n .
+∞
0
Proposition 6.12 Soit x0 ∈ R et soit f et g deux fonctions numériques. Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors f1 g1 ∼ f2 g2 .
x0
x0
x0
f1 f2
∼ ·
Si de plus la fonction g1 ne s’annule pas au voisinage de x0 , alors
g1 x0 g2
Exercice 6.5 Appliquer la proposition précédente aux fonctions fractions rationnelles.
Attention ! Sous les hypothèses ci-dessus les fonctions f1 +g1 et f2 +g2 ne sont pas nécessairement équivalentes.
On a, par exemple, 1 ∼ 1 et − cos x ∼ −1 cependant 1 − cos x n’est pas équivalent à 0 en 0.
0
0
Ne jamais additionner des équivalents : dans un calcul de limite, on peut remplacer une fonction par son
équivalent dans un produit ou un quotient, mais pas dans une somme ou une différence.
Proposition 6.13 Soit x0 ∈ R et f et g deux fonctions numériques.On a :
f ∼ g et lim g(x) = l =⇒ lim f (x) = l.
x0
x→x0
x→x0
Attention ! Deux fonctions peuvent être équivalentes sans que leur différence tende vers 0. Par exemple, soit
les fonctions f et g définies par :
∀x ∈ R, f (x) = x2 + 1 et g(x) = x2 .
On a f ∼ g mais lim (f − g)(x) 6= 0.
+∞
6.4
x→+∞
Continuité en un point
Dans toute la suite, f désignera une fonction réelle à variable réelle.
6.4.1
Définitions
Définition 6.5 Soit x0 ∈ R, et f une fonction définie en x0 . On dit que f est continue en x0 si
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
50
CHAPITRE 6. FONCTIONS RÉELLES, NOTIONS DE LIMITE ET DE CONTINUITÉ
Ce qui se traduit à l’aide des quantificateurs par :
∀ε > 0, ∃η > 0 ; ∀x ∈]x0 − η, x0 + η[,
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Remarque
Soit f une fonction et x0 ∈ R. Noter que si f est continue en x0 alors f est définie en x0 et au voisinage de x0 .
Définition 6.6 Soit f une fonction et x0 ∈ R. On dit que f est continue à droite (resp. à gauche) en x0 si
lim + f (x) = f (x0 ) (resp. lim − f (x) = f (x0 )).
x→x0
x→x0
Exemples
Toute fonction polynomiale est continue en tout point x0 réel. La fonction f définie, sur R, par f (x) = bxc
n’est pas continue en n (mais continue à droite), quel que soit le nombre entier relatif n.
Remarque
Soit f une fonction et x0 ∈ R. La continuité de f en x0 est équivalente à
lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ).
x→x0 −
x→x0 +
Proposition 6.14 Soit f une fonction et x0 ∈ R. Si f est continue en x0 et f (x0 ) > 0, alors f est strictement
positive au voisinage de x0 .
C’est une conséquence immédiate de la proposition 6.8.
6.4.2
Prolongement par continuité
Définition 6.7 Soit D ⊂ R, f une fonction définie sur D et x0 ∈ R. On suppose que x0 6∈ D et f définie au
voisinage de x0 et limx→x0 f (x) existe et est égale à l. La fonction fe définie sur D ∪ {x0 } par :
f (x) si x ∈ D,
e
f (x) =
l
si x = x0 ,
s’appelle le prolongement par continuité de f en x0 .
Exemple
sin x
On peut prolonger par continuité la fonction f définie par f (x) =
par la valeur 1 au point x0 = 0. Le
x
prolongement par continuité de f en 0 est la fonction :
sin x
si x ∈ R∗ ,
x
fe(x) =
1
si x = 0.
Remarque
La fonction fe est continue en x0 .
6.4.3
Opérations sur les fonctions continues
Le théorème suivant est une conséquence du théorème de la section précédente et concernant les opérations sur
les limites.
Théorème 6.2 Soit x0 un réel.
1. Soit f et g deux fonctions continues en x0 et a ∈ R. Les fonctions f + g et af sont continues en x0 .
2. Soit f et g deux fonctions continues en x0 . La fonction (f g) est continue en x0 .
1
3. Soit f une fonction continue en x0 et vérifiant f (x0 ) 6= 0. La fonction
est alors continue en x0 .
f
Remarque Le point 1. de ce théorème montrent que l’ensemble des fonctions définies sur une partie A de R
et continues en x0 est un sous-espace vectoriel des fonctions définies sur A.
6.5. CONTINUITÉ SUR UN SEGMENT
6.4.4
51
Composition des fonctions et continuité
Théorème 6.3 Soit x0 et l des réels et soit f une fonction définie au voisinage de x0 . On suppose que :
a) lim f (x) = l,
x→x0
b) la fonction g est continue en l.
La fonction g ◦ f est alors définie au voisinage de x0 et a pour limite g(l) en x0 .
Remarque
Le théorème est encore vrai si on remplace le point x0 par ±∞.
Exemple
On a lim sin
x→+∞
1
= 0.
x
Théorème 6.4 Soit x0 ∈ R. Soit f une fonction définie au voisinage de x0 et soit m ∈ R. On suppose que :
a) lim f (x) = ±∞,
x→x0
b) lim g(x) = m.
x→±∞
Alors g ◦ f est définie au voisinage de x0 et a pour limite m en x0 .
Théorème 6.5 Soit x0 ∈ R et f et g deux fonctions. Si f est continue en x0 et g est continue en f (x0 ), alors
g ◦ f est continue en x0 .
Remarques
1) L’hypothèse de la continuité de f seule n’est pas suffisante, comme le montre l’exemple des fonctions données,
sur R, par :
1 si x ≥ 0,
f (x) = x et g(x) =
0 si x < 0.
2) Les conditions Si f est continue en x0 et g est continue en f (x0 ) sont suffisantes mais pas nécessaires :
On peut avoir g ◦ f continue en x0 et f non continue en x0 ou g non continues en f (x0 ) comme le montre les
exemples des fonctions données, sur R, par :
1 si x ≥ 0,
f (x) =
et g(x) = |x|.
−1 si x < 0
et par :
f (x) = x2 et g(x) =
6.5
1 si
0 si
x ≥ 0,
x<0
Continuité sur un segment
Définition 6.8 Soit I un intervalle de R et f une fonction. On dit que f est continue sur I si f est continue
en tout point de l’intervalle ouvert correspondant et est continue à droite ou à gauche aux bornes appartenant
à l’intervalle.
En particulier, soit I le segment [a, b] avec a < b. La fonction f est continue sur I si f est continue en tout
point de ]a, b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.
Exemples
√
La fonction f donnée par : f (x) = x est continue en tout point de R+∗ et continue à droite en 0, donc f est
continue sur R+ .
La fonction g : x 7→ 1/x est continue sur ]0, +∞[.
Définition 6.9 Soit A une partie de R et f une fonction définie sur A. On dit que f est bornée sur A s’il
existe deux réels M et N tels que :
∀x ∈ A, M ≤ f (x) ≤ N.
52
CHAPITRE 6. FONCTIONS RÉELLES, NOTIONS DE LIMITE ET DE CONTINUITÉ
Exemple
Les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur R. La fonction tangente n’est pas bornée sur R.
Remarque
Soit f une fonction définie sur un sous-ensemble D de R ; dire que f est bornée sur D revient à dire qu’il existe
un réel positif C tel que : ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ C.
Théorème 6.6 (Admis) Soit f une fonction, a ∈ R et b ∈ R tels que a < b. Si f est continue sur le segment
[a, b], alors il existe x0 et x1 appartenant au segment [a, b] tels que,
∀x ∈ [a, b], f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ).
En particulier, f est bornée sur [a, b] et atteint son minimum en x0 et son maximum en x1 .
Exemple
La fonction f : x 7→ x2 + 1 sur [−1, 2].
Théorème 6.7 (Théorème des valeurs intermédiaires) (Admis) Soit f une fonction, a ∈ R et b ∈ R tels
que a < b. Si f est continue sur le segment [a, b] alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f (a) et
f (b).
Autrement dit à l’aide des quantificateurs et avec les mêmes hypothèses :
∀y ∈ [f (a), f (b)], ∃x ∈ [a, b] ; y = f (x) .
Exemple
La fonction f définie par f (x) = x3 + x + 1 s’annule en au moins un point de l’intervalle [−1, 0].
Théorème 6.8 L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
La preuve est une simple traduction des théorèmes précédents.
6.6
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
— Initiation aux notions théoriques de limite et de continuité d’une fonction.
— Calcul de limites.
— Étude de la continuité d’une fonction et des prolongements pas continuité.
— Manipulation d’équivalents.
— Applications du théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 6.6 Trouver, lorsque c’est possible, un nombre rel η > 0 tel que l’on ait |f (x)| <
0 < x < η, dans chacun des cas suivants :
√
f (x) = 10 ; f (x) = x ; f (x) = x sin x.
Soit ε > 0. Faire de même pour que l’on ait | f (x) |< ε.
1
100
lorsque
Exercice 6.7 Établir, en utilisant la définition vue en cours ;
1- lim x4 = +∞ ;
x→+∞
1
2x + 1
= ;
4x + 1
2
3- lim (1 + x) = 2.
2-
lim
x→+∞
x→1
Exercice 6.8 Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert contenant x0 et telles que f (x0 ) = 0,
g(x0 ) = 0 et g 0 (x0 ) 6= 0.
f (x)
f 0 (x0 )
1- Montrer que lim
= 0
.
x→x0 g(x)
g (x0 )
2- Que se passe-t-il si f 0 (x0 ) = 0 et g 0 (x0 ) = 0 ?
6.6. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
53
Exercice 6.9 Déterminer les limites suivantes,
si elles existent
√ :
√
x3 − 27
x−1
x+2−2
2- lim
3- lim √
1- lim
x→1 x − 1
x→2
x→3 x − 3
x+7−3
4- limx→+∞ 1 +
1 x
.
x
Exercice 6.10 A-t-on les équivalents suivants ?
x + 25 ∼ x − x5 ,
0
x2 + 2 x ∼ 2 x,
∞
sin x ∼ x,
0
sin
1 1
∼ .
x∞x
Exercice 6.11
1- Trouver un exemple de fonctions f et g telles que f ∼ g mais lim (f − g)(x) 6= 0.
0
x→0
2- Trouver un exemple de fonctions f et g telles que l’on ait f ∼ g mais pas ef ∼ eg .
0
0
3- Trouver un exemple de fonctions f et g telles que f ∼ g et lim (f − g)(x) = +∞.
+∞
x→+∞
Exercice 6.12 Soit f une fonction et x0 un réel au voisinage duquel est définie la fonction.
1- Montrer que si lim f = l alors lim | f | =| l |.
x→x0
x→x0
2- Montrer que la réciproque est vraie si l = 0. Et si l 6= 0 ?
Exercice 6.13 Soit f , g, et h, les fonctions définies sur R∗ respectivement par :
√
p
1
2 − 2 cos x + 3x
1
; g(x) = |x| cos 3
et h(x) = (3x + 1) sin .
f (x) =
x
x
x
Dire pour chacune de ces fonctions si elle admet un prolongement par continuité à l’origine et, en cas de réponse
négative, préciser s’il y a lieu les possibilités de prolongement à droite ou à gauche.
Exercice 6.14 La fonction f définie ci-dessous est-elle continue ?
 2
 x −1
si x 6= 1,
f (x) =
|x − 1|

