Support de Cours, TD de Mathématiques MIP Semestre 2

2015-2016
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Support de Cours, TD de Math´ematiques
MIP Semestre 2
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Table des mati`eres
1 Nombres complexes 7
1.1 R´esum´edespr´erequis ......................................... 7
1.1.1 Notionsdebase......................................... 7
1.1.2 ´ Ecriture sous forme trigonom´etrique, th´eor`eme de de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Notation exponentielle complexe, formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 R´esolution des ´equations du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Racine carr´ee dans l’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Racines du trinˆome du second degr´e dans C........................ 11
1.3 Racines n-i`emes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 14
2 Les fonctions polynˆomes complexes 17
2.1 D´efinitionsetop´erations........................................ 17
2.2 D´erivation - Racines d’une fonction polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Le cas particulier de R[x] ....................................... 19
2.4 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 19
3 Espaces vectoriels 21
3.1 Rappels ................................................. 21
3.2 Basesetdimension........................................... 22
3.3 Ind´ependance et d´ependance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Caract´erisation d’une base en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Recherche de bases dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Rangd’unefamilledevecteurs .................................... 24
3.7 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 25
4 Matrices, espaces vectoriels et syst`emes lin´eaires 29
4.1 Notiondematrice ........................................... 29
4.2 Structured’espacevectoriel ...................................... 30
4.3 Formes particuli`eres de matrices ; sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Multiplicationdesmatrices ...................................... 31
4.5 Interpr´etation matricielle d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Matrices ´echelonn´ees, rang d’une matrice et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.1 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6.2 Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Application de la notion de rang `a la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7.1 Cas particulier des syst`emes lin´eaires homog`enes : B= 0Rm................ 35
4.7.2 Cas particulier des syst`emes lin´eaires non homog`enes : B6= 0Rm............. 35
4.7.3 Bilan : th´eor`eme de Rouch´e et m´ethode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 36
3

4TABLE DES MATI ` ERES
5 Suites num´eriques 39
5.1 D´efinitions,exemples.......................................... 39
5.2 Premi`erespropri´et´es .......................................... 39
5.3 Convergenced’unesuite ........................................ 40
5.4 Op´erationssurlessuites........................................ 41
5.5 Suites num´eriques et relation d’ordre dans R. ............................ 41
5.6 Suites extraites et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 Suitesr´ecurrentes............................................ 42
5.8 Un exemple de suites particuli`eres : les s´eries num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.9 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 43
6 Fonctions r´eelles, notions de limite et de continuit´e 45
6.1 Rappels sur les applications et les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Limites ................................................. 46
6.2.1 Limitesfinies .......................................... 46
6.2.2 Limitesinfinies ......................................... 47
6.3 Propri´et´esdeslimites ......................................... 47
6.3.1 Op´erations alg´ebriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3.2 Limitesetin´egalit´es ...................................... 48
6.3.3 Fonctions ´equivalentes au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4 Continuit´eenunpoint......................................... 49
6.4.1 D´efinitions ........................................... 49
6.4.2 Prolongement par continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4.3 Op´erations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4.4 Composition des fonctions et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 Continuit´esurunsegment....................................... 51
6.6 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 52
7 Fonctions r´eelles d´erivables, notion de convexit´e 55
7.1 Fonctions d´erivables et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.1 Extrema............................................. 55
7.1.2 Condition n´ecessaire d’extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Th´eor`eme de Rolle et th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Variations d’une fonction d´erivable et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.1 Variations d’une fonction d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.2 Condition suffisante d’extremum local utilisant la d´eriv´ee seconde . . . . . . . . . . . . . 58
7.4 D´eveloppement limit´e en l’infini, branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.5 Fonctions convexes d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.6 Pland’´etuded’unefonction ...................................... 61
7.7 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 62
8 Primitives, int´egrales d´efinies 65
8.1 Primitives................................................ 65
8.1.1 Existence ............................................ 65
8.1.2 Recherchedeprimitives .................................... 66
8.2 Int´egrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.1 Aire sous la courbe d’une fonction, subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.2 Th´eor`emefondamental .................................... 68
8.2.3 Propri´et´es............................................ 68
8.2.4 M´ethodesdecalcul....................................... 69
8.3 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 69

9 Introduction aux d´eterminants 73
9.1 D´efinition du d´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 D´eterminant d’une matrice carr´ee et de sa transpos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3 Quelques propri´et´es des d´eterminants utiles pour leur calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.4 D´eterminant et calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.5 Travauxdirig´es-Exercices ...................................... 76
10 Compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 79
10.1 Changement de base dans un espace vectoriel :
matricedepassage ........................................... 79
10.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.3 Somme directe, sous-espaces vectoriels suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80