2
si x = 1.
Exercice 6.15 Prolonger par continuité, aux extrémités des intervalles de définition, quand c’est possible, les
fonctions ci-dessous :
sin 2x
1- f : x 7→ √
pour x ∈]0, π2 ] ;
1 − cos x
√
2 cos x − 1
2- g : x 7→
pour x ∈ [0, π2 ] \ { π3 } ;
2 cos 2x + 1
ax + 2
3- h : x 7→
pour x ∈ R \ {1}, a étant un paramètre réel.
x−1
Exercice 6.16 Étudier en tout point de R la continuité de la fonction h(x) = xbxc. Donner l’allure de la
courbe représentative de h.
Exercice 6.17 En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer l’existence d’une solution pour
l’équation ex + x = 0. Est-elle unique ? On rappelle que 2, 7 < e < 2, 8.
Exercice 6.18 Soit P un polynôme à coefficients réels.
1- Montrer que si P est de degré impair, il admet au moins une racine réelle.
2- Montrer que si P est de degré pair et à coefficient principal positif, alors P est minoré sur R.
54
CHAPITRE 6. FONCTIONS RÉELLES, NOTIONS DE LIMITE ET DE CONTINUITÉ
Exercice 6.19 Soit f une fonction continue d’un intervalle [a, b] dans lui-même. Montrer qu’il existe au moins
un réel x ∈ [a, b] tel que f (x) = x.
1- Le résultat reste-t-il vrai lorsque f n’est pas continue ?
2- Montrer qu’il existe un unique réel x ∈ 0, π2 tel que cos x = x.
Exercice 6.20
1- Soit deux fonctions f et g continues sus R et vérifiant f (r) = g(r) pour tout r ∈ Q. Montrer que f = g.
Indication : on admettra que tout voisinage d’un réel contient des rationnels.
2- Soit une fonction f continue sur R et vérifiant f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout x et y de R.
(a) Montrer, par récurrence sur n ∈ N, que f (n) = nf (1).
p
p
(b) Montrer que, pour tout p ∈ N et tout q ∈ N∗ , f ( ) = f (1).
q
q
(c) En utilisant la première question, démontrer qu’il existe un nombre réel a tel que, pour tout x ∈ R,
f (x) = ax.
Chapitre 7
Fonctions réelles dérivables, notion de
convexité
7.1
Fonctions dérivables et extrema
7.1.1
Extrema
Définition 7.1 Soit D un sous-ensemble non vide de R, x0 ∈ D et soit f une fonction définie sur D. On
dit que f présente un maximum (resp. minimum) local (ou relatif ) en x0 s’il existe un intervalle ]α, β[⊂ D
contenant x0 tel que :
∀ x ∈]α, β[, f (x) ≤ f (x0 ), (resp. f (x) ≥ f (x0 )).
On dit que f atteint son maximum dans D en x0 si :
∀x ∈ D,
f (x) ≤ f (x0 ).
Dans ce cas on dit qu’il s’agit du maximum de f dans D ou encore du maximum global ou absolu. On adapte
sans peine au cas du minimum global ou absolu.
On dit que f présente un extremum local (resp. global) en x0 si f présente en x0 soit un maximum local (resp.
global), soit un minimum local (resp. global).
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur [−1, +1] par : f (x) = x2 . Montrer que f présente en 0 son minimum (absolu)
qui est aussi un minimum relatif et f présente en −1, ou en +1, son maximum (absolu), mais f ne possède pas
de maximum relatif sur [−1, 1].
2. La fonction f : x 7→ |x| présente en 0 un minimum local et global.
3. Voir les illustrations au tableau.
7.1.2
Condition nécessaire d’extremum local
Théorème 7.1 Soit D un sous-ensemble non vide de R et f une fonction définie sur D et dérivable en
x0 ∈ D. Si f présente un extremum local en x0 alors f 0 (x0 ) = 0.
Preuve
Le taux de variation
nécessairement nulle.
f (x) − f (x0 )
a des signes contraires à droite et à gauche de x0 , donc la dérivée est
x − x0
Définition 7.2 Soit f une fonction et x0 ∈ R. On dit que x0 est point critique de f si f est dérivable en x0
et f 0 (x0 ) = 0.
55
56
CHAPITRE 7. FONCTIONS RÉELLES DÉRIVABLES, NOTION DE CONVEXITÉ
Remarques
1. Si f est dérivable en chaque point de D, les extrema relatifs et absolus éventuels sont à rechercher parmi
les points critiques de f . Cependant, il peut exister des points critiques de f qui ne correspondent pas à des
extrema (fonction x 7→ x3 , définie sur R).
2. Si f n’est pas dérivable en chaque point de D, un extremum peut très bien être atteint en un point où f n’a
pas de dérivée (fonction valeur absolue de R dans R).
Conséquence
Il résulte de ce qui précède que si f est une fonction continue sur le segment [a, b] où a et b sont des réels
tels que a < b, dérivable sur l’ouvert ]a, b[ et a pour points critiques sur ]a, b[ les nombres x1 , . . . , xn , alors le
maximum de f sur [a, b] est la plus grande des valeurs : f (a), f (x1 ),. . .,f (xn ), f (b), et le minimum de f est la
plus petite de ces valeurs.
7.2
Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Théorème 7.2 (Rolle) Soit a et b deux réels tels que a < b et soit f une fonction continue sur le segment
[a, b], dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ et telle que f (a) = f (b). Alors, il existe un point c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0.
Interprétation géométrique : il existe un point d’abscisse c où la tangente à la courbe est horizontale.
Preuve
On distingue les cas f constante et f non constante.
Théorème 7.3 (des accroissement finis) Soit a et b deux réels tels que a < b et soit f une fonction
continue sur le segment [a, b], dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[.
Il existe alors un point c ∈]a, b[ tel que :
f (b) − f (a)
.
f 0 (c) =
b−a
Preuve
Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle à la fonction g définie sur [a, b] par :
g(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
Interprétation géométrique : il existe un point d’abscisse c où la tangente est parallèle à la corde joignant
les points d’abscisses respectives a et b.
Remarque
Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des accroissements finis mais nous utilisons le théorème
de Rolle pour démontrer le théorème des accroissements finis.
Comme application du théorème des accroissements finis, voici une condition suffisante de dérivabilité
Proposition 7.1 Soit I un intervalle ouvert de R, x0 un élément de I et f une fonction continue dans I et
dérivable dans I \ {x0 }. Si limx→x0 f 0 (x) = l (un nombre réel) alors f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = l.
Preuve
Elle utilise le théorème des accroissements finis.
Exemple
Soit f la fonction donnée par :

 e−1/x2
f (x) =

0
si x 6= 0,
si x = 0.
7.3. VARIATIONS D’UNE FONCTION DÉRIVABLE ET EXTREMA
Ici I = R et x0 = 0. La fonction f est continue sur R et dérivable pour x 6= 0 et f 0 (x) = 2 e
0 lorsque x → 0, donc f 0 (0) = 0.
57
−1/x2
x3
a pour limite
Remarques
1. On peut adapter la propriété au cas où x0 est l’extrémité d’un intervalle. Dans ce cas on a : l = fd0 (x0 ) ou
l = fg0 (x0 ).
2. Si f 0 n’admet pas de limite en x0 dans la proposition précédente, la fonction peut tout de même être dérivable
en x0 , comme le prouve l’exemple de la fonction suivante donnée par :
1
, x 6= 0 et f (0) = 0.
f (x) = x2 sin
x
Théorème 7.4 (des accroissement finis généralisé) Soit a et b deux réels tels que a < b, f et g deux
fonctions continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. II existe alors un réel c dans l’intervalle ]a, b[ tel que :
(f (b) − f (a))g 0 (c) − (g(b) − g(a))f 0 (c) = 0.
De plus, si g 0 ne s’annule pas sur ]a, b[, alors
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Preuve
On applique le théorème de Rolle à la fonction h définie sur [a, b] par :
h(t) = (f (b) − f (a))(g(t) − g(b)) − (g(b) − g(a))(f (t) − f (b)).
Ce théorème permet de montrer le résultat suivant :
Théorème 7.5 (de l’Hospital) Soit a et b deux réels tels que a < b, f et g deux fonctions dérivables sur
]a, b[ telle que la fonction dérivée g 0 ne s’annule pas sur ]a, b[.
f 0 (x)
f (x)
1- Si les deux fonctions f et g ont pour limite 0 en a, si lim+ 0
= l, alors lim+
= l.
x→a g (x)
x→a g(x)
f 0 (x)
f (x)
2- Si lim g(x) = ∞ et si lim 0
= l alors lim
= l.
x→a+ g (x)
x→a+
x→a+ g(x)
Remarque : Ce théorème est encore vrai si l = ∞ et si a = ∞.
7.3
Variations d’une fonction dérivable et extrema
Les théorèmes de Rolle et des accroissements finis permettent de démontrer, en particulier, le théorème sur les
variations de fonctions et le théorème sur les fonctions convexes dérivables qui feront l’objet des paragraphes
suivants.
7.3.1
Variations d’une fonction dérivable
Définition 7.3 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. On dit que f est
(a) croissante sur I si : ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )),
(b) décroissante sur I si : ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )),
(c) constante sur I si : ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, (f (x1 ) = f (x2 )).
Dans chacun de ces trois cas, on dit que f est monotone sur I.
Définition 7.4 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. On dit que f est strictement
(a) croissante sur I si : ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )) ;
58
CHAPITRE 7. FONCTIONS RÉELLES DÉRIVABLES, NOTION DE CONVEXITÉ
(b) décroissante sur I si : ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I, (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )).
Dans chacun de ces cas, on dit que f est strictement monotone sur I.
Le théorème qui suit, que vous avez déjà utilisé sans démonstration, permet de déterminer les intervalles de
monotonie et les extrema d’une fonction dérivable et de dresser son tableau de variations.
Théorème 7.6 Soit a et b des réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur I = [a, b] et dérivable sur
]a, b[. On a alors :
(i) la fonction f est constante sur I si et seulement si f 0 (x) = 0 en chaque point de ]a, b[ ;
(ii) la fonction f est croissante sur I si et seulement si f 0 (x) ≥ 0 en chaque point de ]a, b[ ;
(iii) la fonction f est décroissante sur I si et seulement si f 0 (x) ≤ 0 en chaque point de ]a, b[.
Exemple
On construit une boı̂te rectangulaire, sans couvercle, en découpant dans chaque coin d’un carré de 10 cm de
côté, un petit carré de x cm de côté. Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume sera maximum.
7.3.2
Condition suffisante d’extremum local utilisant la dérivée seconde
Proposition 7.2 Soit f une fonction et soit α et β des nombres réels tels que α < β. Supposons que f , f 0
et f 00 soient continues sur ]α, β[. Si au point x0 ∈]α, β[ on a f 0 (x0 ) = 0 et f 00 (x0 ) 6= 0 alors la fonction f
présente un extremum relatif en x0 . Il s’agit d’un maximum si f 00 (x0 ) < 0 et d’un minimum si f 00 (x0 ) > 0.
Preuve
Si f 00 (x0 ) > 0, la dérivée seconde, qui est continue, est strictement positive dans un intervalle ouvert ]α0 , β 0 [ de
x0 alors f 0 est strictement croissante dans cet intervalle et, puisque f 0 (x0 ) = 0, le tableau de variations de f
dans l’intervalle ]α0 , β 0 [ met en évidence un minimum local pour f en x0 .
Exemple
On considère sur R la fonction V (x) = x(10 − 2x)2 obtenue en exemple plus haut.
7.4
Développement limité en l’infini, branches infinies
Il est parfois nécessaire d’analyser le comportement d’une fonction f lorsque x tend vers + inf(ou −inf ). Pour
cela on va chercher dans cette partie, à dvelopper f à l’aide des puissance décroissantes de x.
Définition 7.5 Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞). On dira que f admet un développement
limité d’ordre n en +∞ si
f (x) =
n
X
k=r
1
1
ak k + n ε (x)
x
x
avec
lim ε (x) = 0
x→+∞
resp.
lim ε (x) = 0 .
x→−∞
Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞). On se ramène à droite (resp. à gauche) en 0 grâce
au
1
1
changement de variable X = et en appliquant la formule de Taylor en 0 à la fonction X 7→ F (X) = f
.
x
X
1
Il est donc nécessaire ici que la fonction X 7→ F (X) = f
remplisse certaines conditions.
X
Proposition 7.3 Soit n ∈ N et soit I un intervalle de R contenant 0. Avec les mêmes notations que précédemment
n
X
si F est n fois dérivable sur I et si on note
ak X k la partie principale de son développement de Taylor en
k=0
x0 = 0, f admet un développement limité en +∞ (respectivement −∞) qui s’écrit :
n
X
1
1
f (x) =
ak k + n ε (x) avec lim ε (x) = 0
resp. lim ε (x) = 0 .
x→+∞
x→−∞
x
x
k=0
7.4. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ EN L’INFINI, BRANCHES INFINIES
59
Exercice Rappeler l’expression des ak en fonction des dérivées successives de la fonction F .
Exemple
Le développement limité en +∞ de
1
est donné par
x−1
1
1
1
1
1
= + 2 + · · · + n + n ε (x) ,
x−1
x x
x
x
lim ε (x) = 0.
x→+∞
Etude des branches infinies
Définition 7.6 On a une branche infinie pour la courbe représentative d’une fonction f lorsque f (x) tend vers
±∞ quand x tend vers x0 , ou (quand le domaine de définition de f contient un voisinage de ±∞) lorsque f (x)
tend vers une limite finie ou infinie quand x tend vers ±∞.
Remarque
On peut laisser de côté le cas où x tend vers x0 qui conduit à l’étude évidente d’une asymptote verticale
d’équation x = x0 .
Exemples
1
x3 + 2
. Pour x =
, posons :
x−1
X
1
1
1 + 2X 3
G(X) = f
= 2
, F (X) = X 2 G(X).
X
X
1−X
1. Etude au voisinage de ±∞ de f : x 7→
Ecrivons un développement limité d’ordre 3 au voisinage de 0 pour F :
F (X) = 1 + X + X 2 + 3X 3 + X 3 ε(X), puis f (x) = x2 + x + 1 +
1
3
+ ε1 (x) .
x x
Il en résulte que la courbe représentative de la fonction polynôme x 7→ x2 + x + 1 est asymptote à la courbe Cf
de f lorsque x tend vers ±∞. Cette courbe est au–dessous de Cf au voisinage de +∞, et au-dessus au voisinage
de −∞.
√
√
2. Etude au voisinage de ±∞ de f : x 7→ 3 x3 + x + 1 − x2 − x − 1.
1
Pour x =
, on a :
X
1/3
1/2
1
1
1
1 + X2 + X3
−
1 − X − X2
.
G(X) = f
=
X
X
|X|
Si x tend vers +∞ alors X tend vers 0 par valeur supérieur , et :
X
23
+ X 2 + X 2 ε(X), avec lim ε(X) = 0.
X→0
2
24
1
23
1
On a alors f (x) = +
+ ε1 (x). La courbe représentative de f admet donc une asymptote d’équation
2
24x
x
y = 1/2 pour x tendant vers +∞, et la courbe est située au–dessus de son asymptote.
F (X) = XG(X) =
Si x tend vers −∞, alors X tend vers 0 par valeur inférieur, et :
1
7
F (X) = 2 − X − X 2 + Xε2 (X).
2
24
1
7
1
Ce qui entraı̂ne que f (x) = 2x − −
+ ε3 (x). La courbe représentative de f admet donc l’asymptote
2
24x
x
d’équation y = 2x − 1/2 pour x tendant vers −∞, et la courbe est située au-dessus de son asymptote.
60
CHAPITRE 7. FONCTIONS RÉELLES DÉRIVABLES, NOTION DE CONVEXITÉ
Remarques
1. Pour le premier exemple, on a été amené à effectuer un développement limité d’ordre 3 au voisinage de ±∞
f (x)
de x 7→ 2 pour obtenir l’équation de la courbe asymptote à la courbe représentative de f , au voisinage de
x
±∞, ainsi que la position relative des deux courbes.
2. Pour le deuxième exemple, on a effectué un développement limité d’ordre 2 au voisinage de +∞ et de −∞
f (x)
de x 7→
afin d’obtenir l’équation de l’asymptote ainsi que la position de celle-ci par rapport à la courbe
x
représentative de f au voisinage de ±∞.
3. En pratique, pour l’étude de f au voisinage de +∞, on essaiera de mettre en évidence une écriture de la
forme :
a−q
1
f (x) = ap xp + ap−1 xp−1 + · · · + a0 + q + q ε (x) , avec lim ε (x) = 0,
x→+∞
x
x
a−q
et p ∈ N, q ∈ N∗ , où q est le plus petit entier tel que le terme q soit non nul. La courbe représentative de la
x
fonction polynôme x 7→ P (x) = ap xp + ap−1 xp−1 + · · · + a0 est asymptote au graphe de f au voisinage de l’infini
a−q
et le terme q donnera alors la position relative des deux courbes : plus précisément, la courbe représentative
x
de f est, au voisinage de +∞, au-dessus de celle de P si a−q > 0, au dessous dans le cas contraire. On procède
de manière analogue au voisinage de −∞.
4. On obtiendra le plus souvent une droite et on aura alors à effectuer un développement limité au voisinage
de l’infini de f (x)/x à un ordre n au moins égal à 2.
7.5
Fonctions convexes dérivables
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est convexe sur I si tout arc de sa courbe
représentative est au-dessous de la corde correspondante. La fonction est dite concave si tout arc est au-dessus
de la corde correspondante ou encore si −f est convexe. Plus précisément :
Définition 7.7 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. On dit que f est convexe sur I si,
quels que soient les points x, x1 , x2 dans I tels que x1 < x < x2 , on a :
g(x) ≥ 0
avec
g(x) = f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) − f (x).
x2 − x1
(7.1)
Remarques
1. On peut montrer que y = f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) est l’équation de la droite passant par les points
x2 − x1
(x1 , f (x1 )) et (x2 , f (x2 )). Faites-le !
2. Dire que la fonction f est convexe sur l’intervalle I revient à dire que
∀t ∈ [0, 1], ∀x1 ∈ I, ∀x2 ∈ I,
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ).
Remarquer que pour t dans [0, 1], l’élément tx1 + (1 − t)x2 est sur le “segment“ [x1 , x2 ].
Le théorème suivant donne des conditions suffisantes de convexité, portant sur la monotonie de la dérivée
première ou sur le signe de la dérivée seconde.
Théorème 7.7 Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Pour que f soit convexe sur l’intervalle
I il suffit que l’une des conditions suivantes soit vérifiée ;
(i) la fonction f est dérivable sur l’intervalle I et f 0 est croissante ;
(ii) la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle I et f 00 est positive.
Dans les deux cas, la courbe représentant f est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
7.6. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION
61
La propriété relative aux tangentes se traduit comme suit :
∀(x, x0 ) ∈ I 2 ,
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )·
(7.2)
Elle s’établit aisément en étudiant les variations de la fonction h définie sur l’intervalle I par :
h(x) = f (x) − f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
Exemples
Les fonctions suivantes sont des fonctions convexes : x 7→ (a + x)r , avec r ∈ Z et a ∈ R, sur l’intervalle
] − a, +∞[ ; x 7→ emx , avec m ∈ R, sur R ; x 7→ − ln x sur ]0, +∞[ et x 7→ − sin(x) sur [0, π].
Définition 7.8 Si f est une fonction définie au voisinage d’un point x0 et si f change de concavité au point
x0 , alors on appelle x0 un point d’inflexion de f .
Si f est dérivable au voisinage de x0 , dire que x0 est un point d’inflexion, c’est dire que la courbe représentative
de f traverse sa tangente en x0 . Si la fonction est deux fois dérivable au voisinage de x0 , alors x0 est un point
00
d’inflexion si et seulement si h s’annule et change de signe en x0 .
Exemples : x 7→ x3 et x 7→ x1/3 admettent un point d’inflexion en x = 0.
Application de la convexité au tracé des courbes
La connaissance des intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave permet de placer correctement
les arcs correspondants de la courbe représentative par rapport aux cordes et aux tangentes.
Application à la recherche d’inégalités
Les relations 7.1 et 7.2 sont à l’origine de très nombreuses inégalités. On pourra établir, à titre d’exemple :
∀x ∈ R,
7.6
1 + x ≤ ex ,
1 − x ≤ e−x
et
∀x > −1,
ln(1 + x) ≤ x.
Plan d’étude d’une fonction
Ce petit paragraphe contient un plan d’étude d’une fonction numérique. On l’utilisera dans certains exercices
proposés ci-dessous.
1. Détermination du domaine de définition de la fonction.
2. Détermination du domaine d’étude De : Réduction du domaine de définition en étudiant la parité, la
périodicité et les symétries de la fonction.
3. Étude de la dérivabilité et de la continuité de la fonction sur De . Calcul de la dérivée, détermination du
signe de la dérivée et des variations de la fonction.
4. Étude aux bornes de De : Calcul des limites, étude des branches infinies et détermination des asymptotes
éventuelles de la fonction.
5. Résumé des informations précédentes dans le tableau de variations de la fonction sur De .
6. Étude de la convexité de la fonction : Détermination des points d’inflexion et des intervalles où la fonction
est convexe (concave).
7. Tracé de la courbe de la fonction en traçant éventuellement quelques tangentes ou demi-tangentes en
des points particuliers.
62
7.7
CHAPITRE 7. FONCTIONS RÉELLES DÉRIVABLES, NOTION DE CONVEXITÉ
Travaux dirigés - Exercices
Objectif
— Approfondir les notions théoriques de limite, continuité et dérivabilité d’une fonction.
— Maı̂triser les applications des théorème de Rolle et des accroissements finis.
— Maı̂triser la notion de convexité et ses applications.
— Savoir effectuer l’étude complète d’une fonction de R dans R.
2
Exercice 7.1 Etudier la fonction bxc + (x − bxc) . En particulier, on s’intéressera à la continuité et à la
dérivabilité en chaque point.
Exercice 7.2 On considère les fonctions définies par :
( x
e pour x ≥ 0
f1 (x) =
√
1 + 2x pour − 1/2 ≤ x < 0.
(
f2 (x) =
e−x pour x ≥ 0
√
1 + 2x pour − 1/2 ≤ x < 0.
Ces fonctions sont-elles continues en 0 ? Sont-elles dérivables ? Donner l’allure de leur courbe représentative au
voisinage de 0.
Exercice 7.3 En utilisant le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction ln sur l’intervalle [n, n+1],
prouver que pour tout entier naturel non nul :
1
1
1
< ln(1 + ) < .
n+1
n
n
En déduire que : lim 1 +
n→∞
1 n
= e.
n
Exercice 7.4 Montrer que pour tous réels x et y, on a :
| sin x − sin y| ≤ |x − y|.
Exercice 7.5 Calculer les limites suivantes :
√
x
1- lim
x→+∞ ln x
cos(2x) − 1
2- lim
(on appliquera le théorème de l’Hospital deux fois.)
x→0 x3 + 5x2
x
e
3- lim n , pour n ∈ N∗ .
x→+∞ x
Exercice 7.6 Étudier la convexité de la fonction f sur D dans les cas suivants :
1- Pour D = R, avec f : x 7→ x2 − ln(1 + x2 ).
2- Pour D = R avec f : x 7→ arctan x.
3- Pour D = R+ avec, pour n ∈ N∗ la fonction f définie par :

x
1


+ 1 pour x ∈ [0, ]
n
n
f (x) =

 0 pour x > 1 .
n
Exercice 7.7 Établir, en utilisant la convexité d’une fonction à déterminer dans chaque cas :
1- ∀x ∈ R,
2- ∀x > −1,
1 + x ≤ ex ,
ln(1 + x) ≤ x.
1 − x ≤ e−x ;
7.7. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
63
Exercice 7.8 En utilisant la convexité de x 7→ sin x sur 0, π2 , montrer que
h πi
∀x ∈ 0,
,
2
2
x ≤ sin x ≤ x.
π
Exercice 7.9 Montrer que la fonction f définie sur ]1, +∞[ par f (x) = − ln (ln (x)) est convexe sur ]1, +∞[.
En déduire que :
p
a+b
ln(
) ≥ (ln a ln b)
pour a > 1, b > 1
2
Exercice 7.10 Montrer que, pour tout réel strictement positif x,
x
x
≤ arctan x ≤ x
et
b)
≤ ln(1 + x) ≤ x.
2
1+x
1+x
√
Exercice 7.11 Étudier la fonction f : x 7→ x2 + x + 1. En particulier, étudier ses branches infinies.
a)
2
Exercice 7.12 Étudier la fonction f (x) = e−x , puis donner l’allure de son graphe. En particulier, déterminer
les points d’inflexion et les tangentes aux points d’inflexion.
Exercice 7.13 Soit h la fonction définie par :
h(x) = arcsin
2x
x2 + 1
.
1- Donner le domaine de définition de la fonction h. Pour cela, étudier les valeurs prises par la fonction
u(x) =
2x
+1
x2
2- La fonction h est-elle dérivable ? Considérer en particulier les points x = 1 et x = −1.
3- Terminer l’étude de h et tracer son graphe.
Exercice 7.14 Soit f la fonction numérique définie par f (x) =
dans un repère othonormé.
√
3
x3 − 1. On notera C sa courbe reprsentative
1- Montrer que f est définie et continue sur R.
2- Montrer que f est dérivable sur R \ {1}, puis calculer sa dérivée.
3- Donner le tableau de variation de f en précisant les limites aux bornes de l’intervalle d’étude.
4- Vérifier que
∀x ∈ R \ {1},
f 00 (x) = −
(x3
2x
p
.
− 1) 3 (x3 − 1)2
Étudier la convexité de f .
5- En utilisant le développement de Taylor de la fonction g : x 7→ f ( x1 ), donner le développement asymptotique
d’ordre 2 (au voisinage de +∞ et de −∞) de f et en déduire les équations des asymptotes obliques à C. On
étudiera les positions relatives de C et de ses asymptotes.
6- Donner le développement de Taylor d’ordre 3 de f au voisinage de 0. Retrouver la position au voisinage de
0 de la courbe par rapport à sa tangente en 0.
7- Tracer avec soin la courbe C.
64
CHAPITRE 7. FONCTIONS RÉELLES DÉRIVABLES, NOTION DE CONVEXITÉ
Chapitre 8
Primitives, intégrales définies
8.1
Primitives
De nombreux problèmes mathématiques (calculs d’intégrales, équations différentielles, . . .) se ramènent à la
question suivante : étant donné une fonction f , trouver une fonction F admettant f pour dérivée.
Le symbole I désignera dans cette partie un intervalle ouvert de R. Les fonctions considérées sont supposées
définies sur I.
Définition 8.1 Soit F et f deux fonctions. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable en
tout point de I et si F 0 = f . On dit aussi que f admet F comme primitive.
Exemple
Les fonctions x 7→ sin x, x 7→ 2 + sin x sont des primitives, sur R, de la fonction x 7→ cos x.
Théorème 8.1 Soit f une fonction admettant sur I une primitive F , alors l’ensemble des primitives de f sur
I sont les fonctions G = F + c où c est une constante réelle quelconque.
Notation
Z
Si f est une fonction admettant sur I une primitive, alors f (x) dx désigne une primitive quelconque de f .
Exemple
R
On a cos x dx = sin x + c sur R (c ∈ R).
Remarque
a) Si f est une fonction de la variable x, il en est de même de toute primitive F de f .
b) Avec les hypothèses du théorème précédent, il existe une primitive G de f unique définie par sa valeur
en un point x0 . En effet, la constante c est déterminée par G(x0 ) = F (x0 ) + c.
8.1.1
Existence
On démontrera ultérieurement le résultat suivant :
Théorème 8.2 Toute fonction continue sur un intervalle ouvert admet une primitive sur cet intervalle.
De l’étude des dérivées connues, on peut dresser une première liste de primitives à connaı̂tre (cf. table 8.1).
65
66
CHAPITRE 8. PRIMITIVES, INTÉGRALES DÉFINIES
f (x)
F (x)
I
xm , m ∈ N
xm+1
+C
m+1
] − ∞, +∞[
xm , −m ∈ N∗ , m 6= −1
sin x
cos x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
1 + x2
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
x
ex
1
−√
1 + x2
xm+1
+C
m+1
− cos x + C
sin x + C
]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
i π
h
π
− + kπ, + kπ , k ∈ Z
2
2
tan x + C
arctan x
] − ∞, +∞[
arcsin x
] − 1, +1[
arccos x
] − 1, +1[
ln x
]0, +∞[
ln x +
ex
√
] − ∞, +∞[
1 + x2
] − ∞, +∞[
Table 8.1 – Primitives usuelles.
8.1.2
Recherche de primitives
Premières propriétés
Si F est une primitive de f sur I, et si G est une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g
sur I et, pour tout réel λ, λF est une primitive de λf sur I.
Changement de variable
Soit I et J deux intervalles de R, u : J → I une fonction ayant une dérivée continue, f une fonction ayant une
primitive F sur I. On a, pour tout t de J,
(F ◦ u)0 (t) = f (u(t))u0 (t)
donc :
Z
f (u(t))u0 (t) dt = F (u(t)) + c avec c ∈ R.
(8.1)
Exemples
Z
un+1 (t)
On a, pour n ∈ N,
u (t)u (t) dt =
+ c, cos3 x sin x dx = · · ·
n+1
Z
En pratique, pour déterminer
f (x) dx on pose x = u(t), on remplace f (x) par f (u(t)) et dx par u0 (t)dt.
Z
n
0
Exemples
Z q
Calculer
1 − x2 dx sur [−1, +1].
Le choix du changement de variable, c’est-à-dire de la fonction u et de l’intervalle J, n’est pas toujours évident.
Certaines techniques seront développées en exercices dans ce chapitre.
8.2. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE
67
Intégration par parties
Soit u et v deux fonctions à dérivée continue sur I. On a :
0
(u(x)v(x)) = u(x)v 0 (x) + u0 (x)v(x).
∀x ∈ I,
Il en résulte que :
Z
Z
0
u0 (x)v(x) dx,
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −
(8.2)
que l’on note :
Z
Z
u dv = uv −
v du.
(8.3)
Exemples
Z
Z
Calculer
x sin x dx, xex dx.
8.2
8.2.1
Intégrale d’une fonction continue
Aire sous la courbe d’une fonction, subdivisions
La notion d’intégrale provient du calcul des aires de surfaces planes.
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b, f une fonction continue sur I = [a, b].
Définition 8.2 On appelle subdivision de l’intervalle I, la donnée d’un nombre naturel n et de réels x0 , x1 ,
. . ., xn tels que :
x0 = a < x1 < · · · < xn = b.
Soit maintenant f une fonction définie sur I, x0 , x1 , . . ., xn une subdivision de I et pour tout i ∈ {0, . . . n − 1},
soit ξi un élément de l’intervalle [xi+1 , xi ]. La quantité
n−1
X
f (ξi )(xi+1 − xi )
i=0
est alors une valeur approchée de l’aire algébrique de la surface sous la courbe de f . On obtiendra l’aire exacte
en faisant tendre n vers l’infini et en faisant en sorte que les éléments |xi+1 − xi | tendent vers 0 (voir TD et
TD-TP).
Définition 8.3 Cette limite (si elle existe et ne dépend pas du choix de la subdivision) est appelée intégrale
définie (ou simplement intégrale) de f sur l’intervalle I. On dit aussi que f est intégrable sur I (au sens de
Riemann).
On la note
b
Z
f (x)dx.
a
Définition 8.4 Le symbole f (x)dx est appel l’intégrande (ou noyau) de l’intégrale, l’intervalle [a, b] est le
domaine d’intégration et a, b sont les bornes d’intégration.
Remarque
Rb
La variable x dans a f (x)dx est muette. Autrement dit,
Z
b
Z
f (t)dt =
a
b
Z
f (x)dx =
a
b
f (u)du.
a
68
CHAPITRE 8. PRIMITIVES, INTÉGRALES DÉFINIES
8.2.2
Théorème fondamental
Le théorème suivant montre que les primitives permettent de calculer des intégrales.
Théorème 8.3 Soit a et b deux nombres rels tels que a < b, f une fonction continue sur [a, b]. Alors f est
intgrable sur [a, b] et si F une primitive de f sur ]a, b[ alors
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Exemples On a :
Z
1
0
8.2.3
1
π
dx = ,
1 + x2
4
π
4
Z
cos xdx = sin
0
π
− sin 0.
4
Propriétés
Le théorème qui suit donne les propriétés les plus importantes sur les intégrales.
Théorème 8.4 Soit a et b deux nombres réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur [a, b].
Alors :
Rb
Rb
Rb
1. a (f (x) ± g(x))dx = a f (x)dx ± a g(x)dx,
Rb
Rb
2. ∀λ ∈ R,
λf (x)dx = λ a f (x)dx,
a
3. pour c ∈ [a, b] et f intégrable sur [c, b] et [a, c], on a la relation de Chasles :
b
Z
c
Z
f (x)dx =
f (x)dx +
a
4.
5.
Rb
a
Ra
a
f (x)dx = −
Ra
b
Z
a
b
f (x)dx,
c
f (x)dx,
f (x)dx = 0,
6. s’il existe m et M dans R tels que : ∀x ∈ [a, b], m ≤ f (x) ≤ M , alors :
Z
m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a),
a
7. si ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x), alors :
Z
b
b
Z
f (x)dx ≤
f (x)dx,
a
a
R
R
b
b
8. a f (x)dx ≤ a |f (x)|dx,
9. (théorème de la moyenne) ∃ ξ ∈]a, b[ tels que :
f (ξ) =
1
b−a
Z
b
f (x)dx.
a
Le membre de droite est appelé valeur moyenne de f sur [a, b] et cette égalité indique que f atteint sa
valeur moyenne sur l’intervalle [a, b].
8.3. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
8.2.4
69
Méthodes de calcul
Intégration par parties
Soit u et v des fonctions ayant des dérivées continues sur l’intervalle [a, b], c’est-à-dire, de classe C 1 sur I. De
l’égalité 8.2, on tire
Z b
h ib Z b
vdu.
udv = uv −
a
a
Exemple Calculer
R1
0
a
tet dt.
Changement de variable
Soit I et J deux intervalles de R. Soit u : J 7→ I et f : I 7→ R deux fonctions ayant des dérivées continues
et α et β dans J. Si F est une primitive de f , de l’égalité 8.1. on tire :
Rβ
α
f (u(t))u0 (t)dt =
=
F (u(β)) − F (u(α))
R u(β)
f (x)dx.
u(α)
(8.4)
Si u est bijective, on pourra écrire :
Z
∀a ∈ [a, b],
∀a ∈ [a, b],
b
Z
u−1 (b)
f (x)dx =
a
Exemple. En utilisant le changement de variable t = tan x2 , calculer I =
8.3
f (u(t))u0 (t)dt.
u−1 (a)
π
2
Z
π
4
1
dx.
sin x
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
— Recherche de primitives.
— Propriétés et calcul de l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé.
Exercice 8.1 Soit la fonction donnée par f (x) = x2 sur l’intervalle [0, 1]. Soient les fonctions g1 , g2 et g3
données par :
h k k + 1i
k
∀i ∈ {1, 2, 3}, ∀k ∈ {0, . . . i}, ∀x ∈
,
, gi (x) = f
.
i+1 i+1
i+1
1- Expliciter les fonctions g1 , g2 et g3 .
2- Représenter les courbes, dans un même repère, des fonctions g1 , g2 , g3 .
3- Calculer pour i de 1 à 3
Z
1
gi (x) dx.
0
4- On a construit les 3 premiers termes d’une suite. D’après le cours quelle est sa limite ?
Exercice 8.2 Calculer les intégrales suivantes en justifiant leur existence :
Z π4
1tan x dx.
Indication : peut-on effectuer le changement de variable u = cos x ?
0
Z
π
4
2-
cos 3x dx ;
0
Z
3-
2
ln x dx ;
1
70
CHAPITRE 8. PRIMITIVES, INTÉGRALES DÉFINIES
Z
e
41
√
Z
ln x
dx.
x
2
√
50
Z
60
π
4
Indication : peut-on effectuer le changement de variable u = ln x ?
dx
.
4 − x2
Indication (arcsin(x))0 = √
xdx
.
cos2 x
Indication : (tan x)0 =
1
.
1 − x2
1
.
(cos x)2
Exercice 8.3 On se place dans un repère orthonormé (1 unité = 2 cm).
1- Calculer l’aire du domaine fermé limité par les courbes représentatives des fonctions x 7→ x2 et x 7→ −x2 + 2.
2- Calculer l’aire limitée par la courbe de la fonction x 7→ sin x − cos x, les droites d’équation x = 0, x =
y = 0.
Exercice 8.4 Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur les intervalles indiqués :
1. f (x) = x2 sur [0, 1],
2. f (x) = sin2 x sur [0, π].
Exercice 8.5 Soit
Z
π
2
r
1+
I=
0
Z
1
sin2 x dx et
2
1
J=
−1
1
dx.
8 + x3
Sans calculer les intégrales, établir les inégalités :
π
π
≤I≤
2
2
r
3
2
et
2
2
≤J ≤ .
9
7
Exercice 8.6 Soit k ∈ N et f la fonction numérique définie sur R par :
f (x) = e−x sin x.
∀x ∈ R,
Calculer
R kπ
0
f (x) dx et en déduire l’aire comprise entre la courbe de f et l’axe (Ox).
Exercice 8.7 Soient les fonctions rationnelles données par les expressions suivantes :
f (x) =
9
,
(x − 1)2 (x + 2)
g(x) =
20
,
2
(x + 1)(x − 2)x2
h(x) =
x5 + 1
.
x4 − x2
On notera par Df , Dg et Dh le domaine de définition de f , g et h respectivement.
1- Déterminer les nombres réels a1 , a2 , a3 , b1 , . . . , b5 , c1 , . . . , c5 , tels que :
∀x ∈ Df ,
f (x) =
a1
a2
a3
+
+
.
x − 1 (x − 1)2
x+2
b1
b2
b3
b4 x + b5
+ 2+
+ 2
x
x
x−2
x +1
∀x ∈ Dg ,
g(x) =
∀x ∈ Dh ,
h(x) = c1 x + c2 +
c3
c4
c5
+ 2+
x
x
x−1
2- En déduire les primitives suivantes (sur des intervalles qu’on déterminera) :
Z
Z
Z
f (x) dx,
g(x) dx,
h(x) dx.
3π
4
et
8.3. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
71
Exercice 8.8 Soit (un ) la suite réelle définie par :
∀n ∈ N,
un =
n
X
k=1
n2
1
.
+ k2
Calculer lim un .
n→+∞
Indication : On pourra utiliser le théorème : Si une fonction f est continue sur l’intervalle [a, b] (a < b) alors :
n
b−a X
f
n→+∞
n
lim
k=1
a+j
b−a
n
Z
b
f (x) dx.
=
a
Exercice 8.9 Soit f une fonction numérique continue sur l’intervalle [0, 1]. Soit (un ) la suite réelle définie
par :
Z 1
∀n ∈ N, un =
xn f (x) dx.
0
Montrer que la suite (un ) tend vers 0.
Indication Sachant que f est bornée, on pourra majorer | un | par une suite qui converge.
72
CHAPITRE 8. PRIMITIVES, INTÉGRALES DÉFINIES
Chapitre 9
Introduction aux déterminants
9.1
Définition du déterminant d’une matrice carrée
Soit n ∈ N∗ et M une matrice d’ordre n. On définit le déterminant de M (noté det M ) par récurrence sur n.
— Si n = 1 alors M est constituée d’un seul élément (M = (a), a ∈ R) et le déterminant est égal à a.
— Si n > 1, soit M = (aij )1≤i,j≤n . Pour tout i ∈ {1, . . . n}, on désigne par Mi la matrice obtenue en rayant
dans M la première ligne et la ıième colonne et on pose :
det(M ) = a11 det(M1 ) + · · · + (−1)i+1 a1i det(Mi ) + · · · + (−1)n+1 a1n det(Mn )
où det(Mi ) désigne le déterminant des matrices Mi d’ordre n − 1.
Exercice 9.1 Appliquer la définition ci-dessus pour calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes :




−1 0 4
1 2 3
a b
A=
, B =  −1 4 1  , C =  3 −4 0  .
c d
1 −2 0
0 2 0
Exercice 9.2 Soit a et b deux nombres réels. Pour chacune des matrices ci-dessous, calculer son déterminant
et préciser l’ensemble des valeurs du couple (a, b) pour lesquelles il est nul.
3a 2b
a b
sin a cos a
cos a sin b − sin a sin b
A=
, B=
, C=
, D=
.
−1 2
−b a
sin b cos b
sin a sin b cos a sin b
Remarque
La définition ci-dessus donne un moyen de calcul du déterminant d’une matrice. On dit qu’on a calculé le
déterminant de la matrice en développant selon la première ligne. On pourra aussi développer suivant n’importe
quelle ligne ou colonne. On montre que le déterminant ne dépend pas de la ligne ou de la colonne choisie. Ainsi,
en développant par rapport à la i-ième ligne, on obtient :
∀i ∈ {1, . . . , n}, det(M ) = (−1)i+1 ai1 det(Mi1 ) + · · · + (−1)i+j aij det(Mij ) + · · · + (−1)n+i a1n det(Min ).
Ici pour tous i ∈ {1, . . . n} et j ∈ {1, . . . n}, Mij est la matrice obtenue en rayant dans M la i-ième ligne et la
j-ième colonne. De même en développant par rapport la j-ième colonne, on obtient :
∀j ∈ {1, . . . , n}, det(M ) = (−1)1+j a1j det(M1j ) + · · · + (−1)j+i aij det(Mji ) + · · · + (−1)j+n anj det(Mjn ).
Exercice 9.3 Utiliser ce procédé pour calculer les déterminants proposés à l’exercice 9.1 (et vérifier que le
résultat trouvé est bien sûr le même) en développant chaque fois par rapport à la deuxième ligne, puis par
rapport à une autre ligne ou colonne de votre choix.
73
74
CHAPITRE 9. INTRODUCTION AUX DÉTERMINANTS
Exercice 9.4 Démontrer que le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux de cette matrice. On pourra raisonner par récurrence sur la taille n de la matrice.
Notation
Soit n ∈ N∗ et M = (aij )1≤i,j≤n une matrice (carrée) d’ordre n. Le déterminant de M est souvent dénoté par :
a11 . . . a1n .
..
.. .
.
. .
an1 . . . ann
9.2
Déterminant d’une matrice carrée et de sa transposée
On démontre l’égalité suivante : det(tM ) = det(M ).
Exercice 9.5 Vérifier cette relation sur les exemples traités à l’exercice 9.1.
Déterminant d’un système de vecteurs
Soit n ∈ N∗ et v1 , . . . , vn n vecteurs de Rn . On appelle déterminant de v1 , . . . , vn et on note det(v1 , . . . , vn ) le
déterminant de la matrice dont les colonnes (ou les lignes) sont formées des coordonnées de v1 , . . . , vn .
Exercice 9.6 Écrire le déterminant des vecteurs (1, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 0, 1). Idem pour les vecteurs (−1, 1, 1),
(1, −1, 1), (1, 1, −1).
9.3
Quelques propriétés des déterminants utiles pour leur calculs
1. Si la matrice B est obtenue en multipliant tous les éléments d’une ligne de la matrice A par un réel a,
alors det B = a det A.
2. Si une ligne de la matrice B est la somme (élément par élément) des lignes correspondantes de deux
matrices A et A0 , les autres lignes de B, A et A0 étant les mêmes, alors det B = det A + det A0 .
3. Si la matrice B est obtenue en intervertissant deux lignes de A alors det B = − det A.
4. Si la matrice B est obtenue en ajoutant à l’une des lignes de A une combinaison linéaire des autres,
alors det B = det A.
Ces propriétés permettent de calculer plus rapidement certains déterminants. On dit qu’il s’agit de transformations élémentaires sur les déterminants. Elles sont énoncées ici sur les lignes des matrices, mais du
fait de la conservation du déterminant par transposition, elles sont également vraies en remplaçant
systématiquement le mot ”ligne” par ”colonne”
Ces propriétés peuvent être résumées en disant qu’un déterminant est une forme multilinéaire alternée.
En terme de déterminant de vecteurs ces propriétés s’expriment de la façon qui suit. Soit n ∈ N∗ et v1 , . . . , vn
des vecteurs de Rn . On a alors :
1. pour a ∈ R, det(v1 , . . . , avi , . . . , vn ) = a det(v1 , . . . , vi , . . . , vn ),
2. pour v10 un vecteur de Rn , det(v1 + v10 , . . . , vn ) = det(v1 , . . . , vn ) + det(v10 , . . . , vn ),
3. pour i et j deux indices (distincts) de {1, . . . , n}, det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = − det(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ),
P
4. pour λ1 , λ2 , . . . des constantes, det v1 , . . . , vi + k6=i λk vk , . . . , vn = det(v1 , . . . , vn ).
Exercice 9.7 Préciser les transformations élémentaires qui permettent
suivant dans le calcul ci-dessous :
4 1 2 3 4 1 2 3
1 3 6 1 3
1 3 6 10 0 1 3 6 D=
= 1 4 10 = 0 1
=
1 4 10 20 0 1 4 10 1 5 15 0 1
1 5 15 35
0 1 5 15
de passer de chaque déterminant au
6 1
4 = 1
5
4 1
=
5 0
4 =1
1
9.4. DÉTERMINANT ET CALCUL DE L’INVERSE D’UNE MATRICE
75
Exercice 9.8 Soit trois réels a, b et c. Factoriser les déterminants des matrices suivantes :

1
A = 1
1
a
b
c
Réponses : det A = (b − a)(c − a)(c − b),
9.4

a2
b2  ,
c2

1 sin a
B =  1 sin b
1 sin c

cos a
cos b  .
cos c
b−c
a−b
det B = 4 sin a−c
2 sin 2 sin 2 .
Déterminant et calcul de l’inverse d’une matrice
On démontre qu’une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ou qu’elle est
de rang maximal. Plus précisément, on a le théorm̀e suivant.
Théorème 9.1 Soit n ∈ N∗ et M une matrice d’ordre n. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. La matrice M est inversible.
2. Le déterminant de M est non nul.
3. Le rang de M est n.
Exercice 9.9 Les matrices de l’exercice 9.1 sont-elles inversibles ?
Calcul de l’inverse d’une matrice, méthode des cofacteurs
Soit n ∈ N∗ et M = (aij )1≤i,j≤n une matrice n × n.
Pour i et j (i 6= j) dans {1, . . . , n}, on note Mij la matrice ((n − 1) × (n − 1)) obtenue en barrant dans la
matrice M la ligne de rang i et la colonne de rang j et on pose
Cij = (−1)i+j det(Mij ).
Ce coefficient est appel le cofacteur de aij (det(Mij ) est dit le mineur de aij ).
On appelle matrice des cofacteurs de M la matrice n × n dont les coefficients sont les cofacteurs des coefficients
de M . Plus précisément c’est la matrice cof M = (Cij )1≤i,j≤n .
On appelle adjointe de M et on note adj M la transposée de la matrice des cofacteurs : adj M =t(cof M ).

2
Exercice 9.10 Soit M =  1
1


0 −1
8
4
2 . Montrer que adj M =  1
−2 1
−6

2 4
3 −5  .
4 8
Théorème 9.2 Soit n ∈ N∗ et M une matrice n × n. On alors
adj M · M = M · adj M = In . det M.
En particulier, M est inversible si et seulement si det M 6= 0 et dans ce cas
M −1 =

2
Exercice 9.11 Montrer que la matrice M =  1
1
1
adj M.
det M
0
4
−2

−1
2  est inversible et calculer son inverse.
1
76
CHAPITRE 9. INTRODUCTION AUX DÉTERMINANTS
9.5
Travaux dirigés - Exercices
Objectifs
— Maı̂triser le calcul de déterminants simples.
Exercice 9.12
1
1- Démontrer que 1
0
0
3
6
2 4 = −12.
0

1
2- Calculer la matrice adjointe de la matrice  1
0
0
3
6

2
4 .
0
3- En déduire son inverse.
Exercice 9.13 Soit (a, b, c) ∈ R3 . Démontrer que le déterminant de la matrice A ci-dessous est égal au produit
2abc.


0 a b
A = a 0 c.
b c 0
Lorsque A est inversible, calculer son inverse par la méthode des cofacteurs.
Exercice 9.14 Soit (a, b, c) ∈ R3 . Démontrer l’égalité :
a − b − c
2a
2a
= (a + b + c)3 .
2b
b−c−a
2b
2c
2c
c − a − b
Exercice 9.15 Soit (α1 , α2 , α3 ) ∈ R3 et soit V la matrice suivante :

1
V = 1
1
α1
α2
α3

α12
α22  .
α32
1- Montrer que le déterminant de V est égal à Π1≤j<i≤3 (αi − αj ).
2- En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que cette matrice soit inversible.
Exercice 9.16 Soit Dn le déterminant de la matrice carrée d’ordre n (n ∈ N∗ ) ci-dessous :
1
2

0

0
.
 ..

0

2 0
1 2
2 1
0 2
.. ..
. .
0 0
0 0 0
0
0
2
1
..
.
...
...
...
...
0
0
0
0
..
.
0
0
...
...
2
0
0
0
0
0
..
.

0
0

0

0.
.. 
.

1 2
2 1
1- Calculer D1 et D2 .
2- Montrer que ∀n ≥ 3 , Dn = Dn−1 − 4Dn−2 .
3- Déduire de ce qui précède les valeurs de D3 et D4 , puis plus généralement, celle de Dn pour tout n de N∗ .
9.5. TRAVAUX DIRIGÉS - EXERCICES
77
Exercice 9.17 Soit Dn le déterminant de la matrice carrée d’ordre n (n ∈ N∗ ) ci-dessous :

a1
a2
a3
a4
..
.
1
x
0
0
..
.
n−1
0
0
0









 an−2
a
an
0 0
1 0
x 1
0 x
.. ..
. .
0 0
0 0
0 0
...
...
...
...
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
...
...
...
x
0
0
1
x
0

0
0

0

0
.. 

.

0
1
x
1- Montrer que D3 = a3 + xD2 , puis que D4 = −a4 + xD3 .
2- Pour n ≥ 3, exprimer Dn en fonction de an et Dn−1 .
3- Calculer D2 .
4- Déduire de ce qui précède les valeurs de D3 et D4 , puis montrer que Dn =
Pn
k=1 (−1)
k+1
ak xn−k .
78
CHAPITRE 9. INTRODUCTION AUX DÉTERMINANTS
Chapitre 10
Compléments d’algèbre linéaire
10.1
Changement de base dans un espace vectoriel :
matrice de passage
Soit n ∈ N∗ et E un espace vectoriel de dimension finie n, muni d’une base E = (e1 , . . . , en ). On souhaite
changer cette base par une base E 0 = (e0 1 , . . . , e0 n ). On connaı̂t donc l’écriture des nouveaux vecteurs e0 i en
fonction des anciens vecteurs ei . Il est alors facile, à partir des coordonnées dans la nouvelles base d’un vecteur
donné, d’exprimer ses coordonnées dans l’ancienne base et il apparaı̂t tout naturellement une matrice dite
matrice de passage :
Définition 10.1 On appelle matrice de passage de l’ancienne base E = (e1 , . . . , en ) à la nouvelle base
E 0 = (e0 1 , . . . , e0 n ) la matrice P dont les colonnes sont constituées par les coordonnées des vecteurs de la
nouvelle base E 0 dans l’ancienne base E.
Pn
On a donc, en notant pour tout i = 1 . . . n, e0i = j=1 αji ej :
α11
.
P =  ..
αn1

...
..
.

α1n
.. 
.
...
αnn
Formule fondamentale de changement de base :
X = P X0
Propriété : une matrice de passage d’une base à une autre est inversible. On a :
X = P X 0 ⇐⇒ X 0 = P −1 X
79
80
10.2
CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
Somme de sous-espaces vectoriels
Théorème 10.1 (et définition). Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. L’ensemble
E1 + E2 = {x1 + x2 , x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 } est le sous-espace vectoriel engendré par E1 ∪ E2 . On l’appelle la
somme des sous-espaces vectoriels E1 et E2 .
Exemples :
1) Dans R3 , soit F1 = Vect(e1 + e2 ) et F2 = Vect(e1 , e2 + e3 ) ; on a : F1 + F2 = R3 .
2) Dans R3 , soit encore F3 = Vect(e1 , e2 ) ; on a F1 + F3 = F3 .
3) Dans R3 , soit encore F4 = Vect(e1 − e2 ) ; on a F1 + F4 = F3 .
10.3
Somme directe, sous-espaces vectoriels supplémentaires
Définition 10.2 Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E et F = E1 + E2 .
Si tout élément x de F s’écrit de manière unique x = x1 + x2 avec x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2 , on dit que F est somme
directe de E1 et de E2 et on note F = E1 ⊕ E2 .
Les espaces E1 et E2 sont dits supplémentaires dans F.
Le vecteur x1 (resp. x2 ) de la décomposition de x est la composante de x dans E1 (resp. E2 ).
Exemple : reprendre les 3 exemples ci-dessus ...
La définition précédente se généralise au cas de n sous-espaces vectoriels E1 , · · · , En de E.
Théorème 10.2 Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E ; les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i)E = F1 ⊕ F2 ,
(ii)E = F1 + F2 et F1 ∩ F2 = {OE }.
Proposition 10.1 Soit F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives d1 et d2 .
Si F = F1 + F2 et d = dim(F1 + F2 ), alors d ≤ d1 + d2 .
De plus, d = d1 + d2 si et seulement si F = F1 ⊕ F2 .
Corollaire 10.1 Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E ; alors :
E = E1 ⊕ E2 si et seulement si une base de E est la réunion disjointe d’une base de E1 et d’une base de E2 .
Exemple : reprendre les 3 exemples du début de la section, ...
Ces deux résultats se généralisent au cas de n sous-espaces vectoriels E1 , · · · , En .
Théorème 10.3 Dans un espace vectoriel E de dimension finie, tout sous-espace vectoriel de E a un supplémentaire
dans E.
Preuve : conséquence du théorème de la base incomplète ...
Théorème 10.4 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et E1 , E2 des sous-espaces vectoriels de E.
Pour que E = E1 ⊕ E2 , il faut et il suffit que deux des trois propriétés suivantes soient réalisées :
(i) E = E1 + E2 ;
(ii) E1 ∩ E2 = {OE } ;
(iii) dim(E) = dim(E1 ) + dim(E2 ).
Exemple : reprendre les 3 exemples du début de la section, en se posant la question des dimensions ...
Proposition 10.2 Soit deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 de E de dimensions d1 et d2 ; alors :
dim(F1 + F2 ) + dim(F1 ∩ F2 ) = dim(F1 ) + dim(F2 ).

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